第四章 §4.8　正弦定理、余弦定理（新高考通用）-【2026年高考数学一轮备考·学霸专练】

第四章 三角函数与解三角形 §4.8　正弦定理、余弦定理 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 考点1 求面积的值及范围或最值 2024·北京卷 2023·全国甲卷 2023·全国乙卷 2022·浙江卷 掌握正弦定理、余弦定理及其相关变形应用，会用三角形的面积公式解决与面积有关的计算问题，会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的综合问题，会利用基本不等式和相关函数性质解决三角形中的最值及范围问题，是新高考卷的必考内容。 考点2 求边长、周长的值及范围或最值 2024·全国新Ⅱ卷 2024·全国新Ⅰ卷 2023·全国新Ⅱ卷 2022·全国新Ⅱ卷 2022·全国乙卷 2022·北京卷 2022·全国新Ⅰ卷 【知识梳理】 1.正、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 余弦定理 正弦定理 公式 a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C ＝＝＝2R 常见变形 cos A＝； cos B＝； cos C＝ (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A 2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b a≤b 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 3.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示a边上的高). (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径). 【名师点拨】 1.三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sin C； (2)cos(A＋B)＝－cos C； (3)sin＝cos； (4)cos＝sin. 2.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A> sin B⇔cos A<cos B. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(　　) (2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　　) (3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　) (4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.(　　) 2.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝a＝1，B＝则c等于(　　) A. B.2 C. D.3 3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝80，b＝100，A＝45°，则符合条件的三角形有(　　) A.一个 B.两个 C.0个 D.不能确定 4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，则cos A＝　　　　　　，△ABC的面积为　　　　　　.  【名师点拨】 1.熟记△ABC中的以下常用结论： (1)A＋B＋C＝π. (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. (3)大边对大角，大角对大边，a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B. (4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos；cos＝sin. (5)三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. (6)三角形的面积S＝. (7)在斜△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C. 2.谨防两个易误点 (1)已知两边及一边的对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解. (2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断. 【必练核心题型】 题型一　利用正弦、余弦定理解三角形 【典例】1.(2025·重庆模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2＋bc＝a2.若b＝a＝3sin B，则C等于(　　) A. B. C. D. 【典例】2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆的半径R等于(　　) A. B. C. D. 【变式训练】 变式1.(2025·八省联考)在△ABC中,BC=8,AC=10,cos∠BAC=,则△ABC的面积为 (　　) A.6 B.8 C.24 D.48 变式2.(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＋b＝10，c＝5，sin 2B＋sin B＝0，则下列结论正确的是(　　) A.a＝3 B.b＝7 C.B＝60° D.sin C＝ 题型二　正弦定理、余弦定理的简单应用 命题点1　三角形的形状判断 【典例】1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 命题点2　三角形的面积 【典例】2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝b＝6，a2＋c2＝2ac，则△ABC的面积为　　　　　　.  命题点3　与平面几何有关的问题 【典例3.已知D是Rt△ABC斜边BC上一点，AC＝DC. (1)若∠DAC＝30°，则∠ADC＝　　　　　　；  (2)若BD＝2DC，且DC＝1，则AD的长为　　　　　　.  【变式训练】 变式1.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为　　　　　　.  变式2.(2024·新课标全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. ①求B； ②若△ABC的面积为3＋求c. 【拓展训练】 相关定理在解三角形中的综合应用 1.角平分线定理 在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，则. 进而得到(1)AD2＝AB·AC－BD·CD(斯库顿定理). (2). 2.张角定理 在△ABC中，D为BC边上的一点，连接AD，若∠BAD＝α，∠CAD＝β， 则. 3.中线长定理 在△ABC中，AD为BC边上的中线，则AB2＋AC2＝2(AD2＋DC2). 