专题02 代数方程（考点清单，4考点梳理+14题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版）

专题02 代数方程（考点清单，4考点梳理+14题型解读） 清单01 整式方程 1字母系数：关于x的方程中，把用字母表示的已知数m、n、a、b、c叫做字母系数. 2.含字母系数的一元一次方程 定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的含字母系数的方程； 求解步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1；注意：系数化为1时视情况讨论！ 3．含字母系数的一元二次方程 定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的含有字母系数的方程； 解法：因式分解法，开平方法；配方法，公式法；当用含字母系数的式子去乘或除方程两边时，要讨论. 4.一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式； 一元n次方程与一元高次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n；其中n大于2的方程称为一元高次方程. 5.二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零. 一般形式为： . 二项方程的解法：将方程变形为，当n为奇数时，；当n为偶数时，如果，；如果，那么方程没有实数根. 清单02 分式方程 1.可化为一元二次方程的分式方程 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，再求解； 解分式方程的一般步骤：①方程两边乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③检验，是否有增根. 清单03 无理方程 1.无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式；无理方程也叫根式方程. 2.无理方程、有理方程、代数方程三者之关系 有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程； 代数方程：有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程. 3.无理方程的解法 （1）基本思路：解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解； （2）一般步骤： 清单04 二元二次方程组与列方程（组）解应用题 1.二元二次方程 2.二元二次方程组 3.二元二次方程组的解法 (1)解二元二次方程组的基本思想：是消元和降次. (2)题型一：解方程组即方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组. 方法：代入消元法； 一般步骤：①将方程组中二元一次方程的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②将这个未知数所表示的代数式代入二元二次方程中，得到关于另一个未知数的一元二次方程；③解这个一元二次方程；④将求得的两个解分别代入二元一次方程，求相应的另一个未知数的值；⑤把相应的两组解写出来，即是原方程组的解. (3)题型二：解方程组（其中一个方程可以分解为两个一次因式积等于零的形式） 方法：因式分解法； 解法：把原方程组化为两个分别由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，然后分别求解. 4.列方程（组）解应用题 【考点题型一】二项方程（）通过1~5颗星来体现该题型的重要程度或者难易度 【例1】（24-25八年级下·上海·期中）下列方程中，属于二项方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24七年级下·上海·阶段练习）解方程： 【考点题型二】分式方程的定义（） 【例2】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列方程中，属于分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（21-22七年级上·上海金山·期末）下列关于的方程中， 不是分式方程的是 （　　） A． B． C． D． 【考点题型三】解分式方程（化为一元一次）（） 【例3】（23-24八年级下·上海闵行·期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24七年级上·上海杨浦·期末）解分式方程 (1)； (2)． 【变式3-2】（24-25七年级上·上海青浦·期末）解方程： 【变式3-3】（24-25七年级上·上海普陀·期末）解方程：． 【变式3-4】（24-25七年级上·上海松江·期末）解方程：． 以下是老师给出的某同学在作业中解方程的过程： 解：由原方程可得 ，……① 因为此时等式左边分式的分母相同，于是可得，……② 解得，……③ 经检验，是原方程的解．……④ 所以原方程的解是． 老师在批改这道题时，发现了其中的解题错误． (1)现请你指出：上述解题过程中，从第________步开始出现错误（填入表示解题步骤的序号①②③④即可）； (2)请写出你认为正确的解题过程． 【考点题型四】解分式方程（化为一元二次）（） 【例4】（24-25八年级下·上海·期中）用换元法解方程时，若设，则原方程可以化为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25八年级下·上海奉贤·期中）下列方程中，有实数根的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25八年级下·上海静安·期中）已知方程 ，如果设，那么原方程可以变形为关于y的整式方程是 ． 【变式4-3】（24-25八年级下·上海青浦·期中）解方程：． 【变式4-4】（24-25八年级下·上海杨浦·期中）已知分式方程只有一个实数解，求的值和对应方程的解． 【考点题型五】根据分式方程解的情况求值（） 【例5】（24-25七年级上·上海青浦·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【变式5-1】（24-25七年级上·上海·期末）已知关于的方程的解不小于1，那么的取值范围是 ． 【变式5-2】（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如果关于的方程会产生增根，则 ． 【变式5-3】（24-25七年级上·上海·期中）如果关于x的方程有增根，求a的值． 【变式5-4】（22-23七年级上·上海黄浦·期中）当n为何取值范围时，分式方程的解不大于5． 【考点题型六】分式方程无解问题（） 【例6】（22-23八年级下·上海长宁·期中）在下列方程中，有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（22-23七年级上·上海·期末）下列分式方程中，解为的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24七年级上·上海浦东新·期末）使分式方程产生增根，m的值为 ． 【变式6-3】（20-21七年级上·上海浦东新·期中）求当为何值时，关于的方程无解． 