2025年中考数学临考冲刺专题：二次函数与特殊几何图形压轴题专题训练

2025年中考数学临考冲刺专题：

二次函数与特殊几何图形压轴题专题训练

 

 

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点．

(1)求点，点的坐标；

(2)抛物线与抛物线关于原点成中心对称，求抛物线的表达式；

(3)已知的对应点为，的对应点为，的对应点为，以，，，，，六个点中的4个点为顶点构造四边形，请写出形状为菱形的四边形，并求出面积最大的菱形面积．

2．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一动点，设点的横坐标为．

(1)求抛物线的表达式．

(2)如图1，连接，并延长交轴于点，连接，交轴于点．点在运动过程中，的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由．

(3)将该抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得到如图2所示的抛物线刚好经过点，点为抛物线对称轴上一点．在平面内确定一点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形．

3．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．

(1)求这个二次函数的解析式．

(2)若点P在线段上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点N的坐标．

(3)点D为抛物线的顶点，点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在点E、F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由．

4．如图，抛物线与x轴交于点和点．与y轴交于点C，连接，．

(1)求该抛物线的函数解析式．

(2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于D．

①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；

②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线交于点N．当时，请直接写出的长．

5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与直线交于点和．

(1)求抛物线的表达式；

(2)已知点在轴上，当以点A、B、O、D为顶点的四边形是矩形时，求点到直线的距离；

(3)设直线与轴交于点，已知点P、Q在直线上且在直线的下方（点在点的右侧），如果，求点P、Q的坐标．

6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点．点是轴上方抛物线上一动点（不落在轴上），过点作轴交轴于点，轴交轴于点．设点的横坐标为，矩形的周长为．

(1)求这条抛物线所对应的函数表达式．

(2)当矩形的面积被抛物线的对称轴平分时，求的值．

(3)求与之间的函数关系式．

(4)设直线与矩形的边交于点，当为等腰直角三角形时，直接写出的取值范围．

7．如图，直线分别交轴于，点，抛物线经过，两点且与轴交于另一点，点是轴上方抛物线上一点，且点的横坐标为．

(1)求抛物线解析式；

(2)如图，当点是抛物线的顶点时，连接交于点．求与之间的数量关系；

(3)过作轴于，轴于，令矩形的周长为．

求与的函数解析式；

若矩形围成的区域（不含边界，即矩形四条边上的点不符合区域）记为，当且内恰有奇数个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出的取值范围．

8．如图，抛物线与x轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，抛物线的顶点为，过点向轴作垂线，交轴于点，以和为邻边在第二象限内作矩形．动点从点出发，沿向点运动，运动的速度为每秒个单位长度．设点的运动时间为秒，过点作，交于点，过点作于点，交抛物线于点．

(1)求该抛物线的函数解析式．

(2)当为的中点时，求的长．

(3)如图1，连接，当的面积最大时，求的值．

(4)如图2，点运动的同时，点从点出发沿向点运动，运动的速度为每秒个单位长度，为矩形内一点，且点在点的正下方，当四边形为菱形时，直接写出的值．

9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、C两点，其中，，与y轴