13 题组十三 二次函数综合题（课件PPT）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学加练本

1 题组十三　二次函数综合题 2 1.如图1，已知抛物线y=ax2+bx-2经过点A(-1，0)和点B(4，0)，与x轴交于点C，顶点是G，连接AC，BC. (1)求抛物线的表达式和顶点G的坐标； (2)如图2，若平移抛物线y=ax2+bx-2，使其顶点M在直线AC上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为D，连接DG，CG，当S△CDG= 时，求点M的坐标； (3)如图3，若将抛物线y=ax2+bx-2进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y=ax2+bx-2平移的最短距离及此时抛物线的顶点坐标. 1 3 题序 2 4 3 1 3 题序 2 4 4 解：(1)把A(-1，0)，B(4，0)两点分别代入抛物线y=ax2+bx-2中得 解得 ∴y=x2-x-2=(x-)2-， ∴顶点G的坐标为(，-). 1 3 题序 2 4 5 (2)在y=x2-x-2中，令x=0，y=-2， ∴C(0，-2). 设直线AC的表达式为y=kx+t，将A(-1，0)，C(0，-2)分别代入得解得 即直线AC的表达式为y=-2x-2. 设点M的坐标为(m，-2m-2)，则平移后抛物线的表达式为y=(x-m)2-2m-2， 令x=0，得y=m2-2m-2， 1 3 题序 2 4 6 ∴点D的坐标为(0，m2-2m-2). ∵S△CDG=CD×=，∴CD=2. 由题意知点D只能在y轴上点C的下方， ∴CD=-2-(m2-2m-2)=-m2+2m， 即-m2+2m=2，解得m1=m2=2， 则-2m-2=-6，∴点M的坐标为(2，-6). (3)平移的最短距离为，此时抛物线的顶点坐标为(，-). 1 3 题序 2 4 7 2.(2024·南充)已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1，0)，B(3，0). (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，抛物线与y轴交于点C，P为线段OC上一点(不与端点重合)，直线PA，PB分别交抛物线于点E，D，设△PAD面积为S1，△PBE面积为S2，求 的值； 1 3 题序 2 4 8 (3)如图2，点K是抛物线对称轴与x轴的交点，过点K的直线(不与对称轴重合)与抛物线交于点M，N，过抛物线顶点G作直线l∥x轴，点Q是直线l上一动点.求QM+QN的最小值. 1 3 题序 2 4 9 解：(1)将A(-1，0)，B(3，0)两点分别代入y=-x2+bx+c得 解得 ∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3. (2)设P(0，p)，直线AP的表达式为y=k1x+b1. 把点A(-1，0)，P(0，p)分别代入得 解得∴直线AP的表达式为y=px+p. 1 3 题序 2 4 10 联立 解得或 ∴E(3-p，-p2+4p). 同理可得D(，-+)， 1 3 题序 2 4 11 ∴S1=S△ABD-S△ABP=AB·(yD-yP)=2(-+-p)=(3p-p2)， S2=S△ABE-S△ABP=AB·(yE-yP)=2(-p2+4p-p)=2(3p-p2)， ∴==， ∴的值为. 1 3 题序 2 4 12 (3)如图，作点N关于直线l的对称点N'，连接MN'，过点M作MF⊥NN'于点F. ∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4， ∴抛物线y=-x2+2x+3的对称轴为直线x=1， ∴K(1，0). 设直线MN的表达式为y=kx+d， 把点K(1，0)代入得k+d=0， ∴d=-k， ∴直线MN的表达式为y=kx-k. 1 3 题序 2 4 13 设M(m，-m2+2m+3)， N(n，-n2+2n+3). 联立可得 x2+(k-2)x-k-3=0， ∴m+n=2-k，mn=-k-3. ∵点N，N'关于直线l：y=4对称，∴N'(n，n2-2n+5)， ∴QM+QN=QM+QN'≥MN'. 1 3 题序 2 4 14 ∵F(n，-m2+2m+3)， ∴N'F=|m2+n2-2(m+n)+2|，FM=|m-n|. 