【考点题型七】列分式方程（） 【例7】（24-25七年级上·上海普陀·期末）现有一杯浓度为的食盐水500g，要将食盐水浓度提升到，需要加入多少克食盐？如果设要加入克食盐，那么根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24七年级上·上海奉贤·期末）某班组织学生参加植树活动，第一组植树12棵，第二组比第一组多6人，植树36棵，结果两组平均每人植树的棵树相等．设第一组学生有人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25七年级上·上海闵行·期末）在学校组织的一次汉字打字比赛中，“阳光”中队的小聪输入1000个字的时间比小明输入1200字的时间少2分钟，小聪与小明平均每分钟打字个数之比是，设小聪平均每分钟打字为个，根据题意可列方程是 ． 【变式7-3】（21-22七年级上·上海奉贤·期末）小丽、小明练习打字，小丽比小明每分钟多打25个字，小丽打300个字的时间与小明打200个字的时间相同．如果设小明每分钟打个字，那么根据题意可列方程是 ． 【变式7-4】（20-21八年级下·上海青浦·期末）某校八年级学生到离学校千米的青少年营地举行庆祝岁生日活动，先遣队与大部队同时出发，已知先造队的行进速度是大部队行进速度的1.2倍，预计比大部队早半个小时到达目的地，如果设大部队的行进速度为千米/时，那么根据题意，列出的方程为 ． 【考点题型八】分式方程的行程问题（） 【例8】（20-21七年级上·上海浦东新·期末）A、B两地相距121千米，甲车和乙车的平均速度之比为4：5，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到20分钟，求甲车的平均速度．若设甲车平均速度为4x千米/小时，则所列方程是 ． 【变式8-1】（23-24七年级上·上海普陀·期末）金秋时节，七年级的同学组织去公园秋游，从景区A出发到相距15千米的景区B，公园有脚踏车和电瓶车两种交通工具可供租用，一部分学生骑脚踏车从A景区先出发，过了半小时后，其余学生乘电瓶车出发，结果他们同时到达B景区．假设他们全程都保持匀速前行，且已知乘电瓶车学生的速度是骑脚踏车的2倍，请问骑脚踏车学生的速度为每小时多少千米？ 【变式8-2】（22-23八年级下·上海浦东新·期末）甲、乙两位同学同时从学校出发，骑自行车前往距离学校10千米的郊野公园．已知甲同学比乙同学平均每小时多骑行2千米，甲同学在路上因事耽搁了15分钟，结果两人同时到达公园．问：甲、乙两位同学平均每小时各骑行多少千米？ 【变式8-3】（22-23八年级上·上海青浦·期末）小李家离某书店12千米，他从家中出发步行到该书店，由于返回时步行速度比去时步行速度每小时慢了1千米，结果返回时多用了一小时，求小李去书店时的步行速度 【变式8-4】（22-23八年级下·上海虹口·期末）已知甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发前往乙地，轿车比货车晚出发2小时，轿车每小时比货车多行驶30千米，最后同时到达．    (1)求货车的速度； (2)设货车行驶时间为x小时，离甲地的距离是y千米，如图，线段分别表示货车、轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系，那么点A的坐标是 ；线段对应的函数解析式为 ．（不需要写出定义域） 【考点题型九】分式方程的工程问题（） 【例9】（23-24七年级上·上海金山·期末）列方程解应用题：某工厂计划加工生产件产品，当完成件产品时，改进了技术，提高了效率，改进后每小时生产的产品数是原来的倍，因此提前了小时完工，求改进后每小时加工生产的产品数． 【变式9-1】（22-23八年级下·上海闵行·期末）上海轨道交通23号线全长约28.6公里，共设22座站．该线路串联了闵行开发区、紫竹高新、吴泾、徐汇滨江等区域，途经闵行区和徐汇区两区．甲乙两个工程队修建地铁23号线．如果甲乙两队合作，48个月可以完成建设工程；如果甲队单独做40个月后，剩下的工程由乙队独做，还需60个月才能完成建设工程．甲乙两队单独完成地铁23号线的修建各需要几个月？ 【变式9-2】（22-23八年级下·上海浦东新·期末）某文具厂加工一种学习用具2500套，在加工了1000套后，采用了新技术，使每天比原来多加工25套，结果提前了3天完成任务．求该文具厂原来每天加工多少套这样的学习用具． 【变式9-3】（21-22八年级上·上海静安·期末）在今年月号的学雷锋活动中，八年级和九年级的共青团员去参加美化校园活动，如果八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的；如果九年级共青团员先做小时，剩下的由八年级共青团员单独完成，那么八年级共青团员所用时间恰好比九年级共青团员单独完成美化校园所用时间多小时，求八九年级共青团员单独完成美化校园活动分别各需多少小时． 【考点题型十】分式方程的经济问题（） 【例10】（24-25七年级上·上海松江·期末）水果店第一次用500元购进某种苹果，由于销售状况良好，该店又用1650元购进该品种苹果，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价比第一次每千克多了0.5元． (1)第一次所购苹果的进货价是每千克多少元？ (2)水果店以每千克8元的售价销售这些苹果，问该水果店售完这些苹果共可获利多少元？ 【变式10-1】（22-23八年级下·上海静安·期末）某公司先从甲地用9000元购买了一批商品，后发现乙地同一商品每件比甲地便宜，因此又用12000元从乙地补购了一批同样的商品．公司按每件200元售完这两批商品后，共赚了11000元． (1)设该公司从甲地购进x件商品，请用含字母x的代数式表示从乙地购进的商品件数是______； (2)如果乙地同一商品每件比甲地便宜30元，求该公司分别从甲乙两地购进这种商品各多少件． 【变式10-2】（23-24八年级下·上海奉贤·期末）“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店在世界读书日之际，计划购进A类和B类图书，因为A类图书每本进价比B类图书每本进价高，所以用960元购进A类图书的数量比用同样的费用购进B类图书的数量少12本， (1)求A、B两类图书每本的进价： 根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：，解得，经检验是原方程的解 乙：，解得，经检验是原方程的解． 那么甲同学所列方程中的x表示_______，乙同学所列方程中的x表示_________． (2)按以上两类图书的进价，该书店用4500元购进A类图书m本及B类图书n本．然后将A类图书的售价定为每本52元，B类图书的售价定为每本40元，书店售完这一批次购进的两类图书共获利900元，那么书店分别购进了这两类图书多少本？ 【考点题型十一】分式方程和差倍分问题（） 【例11】（23-24七年级上·上海宝山·期末）小李花了108元在超市买了一些瓶装牛奶，过几天再去这家超市时恰逢“全场七五折”的优惠活动，只花了90元就买到比上次还多1瓶的牛奶．求这种牛奶原价每瓶是几元？ 【变式11-1】（22-23七年级上·上海杨浦·期末）2021年3月5日，十三届全国人大四次会议制定了2030年前碳排放达峰行动方案.为发展低碳经济、减少碳排放，于今年10月1日起上调了企业用电价格，调整后电价是调整前的倍．已知该企业今年10月份比今年6月份少用电2000度，6月份的电费是4000元，10月份的电费是2400元．