精品解析：山东省济宁市第一中学2024-2025学年高一下学期4月阶段性检测数学试题

济宁市第一中学2024-2025学年度第二学期阶段性检测 高一数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回. 4.本试卷考试时间为120分钟，满分为150分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的. 1. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.如果，，，那么（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 3. 在中，A为直角，，，若用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 4 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 底面半径为3的圆锥被平行于底面的平面所截，截去一个底面半径为2、高为4的圆锥，所得圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 记的内角的对边分别为．已知，则为（ ） A 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 7. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的大小是（ ） A. B. C. 3 D. 8. 圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环.如图所示，扇环的外圆弧的长为，A、B分别为、的中点，扇形的面积为.若外圆弧上有一动点P（包含端点），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的为（ ） A. 、为实数，若，则与共线 B. 两个非零向量、，若，则与垂直 C. 若且，则 D. O是内一点，若，则 10. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则（ ） A. B. 若，且有两解，则b取值范围是 C. 若，则 D. 若且，则是等边三角形 11. 函数的部分图象如图所示，为图象与轴的一个交点，分别为图象的最高点与最低点，若，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 的面积为 D. 是的图象的一个对称中心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为______. 13. 已知，函数的最大值为1，则______. 14. 记的内角的对边分别为，，，且，，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为. （1）若复数是实数，求实数的值； （2）若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围 16. 已知.，为单位向量，且与夹角为. （1）求的值； （2）若，且，求向量的坐标. 17. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内图象时，列表并填入了部分数据，如表： 0 0 2 -2 0 （1）请求出函数的解析式； （2）先将图象上所有点向左平移个单位，再把图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象.若的图象关于直线对称，求的最小值以及当取最小值时函数的单调递减区间. 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且. （1）求C； （2）若，，求内切圆的半径； （3）设是边上一点，为角平分线且，求的值. 19. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. （1）求A； （2）若，周长为6，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 济宁市第一中学2024-2025学年度第二学期阶段性检测 高一数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回. 4.本试卷考试时间为120分钟，满分为150分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的. 1. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.如果，，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【详解】根据余弦定理, 即. 故选：C 2. 已知，则虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的模的计算公式得到，即可化简，从而判断其虚部. 【详解】因，所以， 又，即，所以，所以的虚部为2. 故选：C 3. 在中，A为直角，，，若用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在原图形中，由勾股定理求出，根据斜二测画法得到，，利用三角形面积公式求出答案. 【详解】根据题意，中，，，， 由勾股定理得， 在直观图中， ，， 故的面积. 故选：B 4. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件求出，，再由计算求值即可. 【详解】因为，，所以. 因为，，所以， 所以， 即 . 故选：A. 5. 底面半径为3的圆锥被平行于底面的平面所截，截去一个底面半径为2、高为4的圆锥，所得圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由三角形形似对应边成比例求出，再由圆台的体积公式计算可得. 【详解】如图，设截面圆的圆心为，截面圆的半径，底面圆半径，， ∵，∴ 所以圆台的体积为. 故选：A 6. 记的内角的对边分别为．已知，则为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式和余弦定理化简给定条件，最后利用勾股定理逆定理求解即可. 【详解】因为，所以， 则，即， 得到，即， 则，即， 由勾股定理逆定理得为直角三角形，故B正确. 故选：B 7. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的大小是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理化简，可设，再根据化简求解即可. 【详解】∵， ∴由正弦定理得， 即， 令，，，显然， ∵， ∴，即， 故，由，解得， ∴. 故选：D 8. 圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环.如图所示，扇环的外圆弧的长为，A、B分别为、的中点，扇形的面积为.若外圆弧上有一动点P（包含端点），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用扇形弧长、面积公式求出半径及圆心角，再建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示建立函数关系，利用辅助角公式及正弦函数性质求出范围. 【详解】如图，以O为坐标原点，所在方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系. 设扇形半径为，圆心角大小为，则，解得， 由，，设，， 于是，， 则当时，取到最小值6；当或时，取到最大值10， 所以的取值范围是. 故选：B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的为（ ） A. 、为实数，若，则与共线 B. 两个非零向量、，若，则与垂直 C 若且，则 D. O是内一点，若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】举反例令可得A错误；由数量积的运算律结合模长和垂直的条件可得B正确；当可得C错误；由三角形中重心的向量表示先求出为的重心，再由面积比例关系可得D错误. 【详解】对于A选项，当时，与可以为任意向量，满足，但与不一定共线，故A错误； 对于B选项，易知，即， 即，所以，∴与垂直，故B正确； 对于C选项，如果，都是非零向量，，满足已知条件，但是结论不成立，故C错误； 对于D选项，若，设，，可得为重心，如下图： 设，，， 则，，，再由重心性质可得， 可所以，故D错误. 故选：ACD. 10. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则（ ） A. B. 若，且有两解，则b的取值范围是 C. 若，则 D. 若且，则是等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用角的范围解三角方程即可；B利用正弦定理即可；C利用余弦函数的单调性；D利用余弦定理求出，再解方程组即可. 【详解】由得，， 由，得，解得，选项A正确； 对于B，因为，， 则在中由正弦定理可得，，即， 又有两解，则,得， 则b的取值范围是，故B正确； 对于C，因，根据余弦函数的单调性可知，，故C错误； 对于D，因，，则由余弦定理可得，，得， 故， 所以是等边三角形，故D正确. 故选：ABD 11. 函数的部分图象如图所示，为图象与轴的一个交点，分别为图象的最高点与最低点，若，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 的面积为 D. 是的图象的一个对称中心 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据图象，即可判断；对于B，，，，根据题设可得，，，即可求解；对于C，结合图象，利用面积公式，即可求解；对于D，求出的解析式，再进行检验，即可求解. 【详解】对于选项A，由图象可知，函数的最大值为，最小值为，所以，故A正确； 不妨设，，，且， 易知. 则，， 所以， . 又，所以有， 整理可得. 因为，所以，. 根据正弦函数的性质可知， 所以，有，，， ∴，， 对于选项B，因为，所以，又，所以，故B错误； 对于选项C，由图可知的面积为，故C正确， 对于选项D，因为， 又函数图象过点，所以有， 所以有，解得，，即，. 又，所以，则， 所以， 所以不是的图象的一个对称中心.故D错误， 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的关系式求，再代入投影向量的公式，即可求解. 【详解】已知，则. 因为，根据向量垂直的性质可知，即. 将代入上式可得. 根据投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为. 将，，代入可得： 在向量上的投影向量为. 故答案为：. 13. 已知，函数的最大值为1，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据两角和的余弦公式，结合辅助角公式可得，再根据辅助角性质求解即可. 【详解】由函数 其中，， 所以的最大值为，可得， 又，所以. 故答案为： 14. 记的内角的对边分别为，，，且，，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由得，根据正弦定理、余弦定理化简可得的外接圆半径为，根据向量数量积几何意义可知当点与点重合时，有最小值. 【详解】因为，，且， 则， 利用正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理可得， 且，则， 又因为，可得的外接圆半径为， 可知点在优弧上运动（不包括端点）， 过外接圆圆心作，当点与点重合时，在方向上的投影最小， 此时，，. 根据数量积的几何意义可知：的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为. （1）若复数是实数，求实数的值； （2）若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数乘法法则得到，根据是实数，可得方程，求出； （2）利用复数除法法则化简，得到对应的点坐标，根据所在象限，得到不等式组，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由可得， 所以， 若复数是实数，可得， 解得； 【小问2详解】 ， 易知复数在复平面内所对应的点坐标为， 又复数在复平面内所对应的点位于第四象限，可得， 解得， 即实数的取值范围为. 16. 已知.，为单位向量，且与的夹角为. （1）求的值； （2）若，且，求向量的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据数量积和模的公式，计算，即可求解； （2）首先设向量，再根据条件转化为方程组，即可求解. 【小问1详解】 因为，为单位向量，且与的夹角为， 所以，∴， 则； 【小问2详解】 设，， ∵，∴， 又，， ∴， ∴或 ∴或. 17. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： 0 0 2 -2 0 （1）请求出函数的解析式； （2）先将图象上所有点向左平移个单位，再把图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象.若的图象关于直线对称，求的最小值以及当取最小值时函数的单调递减区间. 【答案】（1） （2），单调递减区间为， 【解析】 【分析】（1）根据表中的数据，结合正弦函数图象依次计算出振幅，周期，相位可得； （2）先由图象平移和伸缩变换性质求出，再结合正弦函数的最值求出和整体代入求出递减区间即可. 【小问1详解】 根据表中已知数据，得，， 可得，当时，，又，解得， 所以. 【小问2详解】 将图象上所有的点向左平移个单位长度， 得到的图象，再把所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍， 得到的图象，所以 因为的图象关于直线对称， 所以，，解得，， 因为，所以 此时， 由，，可得，， 所以函数的单调递减区间为，. 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且. （1）求C； （2）若，，求内切圆的半径； （3）设是边上一点，为角平分线且，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理将角转化为边，再结合余弦定理，即可求解； （2）首先根据余弦定理求边，再根据等面积转化求内切圆半径； （3）首先根据求得，再根据正弦定理求角的三角函数值. 【小问1详解】 因为， 所以. 由正弦定理得，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，代入数据得. 因为的面积， 所以内切圆的半径. 【小问3详解】 因为，是角平分线，即， 因为， 所以 由正弦定理可知， 所以， 整理可得. 又因为，即， ∴ 且∵∴ 解得. 19. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. （1）求A； （2）若，周长为6，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及辅助角公式求解. （2）由余弦定理得，结合的周长，求得,再求出三角形的面积． （3）由正弦定理得，结合锐角三角形的条件及三角函数性质求出范围. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 整理得，即， 而，即，于是, 所以. 【小问2详解】 由余弦定理，得， 由周长为6，得，解得， 所以的面积. 【小问3详解】 在锐角中，由，得，，则， ，则，， 由正弦定理得 ， 所以的范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$