空间点、线、面位置关系讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

点线面的位置关系 知识点一　空间两直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线. (2)异面直线的画法(衬托平面法) 如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托. (3)判断两直线为异面直线的方法 ①定义法；②两直线既不平行也不相交. 2.空间两条直线的三种位置关系 知识点二　直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个公共点 只有1个公共点 没有公共点 符合表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 知识点三　平面与平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 题型一 异面直线的辨别 1．在长方体中，下列直线位置关系判断正确的是（   ） A．直线AB与AC异面 B．直线AC与相交 C．直线与AC异面 D．直线与相交 2．在正方体中，与AB共面且与共面的棱的条数为（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 3．已知空间中的三条直线l、m、n，若l与m异面，且l与n异面，则m与n（    ） A．异面 B．相交 C．平行 D．均有可能 4．已知空间三条直线、、.若与异面，且与异面，则（） A．与异面 B．与相交 C．与平行 D．与异面、相交、平行均有可能 5．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，bc，则直线a与c（　　） A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交 6．如图是正方体或四面体，分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是（    ） A． B． C． D． 7．如果直线直线，且平面，那么与的位置关系是（    ） A．相交 B． C． D．以上都不是 题型二 线面关系判定 1．已知点直线，又平面，则直线与平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．或 2．若直线与平面有两个公共点，则与的位置关系是（    ） A． B． C．与相交 D． 3．下列说法正确的是（    ） A．若为异面直线，外任意一点，则过点有且仅有一条直线与，都平行. B．若异面直线，分别与，所在的平面，相交，则交线至少与，中的一条相交. C．若平面平面，且平面平面，则. D．若直线与平面相交但不垂直，，则，不可能垂直. 4．已知平面平面，则下列命题中真命题的个数是（    ） ①内的任意直线必垂直于内的无数条直线； ②在内垂直于与的交线的直线必垂直于内的任意一条直线； ③内的任意一条直线必垂直于； ④过内的任意一点作与交线的垂线，则这条直线必垂直于. A．4 B．3 C．2 D．1 5．填空题 （1）如果、是异面直线，直线与、都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有 个； （2）若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是 ； （3）已知两条相交直线、，且平面，则与的位置关系是 ． 6．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？ （1）AM所在的直线与平面ABCD； （2）CN所在的直线与平面ABCD； （3）AM所在的直线与平面CDD1C1； （4）CN所在的直线与平面A1B1C1D1. 题型三 面面位置关系运用 1．已知两直线m，n，两平面，，若，，，则m与n的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 2．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则是异面直线 D．若，则 3．设是三条直线，是三个平面，若，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则异面 C．若，，，则 D．若，，则 4．下列说法中，正确的个数是（    ） ①如果两条平行直线中的一条与一个平面相交，那么另一条直线也与这个平面相交; ②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行; ③已知两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行; ④分别与两条异面直线平行的两条直线是异面直线. A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知为异面直线，平面平面，则（    ） A．