第四章 §4.7　三角函数中有关ω的范围问题（新高考通用）-【2026年高考数学一轮备考·学霸专练】

第四章 三角函数与解三角形 §4.7　三角函数中有关ω的范围问题 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 三角函数中有关ω的范围问题 2024·天津卷 2023·天津卷 2022·天津卷 2021·天津卷 2021·全国新Ⅰ卷 在近几年高考中，ω的求解确实是三角函数部分的一个热点问题，通常涉及到三角函数的周期性、单调性、图像变换等知识点。 【名师点拨】 在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点. 【必练核心题型】 题型一　三角函数的单调性与ω的关系 【典例】1.已知函数f(x)＝2sin(ω>0)在上存在最值，且在上单调，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【变式训练】 变式1.已知函数y＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是　　　　　　.  题型二　三角函数的对称性与ω的关系 【典例】2.(2025·杭州模拟)已知ω≠0，函数f(x)＝sin在上有三条对称轴和两个极小值，则(　　) A.<ω≤ B.<ω≤ C.－≤ω<－ D.－≤ω<－ 【变式训练】 变式2.已知函数f(x)＝2sin(ω>0)满足f ＝f 则ω的最小值为(　　) A. B. C.1 D.2 题型三　三角函数的最值与ω的关系 【典例】3.已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则实数ω的取值范围是　　　　　　.  【变式训练】 变式3.已知函数f(x)＝sin(ω>0)，若f＝f且f(x)在区间内有最大值，无最小值，则ω＝　　　　　　.  题型四　三角函数的零点与ω的关系 【典例】4.(2025·福州模拟)已知函数f(x)＝sin(ω>0)在[0，2]内有且仅有5个零点，则f(x)在[0，2]内的极值点个数为(　　) A.4 B.4或5 C.5 D.5或6 【变式训练】 变式4.(2023·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　　　　.  【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知函数f(x)＝Asin(A>0，ω>0)的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数ω的最小值是(　　) A. B. C. D.8 2.(2025·呼和浩特模拟)已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间[0，π]上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 3.为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(　　) A.98π B. C. D.100π 4.(2025·内江模拟)设函数f(x)＝2sin(ω>0)，若存在x1，x2∈且x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)＝1，则ω的取值范围是(　　) A.[4，＋∞) B.(4，6] C.[6，＋∞) D.(6，10] 5.设函数f(x)＝sin(ω>0)，已知方程|f(x)|＝1在[0，2π]上有且仅有2个不相等的实数根，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 6.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)若x＝为f(x)的零点，直线x＝－是f(x)图象的对称轴，且f(x)在区间上单调，则当实数ω取得最大值时，φ等于(　　) A. B.－ C. D.－ 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.已知函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，那么常数ω的一个取值可以为(　　) A. B. C. D.1 8.(2025·江门模拟)已知函数f(x)＝sin＋sin＋2cos2ωx－(ω>0)，则下列结论正确的是(　　) A.若f(x)相邻两条对称轴的距离为则ω＝2 B.当ω＝1，x∈时，f(x)的值域为[－2] C.当ω＝1时，f(x)的图象向左平移个单位长度得到图象的函数解析式为y＝2cos D.若f(x)在区间内有且仅有两个零点，则5≤ω<8 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知函数f(x)＝2sin－1(ω>0)在(0，π)内恰有两个零点，则实数ω的取值范围为　　　　　　.  10.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是偶函数，且在上单调递减，则φ＝　　　　　　，ω的最大值是　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角函数与解三角形 §4.7　三角函数中有关ω的范围问题 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 三角函数中有关ω的范围问题 2024·天津卷 2023·天津卷 2022·天津卷 2021·天津卷 2021·全国新Ⅰ卷 在近几年高考中，ω的求解确实是三角函数部分的一个热点问题，通常涉及到三角函数的周期性、单调性、图像变换等知识点。 【名师点拨】 在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点. 【必练核心题型】 题型一　三角函数的单调性与ω的关系 【典例】1.已知函数f(x)＝2sin(ω>0)在上存在最值，且在上单调，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】当0<x<时，因为ω>0，则－<ωx－< 因为函数f(x)在上存在最值，则>解得ω>2， 当<x<π时<ωx－<πω－ 因为函数f(x)在上单调， 则⊆(k∈Z)， 所以其中k∈Z，解得k－≤ω≤k＋(k∈Z)， 所以k－≤k＋(k∈Z)，解得k≤且k∈Z， 又因为ω>0，则k∈{0，1，2}. 当k＝0时，0<ω≤； 当k＝1时，1≤ω≤； 当k＝2时≤ω≤. 又因为ω>2，因此ω的取值范围是. 【解题技巧】 确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系建立不等式，即可求ω的取值范围. 【变式训练】 变式1.已知函数y＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是　　　　　　.  【答案】 【解析】函数y＝sin(ω>0)在区间上单调递增， 当－<x<时，－<ωx＋<而当x＝0时，ωx＋则∈ 因此 而ω>0，解得0<ω≤ 所以ω的取值范围是. 题型二　三角函数的对称性与ω的关系 【典例】2.(2025·杭州模拟)已知ω≠0，函数f(x)＝sin在上有三条对称轴和两个极小值，则(　　) A.<ω≤ B.<ω≤ C.－≤ω<－ D.－≤ω<－ 【答案】C 【解析】∵x∈ ①当ω>0时，ωx＋∈ 若f(x)在上有两个极小值，则f(x)至少有4条对称轴，不满足题意； ②当ω<0时，ωx＋∈ 又函数f(x)＝sin在上有三条对称轴和两个极小值， ∴－≤<－解得－≤ω<－ 综上，－≤ω<－. 【解题技巧】 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围. 【变式训练】 变式2.已知函数f(x)＝2sin(ω>0)满足f ＝f 则ω的最小值为(　　) A. B. C.1 D.2 【答案】A 【解析】由已知可得函数f(x)＝2sin(ω>0)满足f ＝f  即f ＝f  所以f(x)的图象关于直线x＝对称， 所以＋kπ(k∈Z)， 所以ω＝4k＋(k∈Z)， 又ω>0，所以当k＝0时，ω取得最小值为. 题型三　三角函数的最值与ω的关系 【典例】3.已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则实数ω的取值范围是　　　　　　.  【答案】(－∞，－2]∪ 【解析】显然ω≠0. 若ω>0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω， 因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－解得ω≥； 若ω<0，当x∈时ω≤ωx≤－ω， 因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以ω≤－解得ω≤－2. 综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是(－∞，－2]∪. 【解题技巧】 利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围. 【变式训练】 变式3.已知函数f(x)＝sin(ω>0)，若f＝f且f(x)在区间内有最大值，无最小值，则ω＝　　　　　　.  【答案】 【解析】由题意知当x＝时，f(x)取得最大值， 即ω＋＝2kπ＋(k∈Z)， 解得ω＝6k＋(k∈Z)， 又<T，即>所以ω<6， 又ω>0，所以ω＝. 题型四　三角函数的零点与ω的关系 【典例】4.(2025·福州模拟)已知函数f(x)＝sin(ω>0)在[0，2]内有且仅有5个零点，则f(x)在[0，2]内的极值点个数为(　　) A.4 B.4或5 C.5 D.5或6 【答案】D 【解析】因为ω>0，当x∈[0，2]时， ≤ωx＋≤2ω＋ 由函数f(x)在[0，2]内有且仅有5个零点，得5π≤2ω＋<6π， 当5π≤2ω＋<π时，函数f(x)在[0，2]内有5个极值点，当π≤2ω＋<6π时，函数f(x)在[0，2]内有6个极值点， 所以f(x)在[0，2]内的极值点个数为5或6. 【解题技巧】 三角函数两个零点之间的“水平间隔”为根据三角函数的零点个数，可以研究ω的取值. 【变式训练】 变式4.(2023·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　　　　.  【答案】[2，3) 【解析】因为0≤x≤2π， 所以0≤ωx≤2ωπ， 令f(x)＝cos ωx－1＝0， 则cos ωx＝1有3个根， 令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]， 结合余弦函数y＝cos t的图象性质可得 4π≤2ωπ<6π， 故2≤ω<3. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知函数f(x)＝Asin(A>0，ω>0)的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数ω的最小值是(　　) A. B. C. D.8 【答案】B 【解析】由题可知是该函数周期的整数倍， 即×k，k∈Z，解得ω＝k∈Z， 又ω>0，故其最小值为. 