求调整后每度电的价格． 【变式11-2】（21-22八年级下·上海·期末）某服装厂接到加工400套校服的任务，在加工完160套后，采用了新技术，这样每天加工服装的套数是原来的2倍，结果共用了14天完成任务．问原来每天加工服装多少套？ 【考点题型十二】分式方程的其它实际问题（） 【例12】（24-25七年级上·上海青浦·期末）2024年4月第七批上海市非物质文化遗产代表性项目名录发布，青浦有2个非遗项目入选，其中一项是“水印版画”．为宣传非遗文化，学校开设了“水印版画”社团，计划采购、两种套装的工具，已知某商店种套装的工具的标价比种套装的工具的标价高，如果用1300元购买种套装的数量比用3000元购买种套装的数量少20套，那么种、种套装的标价分别为多少元？ 【变式12-1】（24-25七年级上·上海黄浦·期末）某玩具经销商用万元购进了一批玩具，上市后一周全部售完．该经销商又用万元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的3倍，但每套进价多了10元． (1)该经销商两次共购进这种玩具多少套？ (2)若第一批玩具销售完后总利润率为，购进的第二批玩具仍以第一批的相同售价出售，则第二批玩具全部售完后，这二批玩具经销商共可获利多少元？ 【考点题型十三】无理方程（） 【例13】（24-25八年级上·上海·期末）下列关于x的方程中有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】（23-24八年级下·上海奉贤·期末）方程的解是 ． 【变式13-2】（23-24八年级下·上海徐汇·期末）解方程：． 【考点题型十四】二元二次方程组及其解法（） 【例14】（21-22八年级下·上海·期末）下列方程中，没有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】（20-21八年级下·上海·期末）关于x、y的方程组有实数解，则m的取值范围是 ． 【变式14-2】（23-24八年级下·上海宝山·期末）解方程组：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 代数方程（考点清单，4考点梳理+14题型解读） 清单01 整式方程 1字母系数：关于x的方程中，把用字母表示的已知数m、n、a、b、c叫做字母系数. 2.含字母系数的一元一次方程 定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的含字母系数的方程； 求解步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1；注意：系数化为1时视情况讨论！ 3．含字母系数的一元二次方程 定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的含有字母系数的方程； 解法：因式分解法，开平方法；配方法，公式法；当用含字母系数的式子去乘或除方程两边时，要讨论. 4.一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式； 一元n次方程与一元高次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n；其中n大于2的方程称为一元高次方程. 5.二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零. 一般形式为： . 二项方程的解法：将方程变形为，当n为奇数时，；当n为偶数时，如果，；如果，那么方程没有实数根. 清单02 分式方程 1.可化为一元二次方程的分式方程 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，再求解； 解分式方程的一般步骤：①方程两边乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③检验，是否有增根. 清单03 无理方程 1.无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式；无理方程也叫根式方程. 2.无理方程、有理方程、代数方程三者之关系 有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程； 代数方程：有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程. 3.无理方程的解法 （1）基本思路：解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解； （2）一般步骤： 清单04 二元二次方程组与列方程（组）解应用题 1.二元二次方程 2.二元二次方程组 3.二元二次方程组的解法 (1)解二元二次方程组的基本思想：是消元和降次. (2)题型一：解方程组即方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组. 方法：代入消元法； 一般步骤：①将方程组中二元一次方程的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②将这个未知数所表示的代数式代入二元二次方程中，得到关于另一个未知数的一元二次方程；③解这个一元二次方程；④将求得的两个解分别代入二元一次方程，求相应的另一个未知数的值；⑤把相应的两组解写出来，即是原方程组的解. (3)题型二：解方程组（其中一个方程可以分解为两个一次因式积等于零的形式） 方法：因式分解法； 解法：把原方程组化为两个分别由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，然后分别求解. 4.列方程（组）解应用题 【考点题型一】二项方程（） 【例1】（24-25八年级下·上海·期中）下列方程中，属于二项方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二项方程的定义，二项方程的左边只有两项，其中一项含未知数x,这项的次数就是方程的次数；另一项是常数项；方程的右边是0，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、，不是二项方程，故本选项错误； B、，是二项方程，故本选项正确； C、，不是二项方程，故本选项错误； D、，不是二项方程，故本选项错误； 故选：B． 【变式1-1】（23-24七年级下·上海·阶段练习）解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了解二项方程，先化为，进而根据，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴ 解得：或 【考点题型二】分式方程的定义（） 【例2】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列方程中，属于分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此求解即可． 【详解】解；由分式方程的定义可知，四个选项中只有A选项中的方程是分式方程， 故选：A． 【变式2-1】（21-22七年级上·上海金山·期末）下列关于的方程中， 不是分式方程的是 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意根据分母含有未知数的方程是分式方程依次对各选项进行分析判断． 