与都相交 B．与中至少一条相交 C．与都不相交 D．至多与中的一条相交 6．下列命题正确的个数为（    ） ①若直线上有无数个点不在平面内，则； ②如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ③若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点． A．0 B．1 C．2 D．3 7．若平面平面，且直线，直线，则直线，的关系为（    ） A． B． C．无公共点 D．即不平行也不相交 8．如图，用符号语言可表达为（     ）． A．，，， B．，， C．，，， D．，，， 9．下列命题中，正确的命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与有无数个公共点 D．若，则与没有公共点 10．已知平面平面β，，，则直线a和b的位置关系为（    ） A．平行 B．平行或异面 C．异面或相交 D．平行或异面或相交 11．以下四个命题正确的有（  ） A．三个平面最多可以把空间分成八部分 B．若直线平面，直线平面，则“与相交”等价于“与相交” C．若直线平面，直线平面，且 ， ，则 D．若四条直线中任意两条共面，则这四条直线共面 12．（多选）下列命题错误的是（    ） A．若直线平面，直线，则 B．若直线和平面内的无数条直线垂直，则直线与平面必相交 C．如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行 D．过直线外一点有且只有一个平面和直线垂直 13．下列说法正确的是（    ） A．三个平面最多可以把空间分成8部分 B．若直线平面，直线平面，则“与相交”的充要条件是“与相交” C．若，直线平面，直线平面，且，则 D．若条直线中任意两条共面，则它们共面 14．平面α上有三个不共线的点到平面β的距离相等，则平面的位置关系为 ． 题型四 点线共面问题（截面） 1．如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为（   ）．    A． B．6 C． D． 3．如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 4．如下图所示，在正方体中，如果点E是的中点，那么过点、B、E的截面图形为（     ） A．三角形   B．矩形 C．正方形 D．菱形 5．（多选）如图，在正方体中，P，Q分别是棱的中点，平面平面，则下列结论中不正确的有（    ） A．l过点 B．l不一定过点 C．的延长线与的延长线的交点不在l上 D．的延长线与的延长线的交点在l上 6．如图，在正方体中，AB＝1，中点为Q，过三点的截面面积为 ． 7．在正方体中，已知，Q是棱上的动点（可与D、重合）. 当Q是中点时，画出过A，Q，的截面； 8．如图，正方体的棱长为a，M、N分别是、AD的中点，P在上且满足，过M、N、P三点作正方体的截面．    9．如图，在长方体，P为棱的中点，画出由，，P三点所确定的平面与长方体表面的交线．    10．如图所示的正方体中，是棱上的一点，试说明、、三点确定的平面与平面相交，并画出这两个平面的交线. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 点线面的位置关系 知识点一　空间两直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线. (2)异面直线的画法(衬托平面法) 如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托. (3)判断两直线为异面直线的方法 ①定义法；②两直线既不平行也不相交. 2.空间两条直线的三种位置关系 知识点二　直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个公共点 只有1个公共点 没有公共点 符合表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 知识点三　平面与平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 题型一 异面直线的辨别 1．在长方体中，下列直线位置关系判断正确的是（   ） A．直线AB与AC异面 B．直线AC与相交 C．直线与AC异面 D．直线与相交 【答案】C 【知识点】异面直线的判定 【分析】利用长方体中的线线位置关系，可逐一判断各选项. 