第四章 §4.9　解三角形中的最值与范围问题（新高考通用）-【2026年高考数学一轮备考·学霸专练】

第四章 三角函数与解三角形 §4.9　解三角形中的最值与范围问题 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 考点1 求边长、周长的值及范围或最值 2024·全国新Ⅱ卷 2024·全国新Ⅰ卷 2023·全国新Ⅱ卷 2022·全国新Ⅱ卷 2022·全国乙卷 2022·北京卷 2022·全国新Ⅰ卷 命题规律：是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等偏上，分值为 13 - 15 分。 命题形式：一般以大题形式命题，主要考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同时结合基本不等式、三角函数性质等知识点来求解范围及最值。 常见题型：包括面积类、周长类、边长类、边长和差类、边长积商类、中线类、角平分线类、高线类及其他线段类的最值与范围问题。 考点2 求角和三角函数的值及范围或最值 2024·天津卷 2023·天津卷 2022·全国甲卷 2022·天津卷 2021·天津卷 2021·全国新Ⅰ卷 【名师点拨】 解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系. 【必练核心题型】 题型一　利用基本不等式求最值(范围) 【典例】1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. (1)求角A； (2)若a＝2，求△ABC面积的最大值. 【解析】(1)由 结合正弦定理得 所以tan A＝ 又因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc， 即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时等号成立， 所以S△ABC＝bcsin A≤×4× 即当b＝c＝2时，△ABC面积的最大值为. 思维升华　求解三角形中面积和周长最值问题的常用方法 在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，即可得到“b2＋c2”与“bc”的等量关系. (1)求面积最值时，S＝bcsin A，即求bc最值，在等量关系中利用基本不等式b2＋c2≥2bc，即可求得bc的最值. (2)求周长a＋b＋c的最值时，即求b＋c的最值，在等量关系中，把b2＋c2换成(b＋c)2－2bc，再利用基本不等式bc≤即可求得b＋c的最值. 【变式训练】 变式1.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝sin2A. (1)求角A的大小； (2)若a＝求△ABC周长的最大值. 【解析】(1)由正弦定理 得b2＋c2＋bc＝a2， 即b2＋c2－a2＝－bc， 由余弦定理得，cos A＝＝－ 又0<A<π，所以A＝. (2)由a＝和(1)可知b2＋c2＋bc＝3，则3＝(b＋c)2－bc≥(b＋c)2－ 得4≥(b＋c)2，即b＋c≤2， 所以a＋b＋c≤2＋当且仅当b＝c＝1时取得等号， 所以△ABC周长的最大值为2＋. 题型二　转化为三角函数求最值(范围) 【典例】2.如图，在平面内，四边形ABCD的对角线交点位于四边形内部，AB＝3，BC＝7，△ACD为正三角形. (1)求AC的取值范围； (2)设∠ABC＝α，当α变化时，求四边形ABCD面积的最大值. 【解析】(1)因为四边形ABCD的对角线交点位于四边形内部，所以∠BAC＋∠CAD<π， 又因为△ACD为正三角形，∠CAD＝ 所以0<∠BAC< 在△ABC中，由余弦定理得 ＝cos∠BAC， 又因为－<cos∠BAC<1， 将AB＝3，BC＝7代入并整理得AC2＋3AC－40>0，且AC2－6AC－40<0，解得5<AC<10， 所以AC的取值范围是(5，10). (2)在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos α＝9＋49－2×3×7cos α＝58－42cos α， 由(1)知5<AC<10， 则cos α＝∈ 又因为△ACD为正三角形， 所以S△ACD＝AC2＝cos α， 又S△ABC＝AB·BC·sin α＝sin α， 所以＝S△ACD＋S△ABC ＝cos α＋sin α ＝21× ＝21sin 所以当α－即α＝时，cos ＝－∈成立， 此时四边形ABCD的面积取得最大值，最大值为21＋. 【解题技巧】 利用正弦定理、余弦定理，把所求量转化为关于某个角的三角函数，利用三角函数的有界性、单调性再结合角的范围确定最值或范围.要特别注意题目隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形、三角形内角和为π等. 【变式训练】 变式2.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且bsin B－asin A＝sin C. (1)求角A的大小； (2)求sin Ccos B的取值范围. 【解析】 (1)bsin B－asin A ＝sin C ＝sin C， 由正弦定理得 b2－a2＝2bcsin Acos ＋2bccos Asin －c2， 所以bcsin A＋bccos A＝b2＋c2－a2＝2bccos A， 则sin A＝cos A，cos A≠0， 所以tan A＝ 又A∈所以A＝. (2)因为△ABC为锐角三角形， 所以A＋B＝＋B>B> 即<B<. sin Ccos B＝sincos B ＝cos B ＝cos2B＋sin Bcos B ＝sin 2B ＝ ＝sin又<B< 则<2B＋<<sin< 所以0<sin Ccos B<. 