2.(2025·呼和浩特模拟)已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间[0，π]上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】x∈[0，π]，ω>0， 则ωx－∈ 函数f(x)＝sin(ω>0)在区间[0，π]上有且仅有两条对称轴， 则≤ωπ－<故ω的取值范围是. 3.为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(　　) A.98π B. C. D.100π 【答案】B 【解析】由题意，在[0，1]上至少出现50次最大值即在[0，1]上至少有49个周期，即个周期，所以T＝·≤1， 所以ω≥ω的最小值为. 4.(2025·内江模拟)设函数f(x)＝2sin(ω>0)，若存在x1，x2∈且x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)＝1，则ω的取值范围是(　　) A.[4，＋∞) B.(4，6] C.[6，＋∞) D.(6，10] 【答案】A 【解析】∵f(x)＝2sin(ω>0)， ∴当x∈时，ωx＋∈ 易知0∈f(0)＝1， 又2sin＝1，∴若存在x1，x2∈ 且x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)＝1， 则－≤－解得ω≥4. 5.设函数f(x)＝sin(ω>0)，已知方程|f(x)|＝1在[0，2π]上有且仅有2个不相等的实数根，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵f(x)＝sin(ω>0)， ∴当x∈[0，2π]时，ωx－∈ ∵方程|f(x)|＝1在[0，2π]上有且仅有2个不相等的实数根， ∴≤2πω－<解得≤ω<. 6.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)若x＝为f(x)的零点，直线x＝－是f(x)图象的对称轴，且f(x)在区间上单调，则当实数ω取得最大值时，φ等于(　　) A. B.－ C. D.－ 【答案】B 【解析】因为f(x)的最小正周期T＝且f(x)在区间上单调，所以≥ 又ω>0，故0<ω≤11， ① 又因为x＝为f(x)的零点，直线x＝－是f(x)图象的对称轴， 所以＋k··(k∈Z)，整理得ω＝2k＋1(k∈Z). ② 由①②得0<ω≤11且ω为奇数， 当ω＝11时，将x＝－代入ωx＋φ， 令11×＋φ＝k'π(k'∈Z)， 得φ＝k'π＋(k'∈Z)， 又|φ|≤故取k'＝－2，得φ＝－ 此时f(x)＝Acos(A>0). 验证当<x<时，0<11x－<π， 满足f(x)在区间上单调递减， 故实数ω的最大值为11，此时φ＝－. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.已知函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，那么常数ω的一个取值可以为(　　) A. B. C. D.1 【答案】ABC 【解析】f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，则ω·≤ω·≥－ ∴0<ω≤∴选项ABC符合题意. 8.(2025·江门模拟)已知函数f(x)＝sin＋sin＋2cos2ωx－(ω>0)，则下列结论正确的是(　　) A.若f(x)相邻两条对称轴的距离为则ω＝2 B.当ω＝1，x∈时，f(x)的值域为[－2] C.当ω＝1时，f(x)的图象向左平移个单位长度得到图象的函数解析式为y＝2cos D.若f(x)在区间内有且仅有两个零点，则5≤ω<8 【答案】BCD 【解析】f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋sin 2ωx－cos 2ωx＋cos 2ωx ＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin A项，若f(x)相邻两条对称轴的距离为则T＝π＝∴ω＝1，A项错误； B项，f(x)＝2sin当x∈时，2x＋∈则值域为[－2]，B项正确； C项，当ω＝1时，f(x)的图象向左平移个单位长度得到图象的函数解析式为y＝2sin＝2sin＝2cosC项正确； D项，f(x)＝2sin当x∈时，ω>0，则2ωx＋∈ 若f(x)在区间内有且仅有两个零点，则2π≤<3π，∴5≤ω<8，D项正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知函数f(x)＝2sin－1(ω>0)在(0，π)内恰有两个零点，则实数ω的取值范围为　　　　　　.  【答案】 【解析】令f(x)＝0，∴sin ∵x∈(0，π)，ω>0，∴ωx＋∈ ∵f(x)在(0，π)内恰有两个零点， 故<ωπ＋≤∴2<ω≤ 即实数ω的取值范围为. 10.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是偶函数，且在上单调递减，则φ＝　　　　　　，ω的最大值是　　　　　　.  【答案】　2 【解析】由题意知φ＝＋kπ，k∈Z， 又0≤φ≤π，所以φ＝ 故函数f(x)＝cos ωx(ω>0). 令2mπ≤ωx≤π＋2mπ，m∈Z， 得≤x≤m∈Z， 令m＝0，得0≤x≤ 所以≥解得0<ω≤2， 所以ω的最大值是2. 学科网（北京）股份有限公司 $$