【典例】1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝7，b＝8，c＝9，则AC边上的中线长为　　　　.  【典例】2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD是∠BAC的角平分线，若∠BAC＝，AD＝2，则2b＋c的最小值为　　　　　　　.  【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2025·海口模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，sin A＝则sin B等于(　　) A. B. C. D. 2.在△ABC中，cos C＝AC＝4，BC＝3，则cos B等于(　　) A. B. C. D. 3.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且三边之比a∶b∶c＝2∶3∶4，则等于(　　) A. B.－ C.2 D.－2 4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2则△ABC的形状为(　　) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且三边满足b2＝(a＋c)2－4B＝则△ABC的面积为(　　) A.2－ B.4－2 C.2＋ D.4＋2 6.(2025·上海模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝且c－2b＋2cos C＝0，则该三角形外接圆的半径为(　　) A.1 B. C.2 D.2 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定2个三角形的是(　　) A.A＝b＝1，c＝2 B.B＝b＝1，c＝2 C.A＝b＝3，a＝ D.B＝b＝a＝2 8.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是(　　) A.若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形 B.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形 C.若则△ABC是等边三角形 D.若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝a＝3b，则cos A＝　　　　　　.  10.在△ABC中，AC＝1，∠ACB＝延长BA到点D，使得AD＝∠ADC＝则AB的长为　　　　　　.  四、解答题(共27分) 11.(13分)(2024·新课标全国Ⅱ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2. (1)求A；(5分) (2)若a＝2bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长.(8分) 12.(14分)(2025·南昌模拟)如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边AC＝10，∠BAC＝∠DAC＝BD交AC于点E. (1)求BD2；(7分) (2)求AE.(7分) 【尖子拔高训练】13题6分，14题5分，共11分 13.(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝a2＋b2－c2＝absin C，acos B＋bsin A＝c，则下列结论正确的是(　　) A.tan C＝2 B.A＝ C.b＝ D.△ABC的面积为6 14.已知△ABC的面积S＝(b2＋c2)(其中b，c为△ABC的边长)，则△ABC的形状为　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角函数与解三角形 §4.8　正弦定理、余弦定理 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 考点1 求面积的值及范围或最值 2024·北京卷 2023·全国甲卷 2023·全国乙卷 2022·浙江卷 掌握正弦定理、余弦定理及其相关变形应用，会用三角形的面积公式解决与面积有关的计算问题，会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的综合问题，会利用基本不等式和相关函数性质解决三角形中的最值及范围问题，是新高考卷的必考内容。 考点2 求边长、周长的值及范围或最值 2024·全国新Ⅱ卷 2024·全国新Ⅰ卷 2023·全国新Ⅱ卷 2022·全国新Ⅱ卷 2022·全国乙卷 2022·北京卷 2022·全国新Ⅰ卷 【知识梳理】 1.正、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 余弦定理 正弦定理 公式 a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C ＝＝＝2R 常见变形 cos A＝； cos B＝； cos C＝ (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A 2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b a≤b 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 3.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示a边上的高). (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径). 【名师点拨】 1.三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sin C； (2)cos(A＋B)＝－cos C； (3)sin＝cos； (4)cos＝sin. 2.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A> sin B⇔cos A<cos B. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(　　) (2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　　) (3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　) (4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.(　　) 【答案】(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 【解析】(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比. (3)已知三角时，不可求三边. (4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC不一定为锐角三角形，仅确定A为锐角. 2.