即sin Ccos B的取值范围是. 题型三　转化为其他函数求最值(范围) 【典例】3.在△ABC中，AB＝5，D在边AB上，且2BD＝3AD，BC＝2CD. (1)若CD＝2，求△ABC的周长； (2)求△ACD周长的最大值. 【解析】 (1)若CD＝2，则BC＝2CD＝4， 又AB＝5，2BD＝3AD，所以BD＝3，AD＝2， 在△BCD中，由余弦定理得 cos B＝ 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝25＋16－2×5×4×＝6， 故AC＝ 故△ABC的周长为5＋4＋＝9＋. (2)由(1)知，BD＝3，AD＝2， 设CD＝x，则BC＝2x， 由三边关系可得解得1<x<3， 在△BCD中，由余弦定理得 cos B＝ 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝25＋4x2－2×5×2x×＝10－x2， 故AC＝ 所以△ACD的周长为＋x＋2， 令f(x)＝＋x＋2，1<x<3， 则f'(x)＝＋1＝x∈(1，3)， 当1<x<时，f'(x)>0，f(x)单调递增； 当<x<3时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 故f(x)在x＝处取得极大值，也是最大值， 故△ACD周长的最大值为f()＝＋2＝2＋2. 【解题技巧】 解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解. 【变式训练】 变式3.已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)若C＝求B； (2)求的取值范围. 【解析】 (1)由及正弦定理可得， 即c2＝b2＋ab， ∵C＝∴c2＝a2＋b2， ∴b2＋ab＝a2＋b2，则a＝b，即A＝B， 又C＝∴B＝. (2)由(1)知，c2＝b2＋ab， ∴a＝c>b， 由三角形三边关系可得 代入化简可得b<c<2b， ∴－1， 令x＝则x∈(1，2)， 令f(x)＝x2＋x－1，1<x<2， ∴f(x)＝∈(1，5)， ∴－1∈(1，5)， ∴的取值范围是(1，5). 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共20分) 1.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，A＝则b的取值范围是(　　) A.(0，6) B.(0，2) C.(2) D.(36) 【答案】D 【解析】在锐角△ABC中，a＝3，A＝ 由正弦定理可得＝6， 所以b＝6sin B， 又B＋C＝ 所以解得<B< 所以<sin B<1，所以b的取值范围是(36). 2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝c－1，b＝c＋1，若△ABC为钝角三角形，则c的取值范围为(　　) A.(2，4) B.(1，3) C.(0，3) D.(3，4) 【答案】A 【解析】由a＝c－1，b＝c＋1，则b>c>a， 所以c＋c－1>c＋1，故c>2， 由△ABC为钝角三角形，则cos B<0， 即<0，得c2－4c<0，故0<c<4， 故c的取值范围为(2，4). 3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＝3(b＋c)，A＝则△ABC周长的最大值为(　　) A.6 B.12 C.18 D.24 【答案】C 【解析】因为A＝且a2＝3(b＋c)， 由余弦定理可得，a2＝3(b＋c)＝b2＋c2－bc， 所以(b＋c)2－3(b＋c)＝3bc≤(b＋c)2， 当且仅当b＝c时，等号成立， 所以b＋c≤12，所以a＝≤6， 即△ABC周长的最大值为12＋6＝18. 4.(2025·泰州模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C＝60°，B>90°，则的取值范围为(　　) A. B.(＋∞) C.(2，＋∞) D.(3，＋∞) 【答案】C 【解析】因为C＝60°，B>90°， 所以0°<A<30°，0<tan A< 即得> 由正弦定理可得×>2. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝b＝4则下列说法正确的是(　　) A.若A＝则a＝4 B.若a＝1，则c＝ C.△ABC周长的最大值为12 D.△ABC面积的最大值12 【答案】ACD 【解析】由正弦定理代入数据解得a＝4故A正确； 由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accos B＝c2－c＋1＝48，解得c＝或c＝(舍去)，故B错误； 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝48，因为a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－3 当且仅当a＝c＝4时，等号成立，所以a＋c≤8故△ABC周长的最大值为12故C正确； 由C选项分析可知a2＋c2－ac＝48，因为a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，所以ac≤48，所以△ABC的面积S△ABC＝acsin B＝ac≤×48＝12 当且仅当a＝c＝4时等号成立，故D正确. 6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3bcos C＋3ccos B＝a2，则下列说法正确的是(　　) A.若B＋C＝2A，则△ABC的外接圆的面积为3π B.若A＝且△ABC有两解，则b的取值范围为[3，3] C.若C＝2A，且△ABC为锐角三角形，则c的取值范围为(33) D.若A＝2C，且sin B＝2sin C，O为△ABC的内心，则△AOB的面积为 【答案】ACD 【解析】因为3bcos C＋3ccos B＝a2， 所以由正弦定理，得3sin Bcos C＋3sin Ccos B＝asin A， 即3sin(B＋C)＝asin A， 因为A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sin A， 且sin A≠0，所以a＝3. 选项A，若B＋C＝2A，则A＝ 所以△ABC的外接圆的直径2R＝＝2 所以R＝ 所以△ABC的外接圆的面积为π×()2＝3π，A正确； 选项B，因为△ABC有两解， 则bsin A<a<b，则bsin <3<b， 解得3<b<3B错误； 选项C，由正弦定理得 即c＝2acos A＝6cos A， 因为△ABC为锐角三角形， 所以所以<A< 所以c＝6cos A∈(33)，C正确； 选项D，因为a＝3，sin B＝2sin C，A＝2C， 可得B＝π－3C，由正弦定理可得b＝2c， 由sin(π－3C)＝2sin C， 可得sin Ccos 2C＋cos Csin 2C＝2sin C， 由sin C≠0，可得4cos2C－1＝2， 解得cos2C＝ 又B＝π－3C∈(0，π)，则C∈ 故cos C＝sin C＝ 可得sin A＝2sin Ccos C＝2×× 由正弦定理a＝3可得c＝b＝2则a＋b＋c＝3＋3 S△ABC＝bcsin A＝×2×× 设△ABC的内切圆半径为r， 则r＝ S△AOB＝cr＝××D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 7.(2024·辽阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋4b2＝6c2，则的最小值为　　　　　　.  【答案】 【解析】因为a2＋4b2＝6c2≥2＝4ab， 当且仅当a＝2b时，等号成立， 即≥. 由正弦定理可得≥当且仅当a＝2b时，等号成立， 所以的最小值为. 8.如图所示，在△ABC中，已知A＝C＝AC＝4，D，E，F分别在边AC，BC，AB上，且△DEF为等边三角形.则△DEF的面积的最小值是　　　　　　.  【答案】 【解析】不妨设△DEF的边长为a，∠CDE＝θ. 在Rt△CDE中，CD＝acos θ. 因为∠ADF＝π－θ－－θ， 所以在△AFD中，可得∠AFD＝π－－∠ADF＝θ， 根据正弦定理可得 所以AD＝sin θ， 所以AC＝CD＋AD＝aasin(θ＋φ)＝4，其中tan φ＝ 当sin(θ＋φ)＝1时，a取得最小值 故△DEF面积的最小值为 S＝a2＝×. 四、解答题(共28分) 9.(13分)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tan Atan B＋tan Atan C＝3tan Btan C. (1)证明：3b2＋3c2＝5a2；(6分) (2)若a＝当A取最大值时，求△ABC的面积.(7分) (1)证明　∵tan Atan B＋tan Atan C＝3tan Btan C， ∴＝3× ∴sin A(sin Bcos C＋cos Bsin C)＝3sin Bsin Ccos A， ∴sin(B＋C)sin A＝3sin Bsin Ccos A， 又sin(B＋C)＝sin A， ∴sin2A＝3sin Bsin Ccos A， 由正弦定理可得a2＝3bccos A， 由余弦定理可得a2＝3bccos A＝(b2＋c2－a2)， 整理得3b2＋3c2＝5a2. (2)【解析】由(1)得3b2＋3c2＝5a2， 即a2＝(b2＋c2)， 则cos A＝≥ 当且仅当即b＝c时，等号成立，A取最大值， 此时3b2＋3c2＝6b2＝5a2＝75， 则b2＝ ∵cos A＝>0，则A∈ 可得sin A＝ 故S△ABC＝bcsin A＝b2×××. 10.(15分)(2025·郑州模拟)已知在△ABC中sin(A＋B)＝1＋2sin2. (1)求角C的大小；(6分) (2)如图，若∠BAC与∠ABC的平分线交于点I，△ABC的外接圆半径为2，求△ABI周长的最大值.(9分) 【解析】 (1)∵sin(A＋B)＝1＋2sin2且A＋B＋C＝π， ∴sin C＝1＋1－cos C＝2－cos C， 即sin C＋cos C＝2， ∴2sin＝2. ∵C∈(0，π)，∴C＋∈ ∴C＋即C＝. (2)∵△ABC的外接圆半径为2， ∴由正弦定理知＝2×2＝4， ∴AB＝2 ∵∠ACB＝∴∠ABC＋∠BAC＝ ∵∠BAC与∠ABC的平分线交于点I， ∴∠ABI＋∠BAI＝∴∠AIB＝ 设∠ABI＝θ，则∠BAI＝－θ，且0<θ< 在△ABI中，由正弦定理得， ＝4， ∴BI＝4sinAI＝4sin θ， ∴△ABI的周长为2＋4sin＋4sin θ＝2＋4＋4sin θ ＝2＋2cos θ＋2sin θ ＝4sin＋2 ∵0<θ<∴<θ＋< ∴当θ＋即θ＝时，△ABI的周长取得最大值，为4＋2 故△ABI周长的最大值为4＋2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角函数与解三角形 §4.9　解三角形中的最值与范围问题 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 考点1 求边长、周长的值及范围或最值 2024·全国新Ⅱ卷 2024·全国新Ⅰ卷 2023·全国新Ⅱ卷 2022·全国新Ⅱ卷 2022·全国乙卷 2022·北京卷 2022·全国新Ⅰ卷 命题规律：是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等偏上，分值为 13 - 15 分。 