【详解】 如图，连接， 对于A，因，故直线AB与AC相交，不异面，故A错误； 对于B，因， ，故得，则有， 故直线AC与不可能相交，故B错误； 对于C，因平面， 平面， 平面， 故直线与AC异面，即C正确； 对于D，因， ，故得，则， 而与相交，故直线与异面，故D错误. 故选：C. 2．在正方体中，与AB共面且与共面的棱的条数为（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】空间中的点（线）共面问题 【分析】利用共面的推论，分类列举出满足要求的直线，从而得解. 【详解】 与不共面，因此没有同时与这两条直线平行的直线， 与平行且与相交的有， 与相交且与平行的有， 与相交也与相交的有， 所以满足的直线共有5条. 故选：B. 3．已知空间中的三条直线l、m、n，若l与m异面，且l与n异面，则m与n（    ） A．异面 B．相交 C．平行 D．均有可能 【答案】D 【知识点】异面直线的概念及辨析 【分析】根据题意作出图形,进行判断即可. 【详解】空间三条直线. 若与异面,且与异面，则可能平行，如图， 也可能相交，如图， 也可能与异面，如图， 故选：D. 4．已知空间三条直线、、.若与异面，且与异面，则（） A．与异面 B．与相交 C．与平行 D．与异面、相交、平行均有可能 【答案】D 【知识点】异面直线的概念及辨析 【分析】根据题意作出图形,进行判断即可. 【详解】空间三条直线. 若与异面,且与异面,则可能平行（图1）,也可能相交（图2）,也与可能异面（图3）, 故选：D. 5．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，bc，则直线a与c（　　） A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交 【答案】B 【知识点】证明异面直线垂直 【分析】根据空间中直线的位置关系分析判断. 【详解】∵a⊥b，bc，∴a⊥c. 故选：B. 6．如图是正方体或四面体，分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】空间中的点（线）共面问题、异面直线的判定 【分析】根据平面基本性质判断各个选项，根据线线平行得出四点共面，根据两直线异面得出四点不共面判断即可. 【详解】对于，故四点共面； 对于B,,故四点共面； 对于C,,故四点共面； 对于D,因为平面,平面,不过,所以与异面，所以四点不共面. 故选：ABC. 7．如果直线直线，且平面，那么与的位置关系是（    ） A．相交 B． C． D．以上都不是 【答案】BC 【知识点】判断图形中的线面关系 【分析】利用线面平行的判定定理和直线与平面的位置关系即可得出结果. 【详解】由题意知，直线直线，且平面， 当不在平面内时，平面内存在直线， 则，符合线面平行的判定定理，所以； 当在平面内时，也符合条件， 所以与的位置关系为或在平面内. 故选：BC. 题型二 线面关系判定 1．已知点直线，又平面，则直线与平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】用定义证明线面关系 【分析】确定直线和平面至少有一个交点，得到答案. 【详解】直线，又平面，故直线和平面至少有一个交点，故或. 故选：D 2．若直线与平面有两个公共点，则与的位置关系是（    ） A． B． C．与相交 D． 【答案】A 【知识点】用定义证明线面关系 【分析】根据直线与平面之间的位置关系即可得出选项. 【详解】若直线与平面有两个公共点， 则直线在平面内，即. 故选：A 3．下列说法正确的是（    ） A．若为异面直线，外任意一点，则过点有且仅有一条直线与，都平行. B．若异面直线，分别与，所在的平面，相交，则交线至少与，中的一条相交. C．若平面平面，且平面平面，则. D．若直线与平面相交但不垂直，，则，不可能垂直. 【答案】B 【知识点】用定义证明线面关系、判断图形中的线面关系、异面直线的概念及辨析 【解析】对于A，利用反证法进行判断即可；对于B，利用反证法进行判断；对于C，当平面平面，且平面平面时，平面，可能相交；对于D，由线面垂直的性质判断即可 【详解】对于A，若过点有且仅有一条直线与，都平行，则由平行公理可得与平行，这与，是异面直线相矛盾，所以点不可能有一条直线与，都平行，所以A错误； 对于B，若交线与，都不相交，则由平行公理可得与平行，这与，是异面直线相矛盾，所以交线至少与，中的一条相交，所以B正确； 对于C，若平面平面，且平面平面，则平面，可能相交，也可能平行，所以C错误； 对于D，若直线与平面相交但不垂直，则经过直线有且只有一个平面与垂直，当与平行时，，且与垂直，所以D错误 故选：B 4．已知平面平面，则下列命题中真命题的个数是（    ） ①内的任意直线必垂直于内的无数条直线； ②在内垂直于与的交线的直线必垂直于内的任意一条直线； ③内的任意一条直线必垂直于； ④过内的任意一点作与交线的垂线，则这条直线必垂直于. A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】线面关系有关命题的判断、用定义证明线面关系 【解析】结合面面垂直的性质定理及空间线面、线线关系逐一判断即可得解. 【详解】对于选项①，设，，，，则，则， 故内与b平行的无数条直线均垂直于内的任意直线，故①为真命题； 对于选项②，内垂直于与交线的直线垂直于平面，则它垂直于内的任意直线，故②为真命题； 对于选项③，内不与交线垂直的直线不垂直于，故③为假命题； 对于选项④，垂直于交线的直线必须在平面内才与平面垂直，否则不垂直，故④为假命题. 综上可得：真命题的个数是2个， 故选：C. 【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理，重点考查了空间线面、线线关系，属基础题. 5．填空题 （1）如果、是异面直线，直线与、都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有 个； （2）若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是 ； （3）已知两条相交直线、，且平面，则与的位置关系是 ． 【答案】 直线平行于平面或直线在平面内 或与相交 【知识点】点（线）确定的平面数量问题、判断图形中的线面关系 【分析】（1）根据两相交直线可确定一个平面可得解； （2）利用图形可判断直线与平面的位置关系； （3）利用图形可判断与的位置关系. 【详解】（1）因为、是异面直线，直线与、都相交，则与、与可分别确定一个平面， 故这三条直线中的两条所确定的平面共有2个； （2）若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线在这个平面内或这条直线与平面平行，如下图所示： 已知，，则（如图1），（如图2）. （3）已知两条相交直线、，且平面，如下图所示： 如图3所示，可知，如图4所示，与相交. 故答案为：（1）；（2）直线与平面平行或直线在平面内；（3）或与相交. 6．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？ （1）AM所在的直线与平面ABCD； （2）CN所在的直线与平面ABCD； （3）AM所在的直线与平面CDD1C1； （4）CN所在的直线与平面A1B1C1D1. 【答案】（1）相交；（2）相交；（3）平行；（4）相交. 【知识点】判断图形中的线面关系 【分析】根据线面位置关系的定义可判断. 【详解】（1）平面ABCD，平面ABCD，AM所在的直线与平面ABCD相交. （2）平面ABCD，平面ABCD，CN所在的直线与平面ABCD相交. （3）因为在正方体中，平面平面CDD1C1,平面,所以AM所在的直线与平面CDD1C1平行. （4）因为CN所在的直线与平面ABCD相交，平面平面，所以CN所在的直线与平面A1B1C1D1相交. 题型三 面面位置关系运用 1．已知两直线m，n，两平面，，若，，，则m与n的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 【答案】D 【分析】由平面与平面平行的定义及空间中两直线的位置关系得答案． 【详解】解：，与没有公共点， 又，，与没有公共点， 则与的关系为平行或异面． 故选：． 【点睛】本题考查空间中直线与直线位置关系的应用，考查空间想象能力与思维能力，属于基础题． 2．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则是异面直线 D．若，则 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断 【分析】利用线面垂直的判定，线面平行的判定，线线的位置关系及面面平行的性质逐一判断即可． 【详解】对于A中，，若，则直线可能平行或异面，所以A错误． 对于B中，若，则或，所以B错误． 对于C中，若，则位可能平行、相交或异面，所以C错误． 对于D中，根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行，所以D正确． 故选：D 3．设是三条直线，是三个平面，若，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则异面 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】C 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项. 【详解】对于选项A，若，，则与平行、相交或异面，所以A错误； 对于选项B，若，，，则与可能相交，平行，异面，所以B错误； 对于选项C，因为，，，所以且，所以，所以C正确； 对于选项D，若，，则与可能相交，如三棱柱的三个侧面，所以D错误． 故选：C． 4．下列说法中，正确的个数是（    ） ①如果两条平行直线中的一条与一个平面相交，那么另一条直线也与这个平面相交; ②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行; ③已知两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行; ④分别与两条异面直线平行的两条直线是异面直线. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】判断图形中的线面关系、异面直线的概念及辨析 【分析】借助长方体依次判断即可得到答案. 【详解】易知①正确， 对②，如图所示： 在长方体中，直线为异面直线，，，故②正确； 对③，如图所示： 在长方体中，直线为相交直线，，与相交，故③错误； 对④，如图所示： 在长方体中，满足为异面直线，，，此时和相交，故④错误. 故选：C 5．已知为异面直线，平面平面，则（    ） A．与都相交 B．与中至少一条相交 C．与都不相交 D．至多与中的一条相交 【答案】B 【知识点】异面直线的概念及辨析、线面关系有关命题的判断 【分析】由已知得直线与共面于平面，与共面于平面，如果与平行，则与必相交；直线不能与，都不相交，否则；直线可以同时与，都相交，但是交点不重合． 【详解】对于A：因为已知，为异面直线，平面，平面，， 所以直线与共面于平面，与共面于平面， 如果与平行，则与必相交；如果与平行与必相交，故排除A； 对于B：直线不能与，都不相交，否则与，分别平行， 进而，与、为异面直线相矛盾，再结合A得到B正确 对于C：直线不能与，都不相交，否则与，分别平行， 进而，与、为异面直线相矛盾，由此能排除选项C； 对于D：如果与不平行只有相交，同理，与不平行必相交， 所以得直线可以同时与，都相交，但是交点不重合，由此能排除选项D； 故选：B． 6．下列命题正确的个数为（    ） ①若直线上有无数个点不在平面内，则； ②如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ③若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】线面关系有关命题的判断 【分析】利用直线与平面的位置关系，逐一判断各个命题即可. 【详解】对于①，直线上有无数个点不在平面内，则或直线与平面相交，①错误； 对于②，两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条与这个平面平行或在平面内，②错误； 对于③，直线与平面平行，则与平面没有公共点，与平面内的任意一条直线都没有公共点，③正确， 所以给定命题正确的个数为1. 故选：B 7．若平面平面，且直线，直线，则直线，的关系为（    ） A． B． C．无公共点 D．即不平行也不相交 【答案】C 【知识点】面面关系有关命题的判断 【分析】根据面面平行可知直线，可能平行或异面，即可得结果. 【详解】因为平面平面，直线，直线， 可知直线，不可能相交，但可能平行或异面，即没有公共点. 故选：C. 8．如图，用符号语言可表达为（     ）． A．，，， B．，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【知识点】判断图形中的面面关系 【分析】点为元素，线和面是集合，根据点与集合、集合与集合之间的关系判断各个选项． 【详解】点为元素，线和面是集合，根据点与集合、集合与集合之间的关系易得． A正确，BCD错误； 故选：A. 9．下列命题中，正确的命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与有无数个公共点 D．若，则与没有公共点 【答案】C 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】根据点线面位置关系及平面的基本性质推理判断各个选项； 【详解】对于A，若 ，则 或 故A错误. 对于B，若 ，则 或a与b异面，故B错误. 对于C，若 ，则a上的所有点都是a与平面α的公共点，故a与平面α有无数个公共点，故C正确. 对于D，若，则 或a与平面α相交，若a与平面α相交，则a与α有且只有一个公共点，故D错误. 故选: C. 10．已知平面平面β，，，则直线a和b的位置关系为（    ） A．平行 B．平行或异面 C．异面或相交 D．平行或异面或相交 【答案】D 【知识点】面面关系有关命题的判断 【分析】借助正方体观察即可求解. 【详解】平面平面平面β，直线， 如图在正方体中，令平面，平面， 当时，显然有相交， 当时，显然有， 当时，显然有异面， 所以直线a，b的位置关系为平行或异面或相交. 故选：D. 11．以下四个命题正确的有（  ） A．三个平面最多可以把空间分成八部分 B．若直线平面，直线平面，则“与相交”等价于“与相交” C．若直线平面，直线平面，且 ， ，则 D．