6.5 直线与圆的位置关系 课件-2024-2025学年高一下学期高教版(2021)中职数学基础模块（下册）

第六章 直线与圆的方程 6.5 直线与圆的位置关系 高等教育出版社《数学》 （基础模块 下册） 复习旧知 点到直线的距离公式，圆的标准方程和一般方程分别是什么？ 课题引入 在日落过程中,太阳和海平面有三种位置关系.如果把太阳看作一个圆,海平面看做一条直线,这三种位置关系是否可以通过直线和圆的方程表示？ 5.3.1 对数的概念 探索新知 1.直线与圆的位置关系 在平面几何中,我们已经知道直线与圆的三种位置关系. 5.3.1 对数的概念 探索新知 2.直线与圆的位置关系的判定方法 当直线与圆没有公共点时, 直线l与圆C相离 当直线与圆有唯一公共点时,直线l与圆C相切 当直线与圆有两个公共点时,直线l与圆C相交 5.3.1 对数的概念 探索新知 思考：直线l与圆O的位置关系除了用d与r的关系来判断外还有其他判断方法吗? 提示: 2.直线与圆的位置关系的判定方法 5.3.1 对数的概念 探索新知 思考：直线l与圆O的位置关系除了用d与r的关系来判断外还有其他判断方法吗? 提示: 2.直线与圆的位置关系的判定方法 例1 判断直线l:2x+y+5=0与圆C:x2+y2-10x=0的位置关系. 解法一 将圆的方程x2+y2-10x=0化为圆的标准方程 (x-5)2+y2=25, 则圆心坐标为(5,0)，圆的半径为r=5. 因为圆心C (5,0)到直线l:2x+y+5=0的距离 即d>r,所以直线与圆相离. 巩固提升 例1 判断直线l:2x+y+5=0与圆C:x2+y2-10x=0的位置关系. 解法二 将直线l与圆C的方程联立,得方程组 由①得 y=-2x-5， 代入②有 x2+(-2x-5)2-10x=0, 化简得 x2+2x+5=0. 因为Δ=22-4×1×5=-16<0,所以方程组没有实数解,即直线l与圆C没有交点,直线与圆相离. 巩固提升 5.3.1 对数的概念 探究与发现 3.直线与圆相切的问题 在平面直角坐标系中,如果过点P能作出圆的切线,那么,如何求这条切线的方程呢? 5.3.1 对数的概念 探究与发现 3.直线与圆相切的问题 过圆上一点P可作几条圆的切线?过圆外一点P呢? 提示:过圆上一点P可作1条圆的切线,过圆外一点P可作2条圆的切线. 例2 经过下列各点与圆C:(x+1)2+(y-1)2=4有几条切线？ (1)P(0,-2)；(2)Q(1,1); (3)R(0,2). 解 由圆的方程(x+1)2+(y-1)2=4,得圆心坐标为C(-1,1),圆的半径r=2. (1)点P(0,-2)到圆心C的距离为 即|CP|>r,所以点P在圆外,过点P有两条直线与圆C相切. 巩固提升 例2 经过下列各点与圆C:(x+1)2+(y-1)2=4有几条切线？ (1)P(0,-2)；(2)Q(1,1); (3)R(0,2). 解 由圆的方程(x+1)2+(y-1)2=4,得圆心坐标为C(-1,1),圆的半径r=2. (2)点Q(1,1)到圆心C的距离为 即|CQ|=r,所以点Q在圆上,过点Q有且只有一条直线与圆C相切. 巩固提升 例2 经过下列各点与圆C:(x+1)2+(y-1)2=4有几条切线？ (1)P(0,-2)；(2)Q(1,1); (3)R(0,2). 解 由圆的方程(x+1)2+(y-1)2=4,得圆心坐标为C(-1,1),圆的半径r=2. (3)点R(0,2)到圆心C的距离为 即|CR|<r,所以点R在圆内,过点R不存在与圆C相切的直线. 巩固提升 例3 已知圆O:x2+y2=1,判断过点 与圆O有几条切线,并求切线方程. 