精品解析：湖南省跨地区普通高等学校对口招生2024-2025学年高三下学期第三次联考数学试题

湖南省2025年跨地区普通高等学校对口招生第三次联考 数学 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页．时量120分钟．满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全集以及补集的定义求解即可. 【详解】因为全集中只含有元素，中只含有元素3和5， 所以集合中只含有元素1,2,4，即． 故选：B. 2. 在数列中，已知，则该数列的前9项和（ ） A. 18 B. 36 C. 72 D. 90 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出数列为等差数列，结合等差数列的性质及求和公式即可得解. 【详解】因为，即，所以数列是公差为的等差数列， 则. 故选：. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质和充要条件的概念，即可求解. 【详解】当时，不等式两边乘以，得到，即“” “”， 不等式两边乘以，得到，即“” “”， 因此“”是“”的充要条件． 故选：B 4. 已知过点，且倾斜角为的直线与圆相交于两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先倾斜角确定斜率，再将点和斜率代入点斜式方程中求出直线方程，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后由弦长公式求值即可. 【详解】因为经过点，倾斜角为， 则斜率，所以直线的方程为， 即， 圆的圆心， 到直线的距离为， ， 所以． 故选：B. 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性比较大小即可得解. 【详解】函数定义域为，，所以函数在定义域内单调递增， 所以， 函数定义域为，，所以函数在定义域内单调递减， ，即， 所以． 故选：. 6. 要得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的图象变换：“左加右减，上加下减的原则”即可求解. 【详解】由题意得，函数可转化为， 故把函数的图象向左平移个单位长度 可得到函数的图象. 故选：B. 7. 已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分析二次函数的图象，再利用其单调性得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为函数的开口向上，对称轴为， 又在区间上是减函数， 所以，解得，即. 故选：D. 8. 每条棱长均为4的正三棱锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先算出一个正三角形的面积，再根据三棱锥的表面积求解即可. 【详解】设正三棱锥为， 则的面积， 所以每条棱长均为4的正三棱锥的表面积是． 故选：C. 9. 已知奇函数在区间上是增函数.且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的性质求得，再转化不等式，结合的单调性即可得解. 【详解】因为是奇函数，且， 所以， 又因为不等式可化为， 且函数在上是增函数，所以. 故选：A. 10. 从1，2，3，4，5，6这6个数中任取3个数，至少有2个数为相邻整数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用组合的知识求得总的取法种数，再列举得3个数都是互不相邻的整数的个数，从而利用间接法与古典概型的概率公式即可得解. 【详解】从这6个数中任取3个数，共有种不同取法， 其中3个数都是互不相邻的整数的有135，136，146，246这4种， 所以至少有两个数为相邻整数的选法有种， 故所求概率为. 故选：D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 过点，且与直线平行的直线方程是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线平行的性质设出方程，再代入点求解即可. 【详解】因为所求直线与直线平行，所以可设所求直线方程为． 又因为所求直线经过点，所以，解得． 故所求直线方程为． 故答案为：． 12. 已知不等式的解集是，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系确定方程的根，再由韦达定理求值即可. 【详解】因为不等式的解集是， 所以方程的根为和7，于是有． 故答案为：. 13. 已知向量，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据内积的坐标表示列方程求出，再由模的坐标表示求值即可. 【详解】已知向量， 由，得， 解得，因此，， . 故答案为：. 14. 已知，，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，结合同角三角函数的平方关系，三角函数诱导公式、及正弦的二倍角公式，即可求解. 【详解】因为，， 所以， 所以． 所以． 故答案为：. 15. 已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，且抛物线C上一点到焦点的距离为7，则抛物线C的标准方程是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设出抛物线方程结合抛物线的定义列出方程即可得解. 【详解】抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线C上一点，抛物线的开口向下， 设抛物线的标准方程是， 则，解得， 所以抛物线的标准方程是， 故答案为：. 三、解答题（本大题共7小题，其中第21，22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知函数 （1）写出函数的定义域，作函数的图像； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1），图像见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的表达式求解即可. （2）根据函数的表达式分别讨论，结合一元二次不等式和指数函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 因为函数， 所以函数的定义域为，即． 【小问2详解】 当时，因为， 即，则， 当时，因为， ，得到， 因此，的取值范围为. 17. 已知是各项均为正数的等比数列，数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的表达式及已知条件求出和，设等比数列的公比为，求出公比，根据等比数列的通项公式即可求解. （2）由求出数列的公差，根据等差数列的前n项和公式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以，， 解得，， 设等比数列的公比为，则，即有，则， 又因为，所以． 【小问2详解】 因为，又， 所以数列是首项为3，公差为2的等差数列． 所以， 所以数列的前项和． 18. 甲、乙两人进行网球比赛，事先约定每一局比赛中，胜者得1分，负者得0分，没有平局.经过测算，每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响. （1）经过3局比赛，设甲的得分为，求的分布列和数学期望： （2）比赛采用3局制，第3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率是多少？ 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意分析得服从二项分布，再利用二项分布的概率公式即可得解； （2）根据题意，结合（1）中结论，分析得所求概率为，从而得解. 