若四条直线中任意两条共面，则这四条直线共面 【答案】AC 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】对于A，三个不同平面可以把空间分成四部分、六部分、七部分、八部分，作图即可判断；对于B，作图举反例即可淘汰；对于C，直接法证明即可判断；对于D，以正方体为反例淘汰即可. 【详解】 对于A，由上图可知：三个平面可以把空间分成四部分、六部分、七部分、八部分，最多八部分，所以选项A正确； 对于B，由上图可知： ， 直线平面，直线平面，且，但直线与直线并不相交， 所以选项B错误； 对于C，直线平面，直线平面，因为， 所以，又因为，所以， 所以选项C正确； 对于D，如上图，直线，直线，直线，直线任意两条共面，但这四条直线并不共面，所以选项D错误. 故选：AC. 12．（多选）下列命题错误的是（    ） A．若直线平面，直线，则 B．若直线和平面内的无数条直线垂直，则直线与平面必相交 C．如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行 D．过直线外一点有且只有一个平面和直线垂直 【答案】ABC 【知识点】异面直线的概念及辨析、线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、线面角的概念及辨析 【分析】由直线与平面的位置关系判断A；由直线与平面垂直的判定判断B；有线面角的概念判断C；由直线与平面垂直，面面垂直的判定及性质判断D． 【详解】A．若直线平面，直线，则与平行、相交或在内都有可能，错误，符合题意； B．若直线和平面内的无数条直线垂直，则直线与平面平行、相交或在内都有可能，错误，符合题意； C．这两条直线相交、异面都有可能，错误，符合题意； D．不论点是否在直线上（如图）， 设过点与直线垂直的平面为．如果还有一个平面过点与直线垂直，且，设过点和直线且不过的平面为，且，．因为，，所以，，这样在同一平面内，过一点就有两条直线，都与垂直，这是不可能的．所以过点和直线垂直的平面只有一个，正确，不符合题意； 故选：ABC． 13．下列说法正确的是（    ） A．三个平面最多可以把空间分成8部分 B．若直线平面，直线平面，则“与相交”的充要条件是“与相交” C．若，直线平面，直线平面，且，则 D．若条直线中任意两条共面，则它们共面 【答案】AC 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】A选项，当三个平面交于一点时，最多可以把空间分成8部分，A选项正确.B选项，“与相交”推不出“与相交”，所以，B选项错误. C选项，与不平行，且，所以，，故C选项正确. D选项，正方体的4条侧棱不共面，故D选项错. 【详解】A选项，当三个平面平行而不重合时，可以把空间最少分成4部分；当三个平面交于一点时，最多可以把空间分成8部分，故A选项正确； B选项，“与相交”推不出“与相交”，也可能，故B选项错误； C选项，因为，，所以，直线是与的交线，因为，，，且，则与不平行，即，故C选项正确； D选项，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故 D 选项错误. 故选：AC. 14．平面α上有三个不共线的点到平面β的距离相等，则平面的位置关系为 ． 【答案】平行或相交 【知识点】面面关系有关命题的判断 【分析】分三点分布于平面的同侧和异侧两种情况讨论求解. 【详解】若三点分布于平面的同侧，则α与平行； 若三点分布于平面的两侧，则α与相交． 故α与的位置关系为平行或相交. 故答案为：平行或相交 题型四 点线共面问题（截面） 1．如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间中的点（线）共面问题 【分析】根据图形及平行公理判断即可. 【详解】对于A：显然、、在正方体的上底面，且三点不共线，不在正方体的上底面， 所以、、、四点不共面，故A错误； 对于B： 如图，，即、、、四点共面，即、、三点共面，且三点不共线， 又平面，所以、、、四点不共面，故B错误； 对于C：显然、、在正方体的下底面，且三点不共线，不在正方体的下底面， 所以、、、四点不共面，故C错误； 对于D： 如图，连接，则，又，所以， 所以、、、四点共面，故D正确. 故选：D 2．如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为（   ）．    A． B．6 C． D． 【答案】A 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、棱柱及其有关计算 【分析】取的中点，连接，作出截面，分别求出边长，进而求出截面的周长. 【详解】如图，取的中点，连接，则. 则在正方形中，，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又，所以， 则四边形即为过三点截面， 因为正方体的棱长为2， 所以，，, 则其周长为.    