分析 求切线方程的关键是求出切线的斜率k,可以利用圆心到切线的距离等于圆的半径来确定k. 解 由圆O:x2+y2=1,得圆心坐标为O(0,0),半径r=1.因为 即|OQ|>r,所以点Q在圆外,过点Q与圆O有两条切线. 设所求切线l的斜率为k,切线过点 ， 则切线l的方程为 即 巩固提升 例3 已知圆O:x2+y2=1,判断过点 与圆O有几条切线,并求切线方程. 分析 求切线方程的关键是求出切线的斜率k,可以利用圆心到切线的距离等于圆的半径来确定k. 巩固提升 圆心O到切线l的距离为 因为圆心到切线的距离等于圆的半径,所以 化简得k2+1=2,解得k1=1,k2=-1,所以切线的方程为 即 解 5.3.1 对数的概念 归纳概括 3.直线与圆相切的问题 1.求圆的切线方程的两点说明 (1)过一点求圆的切线方程,首先应明确点与圆的位置关系,从而确定切线的条数. (2)求解的方法可用代数法或几何法,一般采取几何法. 5.3.1 对数的概念 探究与发现 4.直线与圆相交的问题 在平面直角坐标系中,如果直线l与圆C相交,那么,如何求两个交点之间的距离呢？ 如：当直线l:Ax+By+C=0与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2相交于P和Q两点时,线段PQ为圆的一条弦.我们要求的是这条弦的长度. 5.3.1 对数的概念 探究与发现 4.直线与圆相交的问题 因为圆心C与弦PQ的中点R的连线垂直且平分弦PQ,故 |PQ|=2 例4 已知直线x+y=2与圆(x-1)2+(y+2)2=9相交于P和Q两点,求弦PQ的长度. 解法一 由圆的方程(x-1)2+(y+2)2=9可知圆心坐标为 C(1,-2),圆的半径为r=3.因为圆心到直线x+y-2=0的距离为 故弦PQ的长度为 巩固提升 例4 已知直线x+y=2与圆(x-1)2+(y+2)2=9相交于P和Q两点,求弦PQ的长度. 解法二 解方程组 得直线与圆的交点坐标为P(4,-2)和Q(1,1).由两点间距离公式,得 故弦PQ的长度为 . 巩固提升 5.3.1 对数的概念 归纳概括 4.直线与圆相交的问题 1.对直线与圆相交截得的弦长问题的三点说明 (1)当直线与圆相交时,要特别注意半径、弦心距、弦长一半构成的直角三角形. (2)掌握弦长公式:|AB|= |x1-x2|. (3)要会利用数形结合的方法解决弦的最长、最短问题. 巩固提升 课堂训练 1.直线x+y+1=0与圆(x-1)2+y2=2的位置关系是(　　) A.相交 B.相离 C.相切 D.不能确定 解：1.选C.因为圆心(1,0)到直线x+y+1=0的距离 d= 又因为r= ,所以d=r,所以直线与圆相切. 巩固提升 课堂训练 2.求与直线y=x+2平行且与圆(x-2)2+(y-3)2=8相切的直线的方程. 解：设直线的方程为y=x+m,即x-y+m=0.(x-2)2+(y-3)2=8的圆心坐标为(2,3),半径为2.由 得m=5或m=-3, 所以直线的方程为y=x+5或y=x-3. 巩固提升 课堂训练 3.在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为________. 巩固提升 课堂训练 解：圆(x-2)2+(y+1)2=4的圆心坐标为(2，-1)，半径为r=2, 圆心到直线x+2y-3=0的距离 所求弦长为 答案： 课堂小结 你在本节课学到了什么？ 课堂小结 课后作业 必做：完成课后习题和数学学习指导与练习。 课后阅读：阅读教材扩展延伸内容． 查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习回顾。 再见 $$