专题02 代数方程（考题猜想，高频重难点11大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版）

专题02 代数方程（考题猜想，11大题型） 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 二项方程 · 题型二 分式方程的定义 · 题型三 解分式方程（化为一元一次）（重点） · 题型四 解分式方程（化为一元二次） · 题型五 根据分式方程解的情况求值（重点） · 题型六 分式方程无解问题（重点） · 题型七 列分式方程 · 题型八 分式方程的行程问题（高频） · 题型九 分式方程的工程问题（高频） · 题型十 无理方程（重点） · 题型十一 二元二次方程组及其解法 题型一 二项方程 1．（22-23八年级下·上海·期末）下列方程中，是关于的二项方程式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二项方程的定义，掌握形如n为正整数的方程是二项方程是解题的关键． 【详解】解：A. 不是整式方程，不符合题意； B. ，不是二项方程； C. 是二项方程； D. ，当时，不是二项方程， 故选C． 2．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）已知各组的值①②③④其中，是二元二次方程的解的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二元二次方程的解，将题目中的各组解分别代入中，看哪一组解使得，则哪一组解就是方程的解，本题得以解决 【详解】解：即 ①当时，，故该选项符合题意； ②．当，，故该选项符合题意； ③． ，故该选项不符合题意； ④． ，故该选项符合题意； 则符合题意得有3个． 故选：C． 3.（22-23八年级下·上海闵行·期末）方程的解是 ．（保留三位小数）． 【答案】 【分析】先求出，再利用计算器求出即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解高次方程和近似数和有效数字，能求出是解此题的关键． 4.（24-25八年级下·上海·期中）解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程组，设，则原方程组可化为，解方程组求出m、n的值，进而求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：设，则原方程组可化为， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴， ∴， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 题型二 分式方程的定义 5.（24-25七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中是否含有未知数的方程叫做分式方程，据此可得答案． 【详解】解；由分式方程的定义可知，四个选项中，只有A选项中的方程是分式方程， 故选：A． 6．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）下列关于x的方程中，其中说法正确的是（     ） A．方程是一元三次方程 B．方程是一元三次方程 C．方程是一元二次方程 D．方程是分式方程 【答案】B 【分析】该题主要考查了一元二次方程、分式方程、一元一次方程、一元三次方程的概念，解题的关键是熟悉各个方程的概念． 根据方程的概念对选项一一判断即可． 【详解】A．方程是一元二次方程，原选项错误，该选项不符合题意； B．方程是一元三次方程，原选项正确，该选项符合题意； C．方程是一元一次方程，原选项错误，该选项不符合题意； D．方程是一元一次方程，原选项错误，该选项不符合题意； 故选：B． 题型三 解分式方程（化为一元一次） 7.（23-24八年级下·上海·期末）用换元法解分式方程 时，如果设 ，那么原方程可化为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了换元法解分式方程，一元二次方程，设 ，根据题意，化简方程，即可求解． 【详解】解：设 ，原方程可化为 即 故选：B． 8．（23-24八年级下·上海金山·期末）用换元法解分式方程时，设，那么原方程化成整式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用换元法解分式方程，按照题意要求进行即可． 【详解】解：设，则原方程化为：， 方程两边同乘以y并整理得：， 故选：D． 9．（24-25七年级上·上海宝山·期末）通过教材中分式单元的的阅读材料，我们知道了一个分式可以写成几个分式的和， 如：． 观察下列解方程的过程：． ． ． ． 在上述的解方程过程中，应用了，使解方程的过程变得简捷． 类似的，解方程， 这个方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，根据题目提供的方法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 解得：， 经检验是原方程的解， 故答案为：． 10.（24-25七年级上·上海闵行·期末）解方程： 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，求出解后再进行检验，进而得出答案． 【详解】解：， 在方程两边同乘以，得： 解得：， 检验：把代入，得：， ∴是原分式方程的解． 11．（24-25七年级上·上海闵行·期末）先化简，再解答下列问题： (1)当时，求代数式的值． (2)原代数式的值能等于吗？如果能，请求出此时的值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可； （2）令原代数式的值等于，求出a的值，代入原式进行检验即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解：能， 由（1）知，原代数式为， 令， 解得， 经检验，符合题意． 题型四 解分式方程（化为一元二次） 12.（24-25八年级下·上海·期中）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 去分母，方程的两边同时乘以得： 移项合并同类项得，， ∴ ∴或 解得， 检验：将代入；将代入，应舍去； ∴是原分式方程的解． 故答案为：． 13.（24-25八年级下·上海·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程并检验即可求解； 【详解】解： 去分母得， 整理得， 或 解得， 检验：将代入，符合题意； 将代入，不符合题意； ∴原分式方程的根为． 题型五 根据分式方程解的情况求值 14.（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如果关于x的方程有增根，则 ． 【答案】/0.5 【分析】此题考查了分式方程的增根，先将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得出x的值，最后将x的值代入整式方程求解即可． 【详解】方程两边同时乘以得： 即， ∵原方程有增根， ∴， 解得：， 将代入得：， 故答案为：． 15.（24-25七年级上·上海普陀·期末）已知关于的分式方程有增根，那么的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程，先根据解分式方程的方法求出，再根据分式方程有增根，得出，则，即可得出关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：， 即， ∴， ∴， 解得：， ∵分式方程有增根， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：3． 16.（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知关于x的方程：的解是正数，求m的取值范围 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式方程的解，先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，求出x的值，然后根据分式方程的解为正数，分式方程的分母，列出关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘得： ， ， ， ， ∵此方程的解为正数， ∴， 解得， ∵分式方程有解， ∴， ∴，， ∴，， ∴m的取值范围为：且 17.（23-24七年级上·上海松江·期末）已知关于的方程． (1)在解该方程时，去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解，求的值； (2)若该方程的解为负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，将分式方程转化为整式方程求解是解此题的关键． （1）解分式方程得，由去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解可得当时，满足题意，从而得出，求解即可； （2）解分式方程得，由该方程的解为负数得出，结合要使原分式方程有解，则，即可得出答案． 【详解】（1）解：方程两边同乘得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为得：， 去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解， 当时，满足题意， ， 解得：； （2）解：方程两边同乘得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为得：， 该方程的解为负数， ， 解得：， 由（1）可得，要使原分式方程有解，则， 的取值范围为：且． 题型六 分式方程无解问题 18.（24-25七年级上·上海杨浦·期末）若关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，分式方程无解分为分式方程有增根、化简后的整式方程无解两种情况，据此即可求解． 【详解】解： 方程两边同时乘以得：， 解得：， 关于的方程无解， 或， ，， 当时，， 解得：， 综上所述：的值为或， 故答案为：或． 19．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如果是关于的方程的增根，那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程去分母转化为整式方程，把代入计算即可求出a的值． 【详解】解：， 去分母得：， 把代入得：， 故答案为：． 20.（24-25七年级上·上海·期末）如果两个分式P与Q的差为常数k，且k是整数．则称P是Q的“差整分式”，常数k称为“差整值”．例如：分式，，所以，则P是Q的“差整分式”，“差整值”． (1)已知分式，，判断A是不是B的“差整分式”；若不是，请说明理由；若是，请求出“差整值”； (2)已知分式，，C是D的“差整分式”，且“差整值”．若x为整数，则分式D的值为正整数a． ①求M所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，若关于y的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A是B的“差整分式”，“差整值”为3 (2)①；② (3)1或4 【分析】本题考查了新定义运算、分式的加减、分式方程的无解问题，熟练掌握以上知识点，根据新定义运算法则按要求计算是解题的关键． （1）先计算，根据计算结果即可解答； （2）①由题意得，，代入式子再化简即可得出M所代表的代数式；②由，结合分式D的值为正整数，且x为整数，得出，即可解答； （3）由题意得，，可得，整理得，由方程无解，可得或者方程有增根，再分别求解即可． 【详解】（1）解：， 是B的“差整分式”，“差整值”为3． （2）解：①C是D的“差整分式”，且“差整值” ， ， 解得：； ②， 分式D的值为正整数，且x为整数 ， ． （3）解：由（2）得，， ， ， 整理得：， 当时，整式方程无解，符合题意； 当时，， 方程无解， （无解，舍去）或， 解得：， 综上所述，实数m的值为1或4． 题型七 列分式方程 21．（23-24七年级上·上海·期末）寒风乍起，甲安装队为小区安装台空调，乙安装队为小区安装台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装台．设乙队每天安装台，根据题意，下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出题目中的关键语，找到相应的等量关系是解决问题的关键，注意工作时间=工作总量÷工作效率．利用“两队同时开工且恰好同时完工”，可得等量关系为：甲队所用时间=乙队所用时间．再列方程即可． 【详解】解：乙队每天安装x台，则甲队每天安装台， 甲队用的天数为：天，乙队用的天数为：天， 则列方程为：， 故选D． 22．（21-22八年级下·上海徐汇·期中）某区为残疾人办实事，在一道路改造工程中，为盲人修建一条长3000米的盲道，在实际施工中，由于增加了施工人员，每天可以比原计划多修建250米，结果提前2天完成工程，设实际每天修建盲道x米，根据题意可得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题属于工程问题，未知量是工作效率：实际每天修建盲道x米．题目告诉了工作总量：3000米，那么根据工作时间来列等量关系．等量关系为：原计划工作时间现在工作时间=2天，据此列出方程． 【详解】解：实际每天修建盲道x米，则原计划每天修米． 由题意，知原计划用的时间为天，实际用的时间为：天， 故所列方程为：． 故选A． 【点睛】本题考查用分式方程解决工程问题，工程问题的基本关系式为：工作时间工作总量工作效率．找到关键描述语，得到等量关系是解决问题的关键． 23.（24-25七年级上·上海徐汇·期末）甲安装队为A小区安装78台空调，乙安装队为B小区安装65台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装3台，若设乙队每天安装x台，则根据题意可列方程 ．（无需解方程） 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设乙队每天安装x台，则甲队每天安装台，根据两队同时开工且恰好同时完工，列出分式方程即可． 【详解】解：设乙队每天安装x台，则甲队每天安装台， 由题意得：， 故答案为： 24.（24-25七年级上·上海嘉定·期末）某区为治理污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道．铺设120 米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，以后每天铺设管道的长度比原计划增加，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度． 【答案】原计划每天铺设管道9米． 【分析】本题考查了分式方程的应用，此题涉及的公式：工作时间=工作量工作效率，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．设原计划每天铺设管道的长度为，则增加后每天的工作效率为，找出等量关系：铺设的时间+铺设的时间天，列方程求解即可． 【详解】解：原计划每天铺设管道x米； 列方程：， 解得， 经检验 是原方程的解且符合题意； 答：原计划每天铺设管道9 米． 题型八 分式方程的行程问题 25.（22-23七年级上·上海嘉定·期末）已知A、B两地相距千米，一辆“和谐号”动车组的行驶速度是原乘直快列车速度的倍，乘坐“和谐号”动车组比乘坐直快列车的时间可以减少6小时，求直快列车的速度，设直快列车的速度为x千米/小时，根据题意可列出方程为： ． 【答案】 【分析】设直快列车的速度为x千米/小时，则“和谐号”动车组的行驶速度是千米/小时，根据乘坐“和谐号”动车组比乘坐直快列车的时间可以减少6小时列方程即可． 【详解】解：设列车提速前的速度为x千米/小时，则提速后的速度为千米/小时， 由题意，得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 26.（23-24七年级上·上海闵行·期末）2023年第十九届亚运会在杭州圆满落幕，参加女子1500米自由泳的运动员在教练员的指导下努力训练提高竞技水平，在经过指导后，甲运动员的速度是原来的倍，时间缩短了50秒，那么经过指导后，甲运动员现在的速度是多少？ 【答案】米/秒 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲运动员原来的速度是x米/秒，则经过指导后的速度是米/秒，利用时间路程速度，结合经过指导后时间缩短了50秒，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后可得出甲运动员原来的速度，再将其代入中即可求出甲运动员现在的速度． 【详解】解：设甲运动员原来的速度是x米/秒，则经过指导后的速度是米/秒， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：经过指导后，甲运动员现在的速度是米/秒． 27．（23-24八年级下·上海松江·期末）某条高速铁路全长1320千米，高速列车与普通动车组列车在该高速铁路上运行时，高速列车的平均速度比普通动车组列车每小时快110千米，且高速列车比普通动车组列车的全程运行时间少用2小时，求高速列车全程的运行时间． 【答案】高速列车全程的运行时间为4小时 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：普通动车组列车的全程运行时间高速列车全程的运行时间小时，高速列车的平均速度普通动车组列车的平均速度千米；据此列方程求解即可；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设高速列车全程的运行时间为x小时，则普通动车组列车全程的运行时间为小时， 由题意得 ， 整理得：， 解得：，， 经检验：，都是原方程的解，符合实际意义，不符合实际意义； 答：高速列车全程的运行时间为4小时． 28.（23-24七年级上·上海松江·期末）从松江博物馆到佘山森林公园路程约12千米． 如果行驶在这条路段的汽车与自行车的平均车速之比为3：1，汽车比自行车快25分钟到达，那么松江博物馆至佘山森林公园的汽车与自行车的速度各是多少？（速度以“米/分钟”计算） 【答案】汽车的速度为米/分钟，自行车的速度米/分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式：汽车所用的时间自行车所用的时间分钟是解题的关键． 【详解】解：设自行车的速度为米/分钟， 汽车与自行车的平均车速之比为3：1， 汽车的速度为()米/分钟， ， 解得： ， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义， (米/分钟)， 答：松江博物馆至佘山森林公园的汽车的速度为米/分钟，自行车的速度米/分钟． 题型九 分式方程的工程问题 29．（24-25七年级上·上海闵行·期末）某区一项交通功能完善工程中需修建一段长为3600米的高速公路，为了赶在今年春节前通车，实际施工时每天修建的工作效率比原计划增加20%，结果比预定时间早5天完成了任务．求实际每天修建多少米？ 【答案】实际每天修建144米 【分析】设原计划每天修路x米，实际每天修路米，根据题意可得等量关系：原计划修米所用的天数实际修米所用的天数天，根据等量关系，列出方程即可． 本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意不要忘记检验． 【详解】设原计划一天修建x米，实际一天修建为 解得： 经检验为原方程的根 实际每天修建：米 答：实际每天修建144米 30.（22-23八年级下·上海松江·期末）松江区于4月22日，举办“”上海佘山半程马拉松比赛．主办方打算为参赛选手定制一批护膝，并交由A厂家完成．已知A厂家要在规定的天数内生产3600对护膝，但由于参赛选手临时增加，不但要求A厂家在原计划基础上增加10%的总量，而且还要比原计划提前3天完成．经预测，要完成新计划，平均每天的生产总量要比原计划多20对．求原计划每天生产多少对护膝． 【答案】原计划每天生产护膝100对 【分析】设原计划每天生产的护膝x对，则实际每天护膝对．根据等量关系“要求A厂家在原计划基础上增加10%的总量，而且还要比原计划提前3天完成”列分式方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天生产的护膝x对，则实际每天护膝对． 根据题意，可列方程． 两边同时乘以，再整理，得． 解得． 经检验，．都是原方程的解，但护膝得对数不能为负数，所以取． 答：原计划每天生产护膝100对． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程和检验是解答本题的关键． 31．（24-25七年级上·上海普陀·期末）某单位需要完成一项工程，单位派遣甲施工队进场施工，计划用45天时间完成整个工程．当甲施工队工作24天后，单位又派遣乙工程队协助进行施工，最终比计划提前7天完成施工． (1)若乙施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ (2)若单位一开始派遣甲、乙两支队伍合作施工，能否在25天内完成工程？ 【答案】(1)90天 (2)不能 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设乙施工队单独施工完成需要天，根据题意列出方程求解即可； （2）先计算甲、乙两支队伍合作施工需要的时间，再与25天比较大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙施工队单独施工完成需要天， 由题意得，，     解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：乙施工队单独施工，完成整个工程需要90天． （2）解：甲、乙两支队伍合作施工，需要的时间为：（天）， ， 甲、乙两支队伍合作施工，不能在25天内完成工程． 答：不能在25天内完成工程． 32．（23-24八年级下·上海金山·期末）为了落实“珍惜和合理利用每一寸土地”的基本国策，某地区计划若干年内开发“改造后可利用土地”的面积达到360平方千米，实际施工中，每年比原计划开发的土地面积多2平方千米．如果按此速度继续开发，预计可提前6年完成任务．求实际施工中每年开发土地面积是多少平方千米？ 【答案】实际每年可开发12平方千米． 【分析】本题考查了分式方程的应用．分析可得等量关系：原计划开发年数实际开发年数． 【详解】解：设实际每年可开发平方千米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 经检验：，都是原方程的解，但不合题意舍去，所以只取． 答：实际每年可开发12平方千米． 题型十 无理方程 33.（23-24八年级下·上海宝山·期末）下列方程为无理方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理方程的定义，能熟记无理方程的定义是解此题的关键，注意：根号内含有未知数的方程叫无理方程． 根据无理方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意； B．根号内含有未知数，方程属于无理方程，故本选项符合题意； C．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意； D．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 34.（23-24八年级下·上海崇明·期末）方程的解是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键． 方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边平方，得， 解得：， 经检验：是原方程的解． 故答案为：10． 35.（22-23八年级下·上海虹口·期末）． 【答案】 【分析】利用平方法将原方程通过变形转化为有理方程，然后计算求解． 【详解】解： 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 【点睛】本题主要考查了平方法解无理方程，掌握完全平方公式是解题关键，另外注意无理方程的结果要进行检验． 36．（22-23八年级上·上海青浦·期末）解方程： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2)，； (3)，，，． 【分析】（1）移项后两边平方得出，求出，再方程两边平方得出，求出，再进行检验即可； （2）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解； （3）令，则，代入原方程，得，所以，，然后分两种情况分别解方程即可． 【详解】（1） 解：移项得，， 两边平方得，， 合并同类项得，， ∴， 两边平方得，， 整理得，， ∴， 解得：，， 经检验，，不是原方程的解， ∴原方程的解为：． （2） 解：方程两边同时乘以得， 整理得，， 解得，， ∴，， 经检验，，时，， ∴原方程的根为：，． （3） 解： 令，代入原方程得，， ∴， 解得：，， 当时，，即： ， ∴，解得：，， 当时，，即： ， ∴，解得：，， 经检验都为原方程的解 ∴原方程的解为：，，，． 【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键；还考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要验根． 题型十一 二元二次方程组及其解法 37．（22-23八年级下·上海长宁·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．是二项方程 B．是分式方程 C．是无理方程 D．是二元二次方程组 【答案】D 【分析】根据二项方程、分式方程、无理方程、二元二次方程组的定义，逐项分析判断即可求解． 【详解】A. 不是二项方程，故该选项不正确，不符合题意；     B. 不是分式方程，故该选项不正确，不符合题意； C. 不是无理方程，故该选项不正确，不符合题意；     D. 是二元二次方程组，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二项方程、分式方程、无理方程、二元二次方程组的定义，如果一元次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程，分母含有未知数的方程是分式方程，根号内含有未知数的方程是无理方程，掌握以上知识是解题的关键． 38.（22-23八年级下·上海浦东新·期末）若方程组有实数解，则实数k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】将方程组转化为一元二次方程，根据方程组有实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解： 由②，得：， 把，代入①，得：， 整理，得：， ∵方程组有实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查解二元二次方程组．解题的关键是将二元二次方程组转化为一元二次方程，利用根的判别式进行求解． 39.（23-24八年级下·上海金山·期末）解方程组： 【答案】， 【分析】本题考查了二元二次方程组的解法；其基本思想是用代入法消元；由第一个方程变形得，再代入第二个方程中，求得x的值，即可求得y的值，从而求解． 【详解】解：： 由①得：； 把③代入②中， 整理得：， 解得：， 把上述值代入③中，得：， 故方程组的解为：，． $$专题02 代数方程（考题猜想，11大题型） 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 二项方程 · 题型二 分式方程的定义 · 题型三 解分式方程（化为一元一次）（重点） · 题型四 解分式方程（化为一元二次） · 题型五 根据分式方程解的情况求值（重点） · 题型六 分式方程无解问题（重点） · 题型七 列分式方程 · 题型八 分式方程的行程问题（高频） · 题型九 分式方程的工程问题（高频） · 题型十 无理方程（重点） · 题型十一 二元二次方程组及其解法 题型一 二项方程 1．（22-23八年级下·上海·期末）下列方程中，是关于的二项方程式（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）已知各组的值①②③④其中，是二元二次方程的解的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.（22-23八年级下·上海闵行·期末）方程的解是 ．（保留三位小数）． 4.（24-25八年级下·上海·期中）解方程组：． 题型二 分式方程的定义 5.（24-25七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）下列关于x的方程中，其中说法正确的是（     ） A．方程是一元三次方程 B．方程是一元三次方程 C．方程是一元二次方程 D．方程是分式方程 题型三 解分式方程（化为一元一次） 7.（23-24八年级下·上海·期末）用换元法解分式方程 时，如果设 ，那么原方程可化为（       ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·上海金山·期末）用换元法解分式方程时，设，那么原方程化成整式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·上海宝山·期末）通过教材中分式单元的的阅读材料，我们知道了一个分式可以写成几个分式的和， 如：． 观察下列解方程的过程：． ． ． ． 在上述的解方程过程中，应用了，使解方程的过程变得简捷． 类似的，解方程， 这个方程的解是 ． 10.（24-25七年级上·上海闵行·期末）解方程： 11．（24-25七年级上·上海闵行·期末）先化简，再解答下列问题： (1)当时，求代数式的值． (2)原代数式的值能等于吗？如果能，请求出此时的值；如果不能，请说明理由． 题型四 解分式方程（化为一元二次） 12.（24-25八年级下·上海·期中）分式方程的解为 ． 13.（24-25八年级下·上海·期中）解方程：． 题型五 根据分式方程解的情况求值 14.（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如果关于x的方程有增根，则 ． 15.（24-25七年级上·上海普陀·期末）已知关于的分式方程有增根，那么的值是 ． 16.（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知关于x的方程：的解是正数，求m的取值范围 17.（23-24七年级上·上海松江·期末）已知关于的方程． (1)在解该方程时，去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解，求的值； (2)若该方程的解为负数，求的取值范围． 题型六 分式方程无解问题 18.（24-25七年级上·上海杨浦·期末）若关于的方程无解，则的值为 ． 19．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如果是关于的方程的增根，那么的值为 ． 20.（24-25七年级上·上海·期末）如果两个分式P与Q的差为常数k，且k是整数．则称P是Q的“差整分式”，常数k称为“差整值”．例如：分式，，所以，则P是Q的“差整分式”，“差整值”． (1)已知分式，，判断A是不是B的“差整分式”；若不是，请说明理由；若是，请求出“差整值”； (2)已知分式，，C是D的“差整分式”，且“差整值”．若x为整数，则分式D的值为正整数a． ①求M所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，若关于y的方程无解，求实数m的值． 题型七 列分式方程 21．（23-24七年级上·上海·期末）寒风乍起，甲安装队为小区安装台空调，乙安装队为小区安装台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装台．设乙队每天安装台，根据题意，下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（21-22八年级下·上海徐汇·期中）某区为残疾人办实事，在一道路改造工程中，为盲人修建一条长3000米的盲道，在实际施工中，由于增加了施工人员，每天可以比原计划多修建250米，结果提前2天完成工程，设实际每天修建盲道x米，根据题意可得方程（    ） A． B． C． D． 23.（24-25七年级上·上海徐汇·期末）甲安装队为A小区安装78台空调，乙安装队为B小区安装65台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装3台，若设乙队每天安装x台，则根据题意可列方程 ．（无需解方程） 24.（24-25七年级上·上海嘉定·期末）某区为治理污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道．铺设120 米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，以后每天铺设管道的长度比原计划增加，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度． 题型八 分式方程的行程问题 25.（22-23七年级上·上海嘉定·期末）已知A、B两地相距千米，一辆“和谐号”动车组的行驶速度是原乘直快列车速度的倍，乘坐“和谐号”动车组比乘坐直快列车的时间可以减少6小时，求直快列车的速度，设直快列车的速度为x千米/小时，根据题意可列出方程为： ． 26.（23-24七年级上·上海闵行·期末）2023年第十九届亚运会在杭州圆满落幕，参加女子1500米自由泳的运动员在教练员的指导下努力训练提高竞技水平，在经过指导后，甲运动员的速度是原来的倍，时间缩短了50秒，那么经过指导后，甲运动员现在的速度是多少？ 27．（23-24八年级下·上海松江·期末）某条高速铁路全长1320千米，高速列车与普通动车组列车在该高速铁路上运行时，高速列车的平均速度比普通动车组列车每小时快110千米，且高速列车比普通动车组列车的全程运行时间少用2小时，求高速列车全程的运行时间． 28.（23-24七年级上·上海松江·期末）从松江博物馆到佘山森林公园路程约12千米． 如果行驶在这条路段的汽车与自行车的平均车速之比为3：1，汽车比自行车快25分钟到达，那么松江博物馆至佘山森林公园的汽车与自行车的速度各是多少？（速度以“米/分钟”计算） 题型九 分式方程的工程问题 29．（24-25七年级上·上海闵行·期末）某区一项交通功能完善工程中需修建一段长为3600米的高速公路，为了赶在今年春节前通车，实际施工时每天修建的工作效率比原计划增加20%，结果比预定时间早5天完成了任务．求实际每天修建多少米？ 30.（22-23八年级下·上海松江·期末）松江区于4月22日，举办“”上海佘山半程马拉松比赛．主办方打算为参赛选手定制一批护膝，并交由A厂家完成．已知A厂家要在规定的天数内生产3600对护膝，但由于参赛选手临时增加，不但要求A厂家在原计划基础上增加10%的总量，而且还要比原计划提前3天完成．经预测，要完成新计划，平均每天的生产总量要比原计划多20对．求原计划每天生产多少对护膝． 31．（24-25七年级上·上海普陀·期末）某单位需要完成一项工程，单位派遣甲施工队进场施工，计划用45天时间完成整个工程．当甲施工队工作24天后，单位又派遣乙工程队协助进行施工，最终比计划提前7天完成施工． (1)若乙施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ (2)若单位一开始派遣甲、乙两支队伍合作施工，能否在25天内完成工程？ 32．（23-24八年级下·上海金山·期末）为了落实“珍惜和合理利用每一寸土地”的基本国策，某地区计划若干年内开发“改造后可利用土地”的面积达到360平方千米，实际施工中，每年比原计划开发的土地面积多2平方千米．如果按此速度继续开发，预计可提前6年完成任务．求实际施工中每年开发土地面积是多少平方千米？ 题型十 无理方程 33.（23-24八年级下·上海宝山·期末）下列方程为无理方程的是（   ） A． B． C． D． 34.（23-24八年级下·上海崇明·期末）方程的解是 ． 35.（22-23八年级下·上海虹口·期末）． 36．（22-23八年级上·上海青浦·期末）解方程： (1)； (2)； (3) 题型十一 二元二次方程组及其解法 37．（22-23八年级下·上海长宁·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．是二项方程 B．是分式方程 C．是无理方程 D．是二元二次方程组 38.（22-23八年级下·上海浦东新·期末）若方程组有实数解，则实数k的取值范围是 ． 39.（23-24八年级下·上海金山·期末）解方程组： $$