故选：A. 3．如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 【答案】D 【知识点】由平面的基本性质作截面图形 【分析】作出辅助线，得到，所以四边形为平行四边形，求出经过、、的截面为平行四边形. 【详解】取的中点，连接， 因为棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为， 所以，， 故， 所以四边形为平行四边形， 故经过、、的截面为平行四边形. 故选：D 4．如下图所示，在正方体中，如果点E是的中点，那么过点、B、E的截面图形为（     ） A．三角形   B．矩形 C．正方形 D．菱形 【答案】D 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【分析】根据题意作出截面图形，然后利用正方体的性质求解即可. 【详解】分别取的中点，连接， 如图即为过点、B、E截正方体所得的截面图形， 由题意可知：且，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为且，且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以, 所以，同理，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以平行四边形为菱形， 故选：. 5．（多选）如图，在正方体中，P，Q分别是棱的中点，平面平面，则下列结论中不正确的有（    ） A．l过点 B．l不一定过点 C．的延长线与的延长线的交点不在l上 D．的延长线与的延长线的交点在l上 【答案】BC 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、空间中的点共线问题、空间中的点（线）共面问题 【分析】连接，在正方体中可得四边形是平行四边形，由点共面得点共线可判断A B；的延长线与的延长线的交点，的延长线与的延长线交点， 由点共面得点共线可判断CD. 【详解】连接，在正方体中，取的中点， 连接，则， 所以四边形是平行四边形，平面，平面， 所以，故A正确，B错误； 如图的延长线与的延长线的交点，的延长线与的延长线交点， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面，所以， 故C错误，D正确. 故选：BC. 6．如图，在正方体中，AB＝1，中点为Q，过三点的截面面积为 ． 【答案】/1.125 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【分析】先作出经过三点的截面，如图所示为梯形，然后求出截面的面积即可 【详解】解：如图所示，取的中点P，连接、AQ和， ∵分别是，的中点， ∴，且， ∵，∴， 所以四边形是过三点的截面，且四边形是梯形， ∵AB＝1， ∴，，， 且等腰梯形的高为， ∴截面面积为， 故答案为： 7．在正方体中，已知，Q是棱上的动点（可与D、重合）. 当Q是中点时，画出过A，Q，的截面； 【答案】作图见解析 【知识点】由平面的基本性质作截面图形 【分析】过点作的平行线即可. 【详解】取的中点为，连接，易证， 则四边形即为所求截面，如图阴影部分， 8．如图，正方体的棱长为a，M、N分别是、AD的中点，P在上且满足，过M、N、P三点作正方体的截面．    【答案】答案见解析 【知识点】由平面的基本性质作截面图形 【分析】根据作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面即可求解. 【详解】如图，    连接MP并延长交DC的延长线于E，连接NE交BC于G，连接PG，延长PM交的延长线于F，连接NF交于H，连接MH， 则五边形MHNGP为过M、N，P三点的平面截正方体所得的截面． 9．如图，在长方体，P为棱的中点，画出由，，P三点所确定的平面与长方体表面的交线．    【答案】画图见解析 【知识点】由平面的基本性质作截面图形 【分析】画平面与长方体不同的表面的交线，只需找到两平面的两个公共点，两点确定交线即可. 【详解】如图，由于P是上的点，所以平面，且平面， 所以平面平面=， 同理，平面平面=，平面平面=， 所以平面与长方体表面的交线是，，. 作法：连接，，，它们就是平面与长方体表面的交线（如图）．    10．如图所示的正方体中，是棱上的一点，试说明、、三点确定的平面与平面相交，并画出这两个平面的交线. 【答案】答案见解析 【知识点】由平面的基本性质作截面图形 【分析】延长、交于点，连接交于点，利用平面的性质可知面与平面的交线为. 【详解】解：延长、交于点，连接交于点，则平面与平面的交线为，证明如下： 因为，平面，则平面， ，平面，平面， 又因为为平面和平面的公共点，则平面与平面的交线为. 学科网（北京）股份有限公司 $$