命题形式：一般以大题形式命题，主要考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同时结合基本不等式、三角函数性质等知识点来求解范围及最值。 常见题型：包括面积类、周长类、边长类、边长和差类、边长积商类、中线类、角平分线类、高线类及其他线段类的最值与范围问题。 考点2 求角和三角函数的值及范围或最值 2024·天津卷 2023·天津卷 2022·全国甲卷 2022·天津卷 2021·天津卷 2021·全国新Ⅰ卷 【名师点拨】 解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系. 【必练核心题型】 题型一　利用基本不等式求最值(范围) 【典例】1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. (1)求角A； (2)若a＝2，求△ABC面积的最大值. 【变式训练】 变式1.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝sin2A. (1)求角A的大小； (2)若a＝求△ABC周长的最大值. 题型二　转化为三角函数求最值(范围) 【典例】2.如图，在平面内，四边形ABCD的对角线交点位于四边形内部，AB＝3，BC＝7，△ACD为正三角形. (1)求AC的取值范围； (2)设∠ABC＝α，当α变化时，求四边形ABCD面积的最大值. 【变式训练】 变式2.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且bsin B－asin A＝sin C. (1)求角A的大小； (2)求sin Ccos B的取值范围. 题型三　转化为其他函数求最值(范围) 【典例】3.在△ABC中，AB＝5，D在边AB上，且2BD＝3AD，BC＝2CD. (1)若CD＝2，求△ABC的周长； (2)求△ACD周长的最大值. 【变式训练】 变式3.已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)若C＝求B； (2)求的取值范围. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共20分) 1.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，A＝则b的取值范围是(　　) A.(0，6) B.(0，2) C.(2) D.(36) 2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝c－1，b＝c＋1，若△ABC为钝角三角形，则c的取值范围为(　　) A.(2，4) B.(1，3) C.(0，3) D.(3，4) 3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＝3(b＋c)，A＝则△ABC周长的最大值为(　　) A.6 B.12 C.18 D.24 4.(2025·泰州模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C＝60°，B>90°，则的取值范围为(　　) A. B.(＋∞) C.(2，＋∞) D.(3，＋∞) 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝b＝4则下列说法正确的是(　　) A.若A＝则a＝4 B.若a＝1，则c＝ C.△ABC周长的最大值为12 D.△ABC面积的最大值12 6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3bcos C＋3ccos B＝a2，则下列说法正确的是(　　) A.若B＋C＝2A，则△ABC的外接圆的面积为3π B.若A＝且△ABC有两解，则b的取值范围为[3，3] C.若C＝2A，且△ABC为锐角三角形，则c的取值范围为(33) D.若A＝2C，且sin B＝2sin C，O为△ABC的内心，则△AOB的面积为 三、填空题(每小题5分，共10分) 7.(2024·辽阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋4b2＝6c2，则的最小值为　　　　　　.  8.如图所示，在△ABC中，已知A＝C＝AC＝4，D，E，F分别在边AC，BC，AB上，且△DEF为等边三角形.则△DEF的面积的最小值是　　　　　　.  四、解答题(共28分) 9.(13分)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tan Atan B＋tan Atan C＝3tan Btan C. (1)证明：3b2＋3c2＝5a2；(6分) (2)若a＝当A取最大值时，求△ABC的面积.(7分) 10.(15分)(2025·郑州模拟)已知在△ABC中sin(A＋B)＝1＋2sin2. (1)求角C的大小；(6分) (2)如图，若∠BAC与∠ABC的平分线交于点I，△ABC的外接圆半径为2，求△ABI周长的最大值.(9分) 学科网（北京）股份有限公司 $$