在Rt△MFN'中，MN'2=MF2+N'F2 =(m-n)2+[m2+n2-2(m+n)+2]2 =(m+n)2-4mn+[(m+n)2-2mn-2(m+n)+2]2 =(2-k)2-4(-k-3)+[(2-k)2-2(-k-3)-2(2-k)+2]2 =k4+17k2+80， ∴当k=0时，MN'2的值最小，最小值为80，此时MN'=4， ∴QM+QN≥4，∴QM+QN的最小值为4. 1 3 题序 2 4 15 3.(2022·济南)抛物线y=ax2+x-6与x轴交于A(t，0)，B(8，0)两点，与y轴交于点C，直线y=kx-6经过点B.点P在抛物线上，设点P的横坐标为m. (1)求抛物线的表达式和t，k的值. (2)如图1，连接AC，AP，PC.若△APC 是以CP为斜边的直角三角形，求点P的 坐标. (3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作 PQ⊥BC，垂足为Q.求CQ+PQ的最大值. 1 3 题序 2 4 16 解：(1)∵B(8，0)在抛物线y=ax2+x-6上， ∴64a+×8-6=0，∴a=-，y=-x2+x-6. 当y=0时，-t2+t-6=0， ∴t1=3，t2=8(舍去)，∴t=3. ∵B(8，0)在直线y=kx-6上，∴8k-6=0，∴k=. 1 3 题序 2 4 17 (2)如图1，过点P作PM⊥x轴于点M. ∵P(m，-m2+m-6)， ∴PM=m2-m+6， AM=m-3. 在Rt△COA和Rt△AMP中， ∵∠OAC+∠PAM=90°， ∠APM+∠PAM=90°， 1 3 题序 2 4 18 ∴∠OAC=∠APM，∴△COA∽△AMP， ∴=，∴=，整理得m2-13m+30=0，解得m1=3(舍去)，m2=10， ∴P(10，-). 1 3 题序 2 4 19 (3)如图2，过点P作PN⊥x轴交BC于点N，过点N作NE⊥y轴于点E. 由(1)知y=x-6，∴N(m，m-6)， 则PN=-m2+m-6-(m-6)=-m2+2m， 易证△PQN∽△BOC，∴==. ∵OB=8，OC=6，BC=10，∴NQ=PN，PQ=PN， 易证△CNE∽△CBO，∴CN=EN=m， ∴CQ+ PQ=m- m2+2m=- m2+ m=- (m- )2+ ，∴当m=时，CQ+PQ的最大值是. 1 3 题序 2 4 20 4.(2024·济南历下二模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2-2ax+a+3(a<0)与x轴分别交于点A和点B，与y轴交于点C. (1)如图1，若点A的坐标为(-1，0)，求抛物线的表达式和点C的坐标. (2)过点C作y轴的垂线l，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记为图形G. 1 3 题序 2 4 21 ①在(1)的条件下，在图形G位于x轴上方的部分是否存在点D，使得 S△ABD=3？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. ②如图2，已知点P(1+a，p)和点Q(1-a，q)是图形G上的点.设t=p+q， 当-3≤t≤0时，请直接写出a的取值范围. 1 3 题序 2 4 22 解：(1) 将点A(-1，0)代入抛物线 y=ax2-2ax+a+3得 4a+3=0， 解得a=-， ∴抛物线的表达式为y=-x2+x+， ∴C(0，). 1 3 题序 2 4 23 (2) ①当 y=-x2+x+=0时，解得 x1=3，x2=-1， ∴A(-1， 0)， B(3， 0)，∴AB=4. ∵y=-x2+x+=-(x-1)2+3，∴顶点为 (1， 3). ∵过点C作y轴的垂线l，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分不变， ∴得到图形G：y= 1 3 题序 2 4 24 若x轴上方的图形G上存在点 D，使得 SABD=AB·yD=3，则 yD=. 当x<0时， 将 y=代入 y=-(x-1)2+3得 -(x-1)2+3=，解得 x1=+1(舍去)， x2=-+1，∴D(-+1，)； 当x>0时， 将 y=代入 y=(x-1)2+得 (x-1)2+=， 解得x=1，∴D(1，). 综上所述，点D的坐标为(-+1，)或(1，). ②-≤a≤-3. 1 3 题序 2 4 25 $$