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝a＝1，B＝则c等于(　　) A. B.2 C. D.3 【答案】B 【解析】由余弦定理得cos B＝即－整理得c2＋c－6＝0，解得c＝2(负值舍去). 3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝80，b＝100，A＝45°，则符合条件的三角形有(　　) A.一个 B.两个 C.0个 D.不能确定 【答案】B 【解析】由题意知，a＝80，b＝100，A＝45°，由正弦定理，得所以sin B＝. 因为a<b，所以B>A，故B有两解， 即符合条件的三角形有两个. 4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，则cos A＝　　　　　　，△ABC的面积为　　　　　　.  【答案】　 【解析】依题意得cos A＝ 所以sin A＝ 所以△ABC的面积为bcsin A＝. 【名师点拨】 1.熟记△ABC中的以下常用结论： (1)A＋B＋C＝π. (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. (3)大边对大角，大角对大边，a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B. (4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos；cos＝sin. (5)三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. (6)三角形的面积S＝. (7)在斜△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C. 2.谨防两个易误点 (1)已知两边及一边的对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解. (2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断. 【必练核心题型】 题型一　利用正弦、余弦定理解三角形 【典例】1.(2025·重庆模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2＋bc＝a2.若b＝a＝3sin B，则C等于(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】在△ABC中，由b2＋c2＋bc＝a2及余弦定理，可得cos A＝＝－ 由0<A<π，可得A＝ 又b＝a＝3sin B， 由正弦定理得sin B＝ 又sin B>0，解得sin B＝ 又0<B<因此B＝ 所以C＝π－A－B＝. 【典例】2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆的半径R等于(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为b＝8，c＝3，A＝60°， 所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝64＋9－2×8×3×＝49，所以a＝7， 所以此三角形外接圆的直径2R＝所以R＝. 【解题技巧】 应用正弦、余弦定理的解题技巧 (1)求边：利用正弦定理变形公式a＝等或余弦定理求解. (2)求角：利用正弦定理变形公式sin A＝等或余弦定理的推论求解. (3)利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理. 【变式训练】 变式1.(2025·八省联考)在△ABC中,BC=8,AC=10,cos∠BAC=,则△ABC的面积为 (　　) A.6 B.8 C.24 D.48 【答案】C 【解析】由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AB·ACcos∠BAC,即64=100+AB2-2AB×10×, ∴AB2-12AB+36=0, ∴AB=6,∴AB2+BC2=AC2,∴AB⊥BC, S△ABC=AB·BC=×6×8=24. 变式2.(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＋b＝10，c＝5，sin 2B＋sin B＝0，则下列结论正确的是(　　) A.a＝3 B.b＝7 C.B＝60° D.sin C＝ 【答案】ABD 【解析】由sin 2B＋sin B＝0，得 2sin Bcos B＋sin B＝0， 因为在△ABC中，sin B≠0，得cos B＝－ 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得b2＝a2＋52－2×a×5× 因为b＝10－a，所以(10－a)2＝a2＋52－2×a×5×解得a＝3，所以b＝7. 由cos B＝－得B＝120°，则sin B＝. 由正弦定理得sin C＝sin B＝×. 题型二　正弦定理、余弦定理的简单应用 命题点1　三角形的形状判断 【典例】1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】方法一　因为c－acos B＝(2a－b)cos A， C＝π－(A＋B)， 所以由正弦定理得sin C－sin Acos B ＝2sin Acos A－sin Bcos A， 所以sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B ＝2sin Acos A－sin Bcos A， 所以cos A(sin B－sin A)＝0， 所以cos A＝0或sin B＝sin A， 所以A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)， 所以△ABC为等腰或直角三角形. 方法二　因为c－acos B＝(2a－b)cos A， 由余弦定理得 c－a·＝(2a－b)· 化简得(a－b)(b2＋c2－a2)＝0， 所以a－b＝0或b2＋c2－a2＝0， 所以a＝b或b2＋c2＝a2， 故△ABC为等腰或直角三角形. 命题点2　三角形的面积 【典例】2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝b＝6，a2＋c2＝2ac，则△ABC的面积为　　　　　　.  【答案】3 【解析】由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 即36＝a2＋c2＋ac＝2ac＋ac＝3ac， 所以ac＝6 所以△ABC的面积 S＝acsin B＝×6×＝3. 命题点3　与平面几何有关的问题 【典例3.已知D是Rt△ABC斜边BC上一点，AC＝DC. (1)若∠DAC＝30°，则∠ADC＝　　　　　　；  (2)若BD＝2DC，且DC＝1，则AD的长为　　　　　　.  【答案】(1)120°　(2) 【解析】(1)在△ADC中，由正弦定理得 所以sin∠ADC＝× 又∠ADC＝B＋∠BAD＝B＋(90°－∠DAC)＝B＋60°>60°， 所以∠ADC＝120°. (2)由BD＝2DC，且DC＝1知BC＝3， 又AC＝DC，则AC＝ 所以Rt△ABC中，cos C＝ 在△ADC中，由余弦定理得 AD2＝AC2＋DC2－2AC·DC·cos C＝()2＋1－2×1×＝2， 所以AD＝. 