【详解】解：A、C、D选项中分母含有未知数，是分式方程； B选项中分母不含有未知数，故不是分式方程． 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的判断，熟练掌握分式方程的概念分母含有未知数的方程是分式方程是解题的关键． 【考点题型三】解分式方程（化为一元一次）（） 【例3】（23-24八年级下·上海闵行·期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用换元法整理分式方程的能力，掌握用换元法解分式方程是关键． 用换元法解分式方程，可简化计算过程，减少计算量，是一种常用的方法．设，计算即可． 【详解】解：∵ 设 则 去分母，得 故选：A． 【变式3-1】（23-24七年级上·上海杨浦·期末）解分式方程 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)分式方程无解． 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （）按照解分式方程的步骤解答即可求解； （）按照解分式方程的步骤解答即可求解； 【详解】（1）解：方程两边同时乘以最简公分母得，， 解得， 检验：把代入最简公分母得，， ∴是分式方程的解； （2）解：方程两边同时乘以最简公分母得，， 解得， 检验：把代入最简公分母得，， ∴不是原分式方程的解， ∴原分式方程无解． 【变式3-2】（24-25七年级上·上海青浦·期末）解方程： 【答案】此方程无解 【分析】本题考查了分式方程的解法，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．观察可得最简公分母，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【详解】解：方程两边同乘以，得， 移项、化简得， 检验：当时，，所以是增根， 因此，原方程无解． 【变式3-3】（24-25七年级上·上海普陀·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程．将原方程去分母后化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 整理得：， 解得：． 经检验是原方程的解． 所以原方程的解是． 【变式3-4】（24-25七年级上·上海松江·期末）解方程：． 以下是老师给出的某同学在作业中解方程的过程： 解：由原方程可得 ，……① 因为此时等式左边分式的分母相同，于是可得，……② 解得，……③ 经检验，是原方程的解．……④ 所以原方程的解是． 老师在批改这道题时，发现了其中的解题错误． (1)现请你指出：上述解题过程中，从第________步开始出现错误（填入表示解题步骤的序号①②③④即可）； (2)请写出你认为正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】本题考查的是解分式方程，熟练掌握分式方程的解法和步骤是解题的关键． （1）根据分式方程的解法进行分析即可得到答案； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）第②步最后的式子应为：， ∴从第②步开始出现错误； （2）整理得： 去分母，得： 整理，得： 检验：当时，， 所以，原方程的解是． 【考点题型四】解分式方程（化为一元二次）（） 【例4】（24-25八年级下·上海·期中）用换元法解方程时，若设，则原方程可以化为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握利用换元法，把一个式子做为整体进行替换，将分式方程化简为一元二次方程． 把代入原方程，得出，再进行整理即可． 【详解】解：整理，得， 把代入方程得：， 整理得：． 故选 B． 【变式4-1】（24-25八年级下·上海奉贤·期中）下列方程中，有实数根的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解无理方程，解分式方程，二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质可得，据此可判断A；根据二次根式有意义的条件可得，则，据此可判断B；解分式方程可判断C、D． 【详解】解：A、∵， ∴， 又∵， ∴原方程无实数根，不符合题意； B、∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴原方程无实数根，不符合题意； C、∵， ∴去分母得， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无实数根，不符合题意； D、∵， ∴去分母得：， ∴， 解得， 经检验，当是原方程的解， ∴原方程有实数根，符合题意， 故选：D． 【变式4-2】（24-25八年级下·上海静安·期中）已知方程 ，如果设，那么原方程可以变形为关于y的整式方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解可化为一元二次方程的分式方程，掌握换元法是解题关键． 设，则，则原方程化为：，再去分母即可． 【详解】解：设，则， ∴原方程化为：， 去分母得：， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25八年级下·上海青浦·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程和解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程和解一元二次方程的方法和步骤． 先去分母，将分式方程化为整式方程，再用因式分解法求解，最后进行检验即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， 检验：当时，；当时，； ∴是原分式方程的解 【变式4-4】（24-25八年级下·上海杨浦·期中）已知分式方程只有一个实数解，求的值和对应方程的解． 【答案】， ；， 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元二次方程．关键是将分式方程转化为整式方程，根据整式方程的特点及题目的条件分类讨论． 去分母，转化为整式方程，根据整式方程为一元一次方程，即；为一元二次方程，即，分别求解即可． 【详解】解：两边同乘， 得， 整理得：， 若，即，则，解得：； 若，由题意，知， 解得， 当时，； ∴综上可得：， ；， 【考点题型五】根据分式方程解的情况求值（） 【例5】（24-25七年级上·上海青浦·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的增根，去分母，化分式方程为整式方程，由分式方程产生增根， 可知，然后把代入整式方程即可求得a的值． 【详解】解∶分式方程去分母，得， ∵分式方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得， 解得， 故答案为：． 【变式5-1】（24-25七年级上·上海·期末）已知关于的方程的解不小于1，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解，先解分式方程可得，由题意得，再由，得，求出m的取值范围即可． 【详解】解：， 去分母得， ， 解得， ∵方程的解不小于1， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴，即， ∴m的取值范围为：且， 故答案为：且． 【变式5-2】（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如果关于的方程会产生增根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，解此类题的基本步骤：①化分式方程为整式方程求出增根；②把增根代入整式方程求出相关字母的值． 【详解】解：∵方程会产生增根， ∴， 解得：， 原方程去分母得：， 把代入得：， 解得， 故答案为：． 【变式5-3】（24-25七年级上·上海·期中）如果关于x的方程有增根，求a的值． 【答案】或 【分析】本题考查分式方程的增根．先将方程两边同乘，转化为整式方程，根据方程有增根得到或，再分别代入整式方程，求解即可解答． 【详解】解： 方程两边同乘，得， ∵该分式方程有增根， ∴或， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上所述，或． 【变式5-4】（22-23七年级上·上海黄浦·期中）当n为何取值范围时，分式方程的解不大于5． 【答案】且且． 【分析】先去分母，把方程化为整式方程，解整式方程可得，再由且且，列不等式组，从而可得答案． 【详解】解： ∴， 去分母得：， 整理得：， 解得：， ∵且且， ∴ 解得：且且． 【点睛】本题考查的是分式方程的解法，一元一次不等式组的解法，掌握“根据分式方程的解的情况求解参数的取值范围”是解本题的关键． 【考点题型六】分式方程无解问题（） 【例6】（22-23八年级下·上海长宁·期中）在下列方程中，有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可判断A；根据二次根式有意义的条件，即可判断B；根据分式有意义的条件，即可判断C；根据立方根的定义，即可判断D． 【详解】解：A、∵，∴该方程无实数根，不符合题意； B、移项，得：，∵，∴该方程无实数根，不符合题意； C、去分母，得：，当时，，∴该方程无实数根，不符合题意； D、移项，得：，解得：，∴该方程有实数根，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式；二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；立方根的定义；解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用． 【变式6-1】（22-23七年级上·上海·期末）下列分式方程中，解为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程解的意义，使方程左右两边相等的式子值叫方程的解，分别代入判断即可． 【详解】当时， A． 中，左边，右边，A不符合题意； B．中，，分母等于0，分式无意义，B不符合题意； C． 中，左边右边，C符合题意； D． 中，分母，D不符合题意． 故答案是：C 【点睛】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是正确理解分式方程解的意义，做题时要考虑分母是否为0的情况 【变式6-2】（23-24七年级上·上海浦东新·期末）使分式方程产生增根，m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根．原分式方程化为整式方程，根据方程有增根，得到，将其代入整式方程即可求解． 【详解】解：去分母，得：， ∵原方程有增根， ∴，即， 把代入整式方程，即， 解得， 故答案为： 【变式6-3】（20-21七年级上·上海浦东新·期中）求当为何值时，关于的方程无解． 【答案】或 【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程转化为整式方程后，分整式方程无解和分式方程有增根，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：原方程去分母，得：， 整理，得：， 当整式方程无解时：； 当分式方程有增根时：或， ∴， 当时，， 当时，， 综上：或． 【考点题型七】列分式方程（） 【例7】（24-25七年级上·上海普陀·期末）现有一杯浓度为的食盐水500g，要将食盐水浓度提升到，需要加入多少克食盐？如果设要加入克食盐，那么根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．根据溶质质量÷溶液质量=浓度，列出分式方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：D． 【变式7-1】（23-24七年级上·上海奉贤·期末）某班组织学生参加植树活动，第一组植树12棵，第二组比第一组多6人，植树36棵，结果两组平均每人植树的棵树相等．设第一组学生有人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题干中的等量关系列式即可． 【详解】解：根据两组平均每人植树的棵树相等可得，． 故选：B． 【变式7-2】（24-25七年级上·上海闵行·期末）在学校组织的一次汉字打字比赛中，“阳光”中队的小聪输入1000个字的时间比小明输入1200字的时间少2分钟，小聪与小明平均每分钟打字个数之比是，设小聪平均每分钟打字为个，根据题意可列方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．先求出小明平均每分钟打字为个，再根据小聪输入1000个字的时间比小明输入1200字的时间少2分钟建立方程即可得． 【详解】解：由题意得：小明平均每分钟打字为个， 则可列方程是， 故答案为：． 【变式7-3】（21-22七年级上·上海奉贤·期末）小丽、小明练习打字，小丽比小明每分钟多打25个字，小丽打300个字的时间与小明打200个字的时间相同．如果设小明每分钟打个字，那么根据题意可列方程是 ． 【答案】 【分析】设小明每分钟打个字，则小丽每分钟打个字，根据“小丽打300个字的时间=小明打200个字的时间”可列出方程． 【详解】解：设小明每分钟打个字，则小丽每分钟打个字， 根据题意，可列方程为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系并列出方程． 【变式7-4】（20-21八年级下·上海青浦·期末）某校八年级学生到离学校千米的青少年营地举行庆祝岁生日活动，先遣队与大部队同时出发，已知先造队的行进速度是大部队行进速度的1.2倍，预计比大部队早半个小时到达目的地，如果设大部队的行进速度为千米/时，那么根据题意，列出的方程为 ． 【答案】 【分析】分别求得先遣队与大部队所用的时间，根据时间的等量关系：先遣队比大部队早半个小时到达目的地列出方程即可． 【详解】设大部队的行进速度为千米/时，则需要的时间为小时， 先遣队的速度为千米/时，则需要的时间为， 根据先遣队比大部队早半个小时到， 列方程为： 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到等量关系是解题的关键． 【考点题型八】分式方程的行程问题（） 【例8】（20-21七年级上·上海浦东新·期末）A、B两地相距121千米，甲车和乙车的平均速度之比为4：5，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到20分钟，求甲车的平均速度．若设甲车平均速度为4x千米/小时，则所列方程是 ． 【答案】 【分析】设甲车平均速度为4x千米/小时，则乙车平均速度为5x千米/小时，根据甲车比乙车多用了20分钟的等量关系列出方程即可． 【详解】解：设甲车平均速度为4x千米/小时，则乙车平均速度为5x千米/小时，根据题意得： 故答案为： 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出速度，以时间差作为等量关系列方程． 【变式8-1】（23-24七年级上·上海普陀·期末）金秋时节，七年级的同学组织去公园秋游，从景区A出发到相距15千米的景区B，公园有脚踏车和电瓶车两种交通工具可供租用，一部分学生骑脚踏车从A景区先出发，过了半小时后，其余学生乘电瓶车出发，结果他们同时到达B景区．假设他们全程都保持匀速前行，且已知乘电瓶车学生的速度是骑脚踏车的2倍，请问骑脚踏车学生的速度为每小时多少千米？ 【答案】15千米/时 【分析】本题考查分式方程的应用、解答关键是理解题意，找到对应关系式．设骑脚踏车学生的速度为x千米/小时，根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设骑脚踏车学生的速度为x千米/小时， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解， 答：骑脚踏车学生的速度为15千米/小时； 【变式8-2】（22-23八年级下·上海浦东新·期末）甲、乙两位同学同时从学校出发，骑自行车前往距离学校10千米的郊野公园．已知甲同学比乙同学平均每小时多骑行2千米，甲同学在路上因事耽搁了15分钟，结果两人同时到达公园．问：甲、乙两位同学平均每小时各骑行多少千米？ 【答案】甲平均每小时行驶8千米，乙平均每小时行驶10千米． 【分析】设乙平均每小时骑行千米，则甲平均每小时骑行千米，根据题意可得，同样10千米的距离，乙比甲多走15分钟，据此列方程求解． 【详解】设甲平均每小时行驶千米， 则， 化简为：， 解得：， 经检验不符合题意，是原方程的解， 答：甲平均每小时行驶8千米，乙平均每小时行驶10千米． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验． 【变式8-3】（22-23八年级上·上海青浦·期末）小李家离某书店12千米，他从家中出发步行到该书店，由于返回时步行速度比去时步行速度每小时慢了1千米，结果返回时多用了一小时，求小李去书店时的步行速度 【答案】小李去书店时的速度为4千米/小时． 【分析】设小李去书店时的速度为每小时x千米，根据他从家中出发步行到该书店，由于返回时步行速度比去时步行速度每小时慢了1千米，结果返回时多用了1小时列方程求解即可． 【详解】解：设小李去书店时的速度为每小时x千米，根据题意得 整理得 解得，（不合题意舍去） 经检验是原方程的根且符合题意 答：小李去书店时的速度为4千米/小时． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，设出速度，以时间作为等量关系列方程求解． 【变式8-4】（22-23八年级下·上海虹口·期末）已知甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发前往乙地，轿车比货车晚出发2小时，轿车每小时比货车多行驶30千米，最后同时到达．    (1)求货车的速度； (2)设货车行驶时间为x小时，离甲地的距离是y千米，如图，线段分别表示货车、轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系，那么点A的坐标是 ；线段对应的函数解析式为 ．（不需要写出定义域） 【答案】(1)货车的速度为千米/小时 (2)， 【分析】（1）设货车每小时行驶m千米，则轿车每小时千米，根据“轿车比货车晚出发2小时，轿车每小时比货车多行驶30千米，最后同时到达”列方程，解方程并检验后即可得到答案； （2）设货车行驶时间为x小时，离甲地的距离是y千米，利用货车行驶的路程除以速度可得，由甲、乙两地相距千米得，即可得到点A的坐标，利用待定系数法求出线段对应的函数解析式即可． 【详解】（1）解：设货车每小时行驶m千米，则轿车每小时千米， 则可列方程：， 解得：，， 经检验，，均为原方程的解， 但不符合题意，舍去． ∴， 答：货车的速度为60千米/小时． （2）设货车行驶时间为x小时，离甲地的距离是y千米，则，甲、乙两地相距千米，则， 即点A的坐标是， 设线段对应的函数解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴线段对应的函数解析式为． 故答案为：， 【点睛】此题考查了一次函数的应用、分式方程的应用等知识，读懂题意，正确列出方程和求出一次函数解析式是解题的关键． 【考点题型九】分式方程的工程问题（） 【例9】（23-24七年级上·上海金山·期末）列方程解应用题：某工厂计划加工生产件产品，当完成件产品时，改进了技术，提高了效率，改进后每小时生产的产品数是原来的倍，因此提前了小时完工，求改进后每小时加工生产的产品数． 【答案】改进技术后每小时加工生产的产品数件． 【分析】本题考查了分式方程的应用、分式方程的解法，设原来每小时加工生产的产品数为台，根据等量关系“原计划用的时间实际用的时间”列出方程，解方程即可． 【详解】解：设原来每小时加工生产的产品数为件 解得： 经检验，是原方程的解，并符合题意 所以， 答：改进技术后每小时加工生产的产品数件 【变式9-1】（22-23八年级下·上海闵行·期末）上海轨道交通23号线全长约28.6公里，共设22座站．该线路串联了闵行开发区、紫竹高新、吴泾、徐汇滨江等区域，途经闵行区和徐汇区两区．甲乙两个工程队修建地铁23号线．如果甲乙两队合作，48个月可以完成建设工程；如果甲队单独做40个月后，剩下的工程由乙队独做，还需60个月才能完成建设工程．甲乙两队单独完成地铁23号线的修建各需要几个月？ 【答案】甲队单独做需80个月，乙队单独做需120个月 【分析】设甲队单独做需a个月，乙队单独做需b个月，根据甲工效+乙工效，甲工效乙工效进行列式求解即可． 【详解】解：设甲队单独做需a个月，乙队单独做需b个月， 根据题意，得：， 解得： 经检验，是原方程组的解． 故甲队单独做需80个月，乙队单独做需120个月． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列出方程组，再求解． 【变式9-2】（22-23八年级下·上海浦东新·期末）某文具厂加工一种学习用具2500套，在加工了1000套后，采用了新技术，使每天比原来多加工25套，结果提前了3天完成任务．求该文具厂原来每天加工多少套这样的学习用具． 【答案】该文具厂原来每天加工100套这样的学习用具 【分析】设该文具厂采用新技术前平均每天加工x套学习工具，根据等量关系：采用了新技术前生产1000套学生画图工具所用的时间采用了新技术后生产1500套学生画图工具所用的时间，列出方程求解即可． 【详解】解：设该文具厂采用新技术前平均每天加工x套学习工具，则采用了新技术后平均每天加工套学习工具，根据题意得： ， 解这个方程，得， 经检验，是原方程的根． 答：该文具厂采用新技术前平均每天加工100套学习工具． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，正确找出等量关系是解决问题的关键 【变式9-3】（21-22八年级上·上海静安·期末）在今年月号的学雷锋活动中，八年级和九年级的共青团员去参加美化校园活动，如果八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的；如果九年级共青团员先做小时，剩下的由八年级共青团员单独完成，那么八年级共青团员所用时间恰好比九年级共青团员单独完成美化校园所用时间多小时，求八九年级共青团员单独完成美化校园活动分别各需多少小时． 【答案】八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时． 【分析】设九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，则八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，根据“八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的”，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出九年级共青团员单独完成美化校园所用时间，再将其代入中可求出八年级共青团员单独完成美化校园所用时间． 【详解】解：设九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，则八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的增根，舍去；是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【考点题型十】分式方程的经济问题（） 【例10】（24-25七年级上·上海松江·期末）水果店第一次用500元购进某种苹果，由于销售状况良好，该店又用1650元购进该品种苹果，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价比第一次每千克多了0.5元． (1)第一次所购苹果的进货价是每千克多少元？ (2)水果店以每千克8元的售价销售这些苹果，问该水果店售完这些苹果共可获利多少元？ 【答案】(1)5元 (2)1050元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设第一次所购苹果的进货价是每千克x元，则第二次所购苹果的进货价是每千克元，利用进货数量=进货总价÷进货单价，结合第二次所购数量是第一次购进数量的3倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）利用进货数量=进货总价÷进货单价，可求出第一次所购苹果的数量，结合第二次所购数量是第一次购进数量的3倍，可求出第二次所购苹果的数量，再利用销售总利润=销售单价×两次所购苹果的数量之和-两次所购苹果的进货总价，即可求出结论． 【详解】（1）解：设第一次所购苹果的进货价是每千克x元， 第二次所购苹果的进货价是每千克元， 根据题意，列方程得： 解得， 经检验：是方程的解，且符合实际． 答：第一次所购苹果的进货价是每千克5元． （2）解：第一次数量：千克；第二次数量：300千克 总获利：元 答：该水果店售完这些苹果共可获利1050元． 【变式10-1】（22-23八年级下·上海静安·期末）某公司先从甲地用9000元购买了一批商品，后发现乙地同一商品每件比甲地便宜，因此又用12000元从乙地补购了一批同样的商品．公司按每件200元售完这两批商品后，共赚了11000元． (1)设该公司从甲地购进x件商品，请用含字母x的代数式表示从乙地购进的商品件数是______； (2)如果乙地同一商品每件比甲地便宜30元，求该公司分别从甲乙两地购进这种商品各多少件． 【答案】(1) (2)该公司从甲地购进这种商品60件商品，从乙地购进这种商品100件． 【分析】（1）设从乙地购进的商品件数是y件，依题意得，据此即可求解； （2）根据“乙地同一商品每件比甲地便宜30元”列分式方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设从乙地购进的商品件数是y件， 依题意得， 整理得， ∴， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 解得或， 经检验，或都是分式方程的解，但不符合题意，舍去， ∴，， 答：该公司从甲地购进这种商品60件商品，从乙地购进这种商品100件． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．注意不要忘记检验． 【变式10-2】（23-24八年级下·上海奉贤·期末）“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店在世界读书日之际，计划购进A类和B类图书，因为A类图书每本进价比B类图书每本进价高，所以用960元购进A类图书的数量比用同样的费用购进B类图书的数量少12本， (1)求A、B两类图书每本的进价： 根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：，解得，经检验是原方程的解 乙：，解得，经检验是原方程的解． 那么甲同学所列方程中的x表示_______，乙同学所列方程中的x表示_________． (2)按以上两类图书的进价，该书店用4500元购进A类图书m本及B类图书n本．然后将A类图书的售价定为每本52元，B类图书的售价定为每本40元，书店售完这一批次购进的两类图书共获利900元，那么书店分别购进了这两类图书多少本？ 【答案】(1)B类图书每本进价；A类图书的数量 (2)书店分别购进了A类图书50本，B类图书70本 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用，正确地理解题意是解题的关键． （1）根据所列方程即可判断出的意义； （2）根据“书店用4500元购进A类图书m本及B类图书n本”和“书店售完这一批次购进的两类图书共获利900元”列出方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】（1）解：根据所列方程即可知，甲所列方程中的表示B类图书每本进价； 乙所列方程中的表示A类图书的数量； 故答案为：B类图书每本进价；A类图书的数量； （2）根据甲同学计算可得：A类图书每本进价元，B类图书每本进价30元， 根据题意得：， 解得：， ∴书店分别购进了A类图书50本，B类图书70本， 答：书店分别购进了A类图书50本，B类图书70本． 【考点题型十一】分式方程和差倍分问题（） 【例11】（23-24七年级上·上海宝山·期末）小李花了108元在超市买了一些瓶装牛奶，过几天再去这家超市时恰逢“全场七五折”的优惠活动，只花了90元就买到比上次还多1瓶的牛奶．求这种牛奶原价每瓶是几元？ 【答案】这种牛奶原价每瓶是12元 【分析】本题考查分式方程的应用，设原价为每瓶x元，则打折后的价格为元，根据打折后90元买到比打折前108元还多1瓶的牛奶列方程求解，注意分式方程需要检验． 【详解】解：设原价为每瓶x元，则打折后的价格为元， 则 解得：， 经检验，是原方程的根， 答：这种牛奶原价每瓶是12元． 【变式11-1】（22-23七年级上·上海杨浦·期末）2021年3月5日，十三届全国人大四次会议制定了2030年前碳排放达峰行动方案.为发展低碳经济、减少碳排放，于今年10月1日起上调了企业用电价格，调整后电价是调整前的倍．已知该企业今年10月份比今年6月份少用电2000度，6月份的电费是4000元，10月份的电费是2400元．求调整后每度电的价格． 【答案】调整后每度电的价格是元． 【分析】本题考查了分式方程的应用．设调整前每度电的价格是元，从而可得调整后每度电的价格是元，再根据“某企业今年10月份比今年6月份少用电2000度，6月份的电费是4000元，10月份的电费是2400元”建立方程，解分式方程即可得． 【详解】解：设调整前每度电的价格是元，则调整后每度电的价格是元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 当时，， 答：调整后每度电的价格是元． 【变式11-2】（21-22八年级下·上海·期末）某服装厂接到加工400套校服的任务，在加工完160套后，采用了新技术，这样每天加工服装的套数是原来的2倍，结果共用了14天完成任务．问原来每天加工服装多少套？ 【答案】原来每天加工服装20套． 【分析】设原来每天加工服装x套，则采用新技术后每天加工套，然后根据共用了14天完成任务列出方程求解即可． 【详解】解：设原来每天加工服装x套，则采用新技术后每天加工套， 由题意得，， 解得， 经检验是原方程的解， ∴原来每天加工服装20套， 答：原来每天加工服装20套． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 【考点题型十二】分式方程的其它实际问题（） 【例12】（24-25七年级上·上海青浦·期末）2024年4月第七批上海市非物质文化遗产代表性项目名录发布，青浦有2个非遗项目入选，其中一项是“水印版画”．为宣传非遗文化，学校开设了“水印版画”社团，计划采购、两种套装的工具，已知某商店种套装的工具的标价比种套装的工具的标价高，如果用1300元购买种套装的数量比用3000元购买种套装的数量少20套，那么种、种套装的标价分别为多少元？ 【答案】A款套装的单价是130元，B款套装的单价是100元 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是元，利用“用1300元购买的A款套装数量比用3000元购买的B款套装数量少20套”再建立方程求解即可． 【详解】解∶ 设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是该分式方程的解， ∴， 答∶ A款套装的单价是130元，B款套装的单价是100元 【变式12-1】（24-25七年级上·上海黄浦·期末）某玩具经销商用万元购进了一批玩具，上市后一周全部售完．该经销商又用万元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的3倍，但每套进价多了10元． (1)该经销商两次共购进这种玩具多少套？ (2)若第一批玩具销售完后总利润率为，购进的第二批玩具仍以第一批的相同售价出售，则第二批玩具全部售完后，这二批玩具经销商共可获利多少元？ 【答案】(1)400套 (2)13000元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设该经销商第一次购进这种玩具x套，则第二次购进这种玩具套，根据购进第二批这种玩具的进价比第一批每套进价多了10元，列出分式方程，解方程即可； （2）先求出玩具的进价和售价，再列式计算即可． 【详解】（1）解：设该经销商第一次购进这种玩具x套，则第二次购进这种玩具3x套， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴（套）， 答：该经销商两次共购进这种玩具400套； （2）解：由（1）可知，第一批每套玩具的进价为（元）， 又∵总利润率为， ∴售价为（元）， 第二批玩具的进价为170元，售价也为200元， ∴这二批玩具经销商共可获利： （元）． 答：这二批玩具经销商共可获利13000元． 【考点题型十三】无理方程（） 【例13】（24-25八年级上·上海·期末）下列关于x的方程中有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解分式方程和解无理方程，根据判别式可判断A、D；先把原方程化为整式方程，解方程求出未知数的值，进而检验即可判断B；根据算术平方根的非负性即可判断C． 【详解】解：A、由题意得，，故原方程无实数根，不符合题意； B、∵， ∴， 检验，当时，， ∴是原方程的增根，即原方程无实数根，不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴原方程无实数根，不符合题意； D、由题意得，，故原方程有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 【变式13-1】（23-24八年级下·上海奉贤·期末）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键． 移项得出，两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：移项，得， 两边平方，得， 解得：， 经检验，是原方程的解， 所以原方程的解是． 故答案为： 【变式13-2】（23-24八年级下·上海徐汇·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． 由，可得，整理得，然后计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解得，，， 检验，当时，，当时，， ∴方程的解为． 【考点题型十四】二元二次方程组及其解法（） 【例14】（21-22八年级下·上海·期末）下列方程中，没有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将y=-x-5代入二元二次方程化为一元二次方程，再利用根的判别式计算求值即可； 【详解】解：由题意得：y=-x-5， A．化简得：，，△=1＞0，有实数解不符合题意； B．化简得：，，△=-3＜0，没有实数解符合题意； C．化简得：，，△=9＞0，有实数解不符合题意； D．化简得：，，△=49＞0，有实数解不符合题意； 故选： B． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解，掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 【变式14-1】（20-21八年级下·上海·期末）关于x、y的方程组有实数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由①得出x=m+y③，把③代入②得出y2-2（m+y）+3y+4=0，整理后得出y2+y+（4-2m）=0，根据已知方程组有实数根和根的判别式得出12-4×1×（4-2m）≥0，求出不等式的解集即可． 【详解】解：， 由①，得③， 把③代入②，得， 整理得：， 关于、的方程组有实数解， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，根的判别式，解一元一次不等式等知识点，能把方程组转化成一元二次方程是解此题的关键． 【变式14-2】（23-24八年级下·上海宝山·期末）解方程组：． 【答案】或 【分析】本题考查二元二次方程的解法，掌握二元二次方程的解法是解题的关键． 由得或，从而将原方程组化成两个二元一次方程组，分别求二元一次方程组的解即可． 【详解】解：， 将变形可得， 即或， 故方程组可变形得或， 解得或， 故原方程组的解为或 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$