一点五题系列之排列组合（一）染色问题、分配问题专练 -2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

一点五题系列之排列组合（一） 染色问题+分配问题 一、知识点梳理 1.合并同色格：解决染色问题，先找出哪些格子可以同色，再合并颜色相同的格子。 例1. 某城市中心广场建造一个花圃分为6个部分，如图，现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种颜色的花且相邻部分不能栽种同一样颜色的花，则不同的栽种方法有多少种？ 2.先分堆再分配：解决人员或者物品分配问题，分两步完成，先分堆，如果有的堆中数量相同，要除以这些堆数的全排列，再分配。 例2.将6本不同的书平均分给三个人，有多少种不同的方法？ 二、知识点应用 1.合并同色格 1．在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有 种． 2．如图，A，B，C，D为四个不同的区域，现有红、黄、蓝、黑4种颜色，对这四个区域进行涂色，要求相邻区域涂不同的颜色（A与C不相邻，B与D不相邻），则使用2种颜色涂色的概率为 . 3．国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会．第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）．现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色．若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有 种． 4．英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有 种（用数字作答）. 5．如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有 种不同的染色方案. 2.先分堆再分配 1. 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有多少种？ 2. 将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有多少种？ 3．某校的4名体育教师对足球、篮球、羽毛球3个运动兴趣小组进行指导，要求每项运动至少有一名教师指导，每名教师指导一项运动，则分派方法共有多少种？ 4．某市教育局人事部门打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，则不同的安排方法种数是 . 5．某小区为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一点五题系列之排列组合（一） 染色问题+分配问题 一、知识点梳理 1.合并同色格：解决染色问题，先找出哪些格子可以同色，再合并颜色相同的格子。 例1. 某城市中心广场建造一个花圃分为6个部分，如图，现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种颜色的花且相邻部分不能栽种同一样颜色的花，则不同的栽种方法有多少种？ 【分析】 种4种颜色的花，有5种情况： 2，4同且3，6同,合并之后就只有4个格子，为 2，4同且3，5同,合并之后就只有4个格子，为 2，5同且3，6同,合并之后就只有4个格子，为 2，5同且4，6同,合并之后就只有4个格子，为 3，5同且4，6同,合并之后就只有4个格子，为 故同的栽种方法有，即120种. 故答案为：120种 2.先分堆再分配：解决人员或者物品分配问题，分两步完成，先分堆，如果有的堆中数量相同，要除以这些堆数的全排列，再分配。 例2.将6本不同的书平均分给三个人，有多少种不同的方法？ 【分析】 先分出三堆书（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由顺序不同可以有=6种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有=15种. 再分配给三个人，共有种，所以共有种。 二、知识点应用 1.合并同色格 1．在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有 种． 【分析】 ①种2种颜色的花，有1种情况： A，C同且B，D同,合并之后就只有2个格子，为 ②种3种颜色的花，有2种情况： A，C同,合并之后就只有3个格子，为 B，D同,合并之后就只有3个格子，为 ③种4种颜色的花，有1种情况： A,B,C,D均不相同，为 故总的栽种方法有，即260种. 故答案为：260种 2．如图，A，B，C，D为四个不同的区域，现有红、黄、蓝、黑4种颜色，对这四个区域进行涂色，要求相邻区域涂不同的颜色（A与C不相邻，B与D不相邻），则使用2种颜色涂色的概率为 . 【分析】 总情况： ①用2种颜色，有1种情况： A，C同且B，D同,合并之后就只有2个格子，为 ②用3种颜色，有2种情况： A，C同,合并之后就只有3个格子，为 B，D同,合并之后就只有3个格子，为 ③用4种颜色，有1种情况： A,B,C,D均不相同，为 故总的栽种方法有， 所以使用2种颜色涂色的概率为. 故答案为： 3．国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会．第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）．现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色．若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有 种． 【分析】 ①用3种颜色，有1种情况： 1，3同且2，4同,合并之后就只有3个格子，为 ②用4种颜色，有2种情况： 1，3同,合并之后就只有4个格子，为 2，4同,合并之后就只有4个格子，为 ③用5种颜色，有1种情况： 1,2,3,4,5均不相同，为 故总的涂色方法有， 故答案为：420 4．英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有 种（用数字作答）. 【分析】 如图，将6个行政区标上序号 ①用3种颜色，有1种情况： 1，5同且2，4同且3，6同,合并之后就只有3个格子，为 ②用4种颜色，有8种情况： 1，5同且2，4同,合并之后就只有4个格子，为 1，5同且3，6同,合并之后就只有4个格子，为 1，5同且4，6同,合并之后就只有4个格子，为 1，6同且2，4同,合并之后就只有4个格子，为 1，6同且2，5同,合并之后就只有4个格子，为 2，4同且3，6同,合并之后就只有4个格子，为 2，5同且3，6同,合并之后就只有4个格子，为 2，5同且4，6同,合并之后就只有4个格子，为 故总的涂色方法有， 故答案为：216. 5．如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有 种不同的染色方案. 【分析】 ①用3种颜色，有1种情况： A，F同且B，D同且C，E同,合并之后就只有3个格子，为 ②用4种颜色，有7种情况： A，F同且B，D同,合并之后就只有4个格子，为 A，F同且B，E同,合并之后就只有4个格子，为 A，F同且C，E同,合并之后就只有4个格子，为 A，C同且B，D同,合并之后就只有4个格子，为 A，C同且B，E同,合并之后就只有4个格子，为 A，D同且B，E同,合并之后就只有4个格子，为 A，D同且C，E同,合并之后就只有4个格子，为 故总的涂色方法有， 故答案为：192. 2.先分堆再分配 1. 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有多少种？ 【分析】 分两步完成：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有;第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有所以满足条件得分配的方案有 2. 将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有多少种？ 【分析】 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有种方法，再将3组分到3个班，共有种不同的分配方案。 3．某校的4名体育教师对足球、篮球、羽毛球3个运动兴趣小组进行指导，要求每项运动至少有一名教师指导，每名教师指导一项运动，则分派方法共有多少种？ 【分析】 先将4名教师分成3组的方法有种， 将3组教师分配指导3个运动兴趣小组的方法有种， 所以总的分派方法共有种. 故答案为：. 4．某市教育局人事部门打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，则不同的安排方法种数是 . 【分析】 根据题意，先将甲､乙､丙､丁､戊这5名应届大学毕业生，分成组， 其中一组两人，其他三组各一人，有种分法， 在把分成的4组安排到市4所不同的学校任教，有种安排方法， 由分步计数原理得，共有种不同安排方法. 故答案为：. 5．某小区为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为 . 【分析】 因每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务， 故有两种分配方案： 第一种“”方案：先从6个志愿服务小组选取3个小组为一大组与另外的三个小组分成4组， 到4个大门进行服务，共有方法种数为； 第二种“”方案，依次从6个志愿服务小组选取2个，2个，1个，1个 到4个大门进行服务，共有方法种数为， 由分类加法计数原理，不同的分配方法种数为. 故答案为：1560. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$