【解题技巧】 (1)判断三角形形状的两种思路 ①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状. ②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状. (2)三角形面积公式的应用原则 ①对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式. ②与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 【变式训练】 变式1.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为　　　　　　.  【答案】等边三角形 【解析】因为 所以所以b＝c. 又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc， 所以b2＋c2－a2＝bc， 所以cos A＝. 因为A∈(0，π)，所以A＝ 所以△ABC是等边三角形. 变式2.(2024·新课标全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. ①求B； ②若△ABC的面积为3＋求c. 【解析】 ①由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C， 因为a2＋b2－c2＝ab， 所以cos C＝ 因为C∈(0，π)，所以sin C>0， 从而sin C＝ 又因为sin C＝cos B， 即cos B＝ 又B∈(0，π)，所以B＝. ②由①可得B＝cos C＝C∈(0，π)， 从而C＝sin A＝sin(B＋C)＝sin ＝××. 方法一　由正弦定理有 从而b＝·c＝c， 由三角形面积公式可知， △ABC的面积可表示为S△ABC＝bc·sin A ＝·c·c·c2， 由已知△ABC的面积为3＋ 可得c2＝3＋所以c＝2. 方法二　记R为△ABC外接圆的半径， 由正弦定理得 S△ABC＝ab·sin C＝2R2sin Asin Bsin C ＝2R2··· ＝·R2＝3＋. 所以R＝2. 所以c＝2R·sin C＝2×2×＝2. 【拓展训练】 相关定理在解三角形中的综合应用 1.角平分线定理 在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，则. 进而得到(1)AD2＝AB·AC－BD·CD(斯库顿定理). (2). 2.张角定理 在△ABC中，D为BC边上的一点，连接AD，若∠BAD＝α，∠CAD＝β， 则. 3.中线长定理 在△ABC中，AD为BC边上的中线，则AB2＋AC2＝2(AD2＋DC2). 【典例】1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝7，b＝8，c＝9，则AC边上的中线长为　　　　.  【答案】7 【解析】方法一　在△ABC中，设BD是AC边上的中线，由中线长定理知， AB2＋BC2＝2(BD2＋DC2)， 即c2＋a2＝2， 则BD2＝＝49，BD＝7， 故AC边上的中线长为7. 方法二　因为a＝7，b＝8，c＝9，由余弦定理得cos B＝. 设D是AC的中点，则)， 两边平方得||2＝＋2·) ＝×＝49， 所以||＝7，即AC边上的中线长为7. 【典例】2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD是∠BAC的角平分线，若∠BAC＝，AD＝2，则2b＋c的最小值为　　　　　　　.  【答案】6＋4 【解析】如图，∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD ＝∠BAC＝， 由张角定理得， 即，∴， ∴2b＋c＝(2b＋c)×2 ＝6＋≥6＋2 ＝6＋4(当且仅当且， 即c＝b＝2＋2时取等号). 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2025·海口模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，sin A＝则sin B等于(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】若a＝2，b＝3，sin A＝ 则由正弦定理得即 所以sin B＝. 2.在△ABC中，cos C＝AC＝4，BC＝3，则cos B等于(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】依题意，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝42＋32－2×4×3×＝9，即AB＝3，所以cos B＝. 3.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且三边之比a∶b∶c＝2∶3∶4，则等于(　　) A. B.－ C.2 D.－2 【答案】C 【解析】因为在△ABC中，a∶b∶c＝2∶3∶4， 设a，b，c分别为2k，3k，4k，k>0， 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C， 可得16k2＝4k2＋9k2－12k2cos C， 解得cos C＝－ 可得＝2. 4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2则△ABC的形状为(　　) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 【答案】A 【解析】∵sin2 ∴∴cos A＝ ∵cos A＝ ∴b2＋c2－a2＝2b2，∴b2＋a2＝c2， ∴△ABC为直角三角形，且C＝90°. 5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且三边满足b2＝(a＋c)2－4B＝则△ABC的面积为(　　) A.2－ B.4－2 C.2＋ D.4＋2 【答案】A 【解析】因为b2＝(a＋c)2－4＝a2＋c2＋2ac－4所以a2＋c2－b2＝4－2ac， 因为B＝由余弦定理得， cos B＝ 所以ac＝4－4， 故△ABC的面积 S＝acsin B＝(4－4)×＝2－. 6.(2025·上海模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝且c－2b＋2cos C＝0，则该三角形外接圆的半径为(　　) A.1 B. C.2 D.2 【答案】A 【解析】∵a＝∴c－2b＋2acos C＝0， ∴sin C－2sin B＋2sin Acos C＝0， ∴sin C－2sin(A＋C)＋2sin Acos C＝0， ∴sin C－2sin Acos C－2sin Ccos A＋2sin Acos C＝0， ∴sin C－2sin Ccos A＝0， ∵sin C>0，∴cos A＝ ∵A∈(0，π)，∴A＝ 设该三角形外接圆的半径为r，由正弦定理得 ＝2＝2r， ∴r＝1. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定2个三角形的是(　　) A.A＝b＝1，c＝2 B.B＝b＝1，c＝2 C.A＝b＝3，a＝ D.B＝b＝a＝2 【答案】CD 【解析】对于A，因为两边及其夹角唯一确定一个三角形，所以A选项的条件能确定1个三角形； 对于B，由正弦定理可知，sin C＝>1，无解， 故B选项的条件不能确定三角形； 对于C，由正弦定理可知，sin B＝<1，又b>a，即B∈ 所以B＝或B＝故C选项的条件能确定2个三角形； 对于D，由正弦定理可知，sin A＝<1， 又a>b，即A∈又易知sin A＝>sin则sin A＝有两个解， 故D选项的条件能确定2个三角形. 8.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是(　　) A.若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形 B.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形 C.若则△ABC是等边三角形 D.若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形 【答案】BC 【解析】对于A，若acos A＝bcos B，则由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，若bcos C＋ccos B＝b，则由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A＝sin B，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故B正确； 对于C，若则由正弦定理得则tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故C正确； 对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，故△ABC是等边三角形，故D错误. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝a＝3b，则cos A＝　　　　　　.  【答案】－ 【解析】在△ABC中，cos C＝a＝3b， 由余弦定理可得 cos C＝ 解得c＝b， 再由余弦定理可得 cos A＝＝－. 10.在△ABC中，AC＝1，∠ACB＝延长BA到点D，使得AD＝∠ADC＝则AB的长为　　　　　　.  【答案】 【解析】∵在△ABC中，AC＝1，∠ACB＝延长BA到点D，使得AD＝∠ADC＝ ∴由正弦定理得 可得sin∠ACD＝ 可得∠ACD＝∴∠BAC＝∠ACD＋∠ADC＝∠ABC＝π－ ∴在△ABC中，由正弦定理得 即解得AB＝. 四、解答题(共27分) 11.(13分)(2024·新课标全国Ⅱ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2. (1)求A；(5分) (2)若a＝2bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长.(8分) 【解析】 (1)方法一　常规方法(辅助角公式) 由sin A＋cos A＝2， 可得sin A＋cos A＝1， 即sin＝1， 由于A∈(0，π)⇒A＋∈ 故A＋ 解得A＝. 方法二　常规方法(同角三角函数的基本关系) 由sin A＋cos A＝2， 又sin 2A＋cos 2A＝1， 消去sin A得到 4cos2A－4cos A＋3＝0⇔(2cos A－)2＝0， 解得cos A＝ 又A∈(0，π)，故A＝. (2)由题设条件和正弦定理得， bsin C＝csin 2B⇔sin Bsin C＝2sin Csin Bcos B， 又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0， 进而cos B＝得到B＝ 于是C＝π－A－B＝ sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B ＝ 由正弦定理可得， 即 解得b＝2c＝ 故△ABC的周长为2＋＋3. 12.(14分)(2025·南昌模拟)如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边AC＝10，∠BAC＝∠DAC＝BD交AC于点E. (1)求BD2；(7分) (2)求AE.(7分) 【解析】 (1)因为两块直角三角形斜边靠在一起，其中公共斜边AC＝10，∠BAC＝∠DAC＝BD交AC于点E， 可得AB＝AC·cos∠BAC＝10×＝5， AD＝AC·cos∠DAC＝10×＝5 因为∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝ 所以cos∠BAD＝cos cos －sin sin ＝×× 所以在△ABD中， BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD ＝25＋50－2×5×5× ＝50＋25. (2)因为sin∠BAD＝sin 又因为S△ABD＝S△ABE＋S△ADE， 所以·AB·AD·sin∠BAD＝·AB·AE·sin∠BAE＋·AE·AD·sin∠EAD， 即×5×5××5×AE××AE×5× 解得AE＝5－5. 【尖子拔高训练】13题6分，14题5分，共11分 13.(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝a2＋b2－c2＝absin C，acos B＋bsin A＝c，则下列结论正确的是(　　) A.tan C＝2 B.A＝ C.b＝ D.△ABC的面积为6 【答案】ABD 【解析】因为a2＋b2－c2＝absin C， 所以cos C＝ 所以tan C＝＝2，故A正确； 因为acos B＋bsin A＝c，利用正弦定理可得 sin Acos B＋sin Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B， 即sin Bsin A＝cos Asin B， 因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以tan A＝1， 又A∈(0，π)，所以A＝故B正确； 因为tan C＝2，C∈(0，π)， 所以sin C＝cos C＝ 又A＝所以sin A＝cos A＝ 所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×× 因为所以b＝＝3故C错误； S△ABC＝absin C＝××3×＝6，故D正确. 14.已知△ABC的面积S＝(b2＋c2)(其中b，c为△ABC的边长)，则△ABC的形状为　　　　　　.  【答案】等腰直角三角形 【解析】依题意，△ABC的面积S＝(b2＋c2)， 则bcsin A＝(b2＋c2)，即2bcsin A＝b2＋c2， 由于0<A<π，所以0<sin A≤1， 所以0<2bcsin A≤2bc， 由基本不等式可知b2＋c2≥2bc， 当且仅当b＝c时等号成立， 所以sin A＝1，A＝△ABC是等腰直角三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $$