14 题组十四 几何综合题（课件PPT）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学加练本

1 题组十四　几何综合题 2 1.(2024·东营)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=3. (1)问题发现 如图1，将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系是_____，AD与BE的位置关系是______.  (2)类比探究 将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系、位置关系与(1)中结论是否一致？若AD交CE于点N，请结合图2说明理由. 1 3 题序 2 4 3 (3)迁移应用 如图3，将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE，当点D落到AB边上时，连接BE，求线段BE的长. 1 3 题序 2 4 4 解：(1) BE=3AD　 AD⊥BE (2)一致. 理由如下：如图，延长DA交BE于点H. ∵将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE， ∴CD=AC=1，CE=BC=3，∠ACD=∠BCE，∠DCE=∠ACB=90°， 1 3 题序 2 4 5 ∴==，∴△ACD∽△BCE， ∴==，∠ADC=∠BEC， ∴BE=3AD. 又∵∠ENH=∠CND，∴∠EHN=∠DCN=90°， ∴AD⊥BE. 1 3 题序 2 4 6 (3)如图，过点C作CN⊥AB于点N. 根据旋转可知AC=CD，∴AN=ND=AD. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=3， ∴根据勾股定理得AB==. ∵∠ANC=∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△ACN∽△ABC， ∴=，即 =，解得AN=， ∴AD=2AN=，∴BE=3AD=. 1 3 题序 2 4 7 2.(2023·淄博)在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动. (1)操作判断 小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图1.试判断：△ACF的形状为____________.  (2)深入探究 小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB=2，AD=4. 探究一：当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图 1 3 题序 2 4 8 2.求△CMF的面积. 探究二：连接AE，取AE的中点H，连接DH，如图3.求线段DH长度的最大值和最小值. 1 3 题序 2 4 9 解：(1)等腰直角三角形 (2)探究一：∵CD=GF，∠FMG=∠DMC，∠G=∠CDF=90°， ∴△CDM≌△FGM(AAS)，∴CM=MF. ∵AC=CF，CD⊥AF，∴AD=DF. ∵AB=CD=2，AD=DF=4， ∴DM=4-CM. 1 3 题序 2 4 10 在Rt△CDM中，CM2=CD2+DM2， ∴CM2=22+(4-CM)2， 解得CM=，∴MF=， ∴S△CMF=CD·MF=×2×=. 1 3 题序 2 4 11 探究二：如图，连接AC，取AC的中点T，连接HT，DT. ∵HT是△ACE的中位线，∴HT=CE=1， ∴点H在以点T为圆心，1为半径的圆上. ∵DT=AC=×=， ∴DH的最大值为+1，最小值为-1. 1 3 题序 2 4 12 3.(2024·湖北)在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H. 1 3 题序 2 4 13 (1)如图1，求证：△DEP∽△CPH； (2)如图2，当点P为CD的中点，AB=2，AD=3时，求GH的长； (3)如图3，连接BG，当点P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由. 1 3 题序 2 4 14 (1)证明：如图. ∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠C=90°， ∴∠1+∠3=90°. ∵点E，F分别在AD，BC上，将四边形ABCD 沿EF翻折，使点A的对应点P落在CD上， ∴∠EPH=∠A=90°，∴∠1+∠2=90°， ∴∠3=∠2，∴△DEP∽△CPH. 1 3 题序 2 4 15 (2)解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=2，AD=BC=3，∠A=∠D=∠C=90°. ∵点P为CD的中点，∴DP=CP=×2=1. 设EP=AE=x，∴ED=3-x. 在Rt△EDP中，EP2=ED2+DP2， 即x2=(3-x)2+1，解得x=， 1 3 题序 2 4 16 ∴EP=AE=x=，∴ED=AD-AE=. ∵△DEP∽△CPH，∴=， ∴=，解得PH=. ∵PG=AB=2，∴GH=PG-PH=2-=. 1 3 题序 2 4 17 (3)解：AB=BG.理由如下： 如图，延长AB，PG交于点M，连接AP. ∵点E，F分别在AD，BC上，将四边形ABCD沿EF翻折，使点A的对应点P落在CD上， ∴AP⊥EF，BG⊥EF，∴BG∥AP. ∵AE=EP，∴∠EAP=∠EPA， ∴∠BAP=∠GPA， ∴△MAP是等腰三角形， 1 3 题序 2 4 18 ∴MA=MP. ∵点P为CD的中点，∴设DP=CP=y， ∴AB=PG=CD=2y. ∵点H为BC的中点，∴BH=CH. ∵∠BHM=∠CHP，∠HBM=∠HCP， ∴△MBH≌△PCH(ASA)， ∴BM=CP=y，HM=HP，∴MP=MA=MB+AB=3y， ∴HP=PM=y. 1 3 题序 2 4 19 在Rt△PCH中，CH==y， ∴BC=2CH=y，∴AD=BC=y. 在Rt△APD中，AP==y. ∵BG∥AP，∴△BMG∽△AMP， ∴==，∴BG=y， ∴==，∴AB=BG. 1 3 题序 2 4 20 4.(2023·济南)在矩形ABCD中，AB=2，AD=2，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转 90°，交CD延长线于点G，以线段AE， AG为邻边作矩形AEFG. (1)如图1，连接BD，求∠BDC的度数和 的值； (2)如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长； (3)如图3，当EA=EC时，在平面内有一动点P，满足PE=EF，连接PA，PC，求PA+PC的最小值. 1 3 题序 2 4 21 1 3 题序 2 4 22 解：(1)∵矩形ABCD中，AB=2，AD=2， ∴∠C=90°，CD=AB=2，BC=AD=2， ∴tan∠BDC==，∴∠BDC=60°. 由矩形ABCD和矩形AEFG可得∠ABE=∠BAD=∠EAG=∠ADG=90°， ∴∠EAG-∠EAD=∠BAD-∠EAD， 即∠DAG=∠BAE， ∴△ADG∽△ABE，∴==. 1 3 题序 2 4 23 (2)如图1，过点F作FM⊥CG于点M. 由矩形ABCD和矩形AEFG可得∠ABE=∠AGF=∠ADG=90°， AE=GF， ∴∠BAE=∠DAG=∠CGF， ∠ABE=∠GMF=90°， ∴△ABE≌△GMF(AAS)， ∴BE=MF，AB=GM=2. ∵FM⊥CG，∠MDF=∠BDC=60°， ∴tan∠MDF=tan 60°==，∴MF=MD. 图1 1 3 题序 2 4 24 设DM=x，则BE=MF=x， ∴DG=GM+MD=2+x. ∵=，∴=，解得x=1， ∴BE=x=. 1 3 题序 2 4 25 (3)如图2，连接AC. ∵矩形ABCD中，AD=BC=2，AB=2， ∴∠ACB=30°，AC=2AB=4. ∵EA=EC， ∴∠EAC=∠ACE=30°，∠AEC=120°， ∴∠ACG=∠GAC=90°-30°=60°， ∴△AGC是等边三角形，AG=AC=4， 图2 1 3 题序 2 4 26 ∴PE=EF=AG=4.将△AEP绕点E顺时针旋转120°， EA与EC重合，得到△CEP'， ∴PA=P'C，∠PEP'=120°，EP=EP'=4， ∴PP'=PE=4， ∴当P，C，P'三点共线时，PA+PC的值最小， 此时为PA+PC=PP'=4. 1 3 题序 2 4 27 $$