【小问1详解】 依题意，的所有可能取值为，， 则，， ，. 所以的分布列为 0 1 2 3 故的数学期望. 【小问2详解】 因为第3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分， 所以甲胜2局或甲胜3局， 因此所求概率为. 19. 已知双曲线的对称轴为坐标轴，对称中心为坐标原点，两个焦点分别为，． （1）若双曲线的渐近线方程为，且双曲线经过点，求该双曲线的标准方程； （2）若双曲线的虚轴的一个端点为M，且，求该双曲线的离心率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按焦点在轴与轴分类讨论，根据渐近线方程和点在双曲线上求出，即可写出标准方程. （2）由得出，再根据求出离心率即可. 【小问1详解】 当双曲线焦点在轴时，设双曲线方程为， 双曲线的渐近线方程为，所以，即， 因为双曲线经过点， 所以，解得，所以， 所以双曲线的标准方程是． 当双曲线焦点在轴时，设双曲线方程为， 双曲线的渐近线方程为，所以，即， 因为双曲线经过点， 所以，此方程无解，不符合题意， 综上，双曲线的标准方程是． 【小问2详解】 设双曲线的实半轴为，虚半轴为，半焦距为， 若双曲线的虚轴的一个端点为M，且， 由题意，， 由双曲线的对称性可知，， 于是，， 所以 因此，双曲线的离心率． 20. 如图所示，在三棱锥中，平面的中点为，的中点为的中点为. （1）证明：平面； （2）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）根据线面平行的定义即可得解. （）根据题意找出二面角的平面角，设，求出所需线段的长度即可得解. 【小问1详解】 如图所示，连接， 因为在中，为的中点，为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 因为平面，平面，平面， 所以，， 取的中点，因为，所以， 而，所以， 又因为为的中点，所以， 而平面，平面，平面平面， 因此，为二面角的平面角， 设，则在中，， 因此，为所求二面角的正切值， 选做题：请考生在第21，22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角B的大小； （2）若为等腰三角形，腰长为，求的底边长． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合三角形内角和及三角函数诱导公式可得，结合正弦定理边角互化，即可求解. （2）根据题意，可分B为底角和顶角两种情况讨论，结合解直角三角形和余弦定理，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 又因为， 所以， 因为，所以， 所以，即， 因为，所以； 【小问2详解】 由题意，若为底角，则底边； 若为顶角，则底边 ； 综上所述，的底边长为或. 22. 某公司的家具车间计划每天生产甲、乙两种规格的纯木衣柜，每个衣柜需要木工和油漆工两道工序才能完成．已知木工生产一个甲种衣柜需要2h，生产一个乙种衣柜需要1h；油漆工油漆一个甲种衣柜需要1h，油漆一个乙种衣柜需要3h；木工、油漆工每天工作的时间分别不超过9h和7h；公司生产一个甲种衣柜可获利润0.5千元，生产一个乙种衣柜可获利润0.6千元．问公司每天生产甲、乙两种衣柜各多少个时，才能使获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】每天生产甲种衣柜4个，乙种衣柜1个，才能使获得的利润最大，最大利润为2.6千元. 【解析】 【分析】根据题意列出约束条件，作出可行域即可得解. 【详解】设公司每天生产甲种衣柜个，乙种衣柜个，获得的利润为千元， 则目标函数， 作可行域，如图所示： 由,解得, 即交点． 作等值线，并平移等值线，当直线经过可行域中的点时，目标函数取到最大值． 所以，当时，最大盈利为(千元)． 因此，每天生产甲种衣柜4个，乙种衣柜1个，才能使获得的利润最大，最大利润为2.6千元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省2025年跨地区普通高等学校对口招生第三次联考 数学 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页．时量120分钟．满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 在数列中，已知，则该数列的前9项和（ ） A. 18 B. 36 C. 72 D. 90 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知过点，且倾斜角为的直线与圆相交于两点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 要得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 7. 已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 每条棱长均为4的正三棱锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 9. 已知奇函数在区间上是增函数.且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 从1，2，3，4，5，6这6个数中任取3个数，至少有2个数为相邻整数的概率是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 过点，且与直线平行的直线方程是_______． 12. 已知不等式的解集是，则_______． 13. 已知向量，若，则_______． 14. 已知，，则_______． 15. 已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，且抛物线C上一点到焦点的距离为7，则抛物线C的标准方程是_______． 三、解答题（本大题共7小题，其中第21，22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知函数 （1）写出函数的定义域，作函数的图像； （2）若，求的取值范围． 17. 已知是各项均为正数的等比数列，数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 18. 甲、乙两人进行网球比赛，事先约定每一局比赛中，胜者得1分，负者得0分，没有平局.经过测算，每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响. （1）经过3局比赛，设甲的得分为，求的分布列和数学期望： （2）比赛采用3局制，第3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率是多少？ 19. 已知双曲线的对称轴为坐标轴，对称中心为坐标原点，两个焦点分别为，． （1）若双曲线的渐近线方程为，且双曲线经过点，求该双曲线的标准方程； （2）若双曲线的虚轴的一个端点为M，且，求该双曲线的离心率． 20. 如图所示，在三棱锥中，平面的中点为，的中点为的中点为. （1）证明：平面； （2）求二面角的正切值. 选做题：请考生在第21，22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角B的大小； （2）若为等腰三角形，腰长为，求的底边长． 22. 某公司的家具车间计划每天生产甲、乙两种规格的纯木衣柜，每个衣柜需要木工和油漆工两道工序才能完成．已知木工生产一个甲种衣柜需要2h，生产一个乙种衣柜需要1h；油漆工油漆一个甲种衣柜需要1h，油漆一个乙种衣柜需要3h；木工、油漆工每天工作的时间分别不超过9h和7h；公司生产一个甲种衣柜可获利润0.5千元，生产一个乙种衣柜可获利润0.6千元．问公司每天生产甲、乙两种衣柜各多少个时，才能使获得的利润最大？最大利润是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $