第17讲 分式方程（7个知识清单+10类热点题型讲练+分层练习）- 2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（北师大版）

第17讲 分式方程 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01分式方程的定义...............................................................................................................................................................3 题型02解分式方程（化为一元一次）.......................................................................................................................................5 题型03根据分式方程解的情况求值...........................................................................................................................................8 题型04分式方程无解问题..........................................................................................................................................................10 题型05列分式方程......................................................................................................................................................................13 题型06分式方程的行程问题......................................................................................................................................................15 题型07.分式方程的工程问题......................................................................................................................................................17 题型08分式方程的经济问题......................................................................................................................................................19 题型09分式方程和差倍分问题..................................................................................................................................................21 题型10分式方程的其它实际问题..............................................................................................................................................23 分层练习........................................................................................................................................................................................26 夯实基础........................................................................................................................................................................................26 能力提升........................................................................................................................................................................................39 知识点1．分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 知识点2．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 知识点3．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 知识点4．换元法解分式方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 知识点5．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 知识点6．由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 知识点7．分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间 等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 题型01分式方程的定义 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列关于x的方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列方程中，是分式方程的有 （填序号）． ①；②；③；④． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）判断下列方程是不是关于的分式方程（经审题可知，下列各方程的未知数均是字母）． (1)； (2)； (3)（是常数．）； (4)． 题型02解分式方程（化为一元一次） 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）分式方程的解的情况是（   ）． A．有解， B．有解， C．有解， D．无解 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列x的取值中，是分式方程的解的是 （填序号）． ①；②；③；④或． 6．（24-25八年级下·全国·期末）解分式方程： (1)； (2)． 题型03根据分式方程解的情况求值 7．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）如果关于的分式方程有增根，那么的值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·河南洛阳·期中）若方程有增根，则的值为 ． 9．（2025八年级下·全国·专题练习）关于的方程有整数解，求此时整数的值． 题型04分式方程无解问题 10．（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）已知关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 11．（24-25八年级下·重庆·期中）已知关于的分式方程，若分式方程无解，则的值为 ． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）在解方程时，小亮的解法如下：方程两边都乘，得．解这个方程，得． (1)小亮的解法正确吗？ (2)你认为是原方程的根吗？与同学交流． (3)你对这种情况有何认识？请说出你的想法． 题型05列分式方程 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）某养殖户饲养猪和羊，其中养猪45头，养羊的数量与饲养总数的比是．设养羊x只，则可列方程为（   ）． A． B． C． D． 14．（24-25八年级下·全国·课后作业）甲、乙两人加工某种零件，甲每小时加工x个，乙每小时比甲多加工5个，且甲加工4个所用时间与乙加工5个所用时间相等．根据题意，可列方程 ． 15．（22-23八年级下·山东青岛·期末）某工厂生产、两种型号的扫地机器人．型机器人清扫所用的时间比型机器人多用50分钟．型机器人比型机器人每小时的清扫面积多．求型号扫地机器人每小时清扫面积是多少？ 题型06分式方程的行程问题 16．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）如图1，这是某地的平地扶梯，图2是其示意图，扶梯的长为120米，小康在地面上行走的速度为60米/分，小明在地面上行走的速度为40米/分．若两人在平地扶梯上行走，扶梯向前移动，两人保持原来在地面上行走的速度同时从处出发，当小康到达处，小明还剩米，则平地扶梯每分钟移动（   ）    A．25米 B．28米 C．30米 D．32米 17．（24-25八年级下·全国·单元测试）若小华从家去学校每小时走，从学校回家每小时走，则他往返家与学校之间途中的平均速度是每小时走 km． 18．（24-25八年级下·全国·单元测试）某部门距离抢修工地．抢修车装载材料先从该部门出发，后，维修工乘轿车从同一地点出发，结果同时到达抢修工地．已知轿车的速度是抢修车的倍，求抢修车的速度． 题型07分式方程的工程问题 19．（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）绿水青山就是金山银山，某工程队承接了50万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作效率比原来提高了，结果提前25天完成这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为万平方米，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级下·全国·单元测试）某项工作由甲、乙两个人合做需6天完成，若甲单独做需8天完成，乙单独做需x天完成，则可得方程 ． 21．（24-25八年级下·全国·课后作业）甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工．已知甲队比乙队每天多安装2台，乙队每天安装多少台？ (1)设乙队每天安装x台，根据题意，下列方程中，正确的是（   ）； A． B． C． D． (2)求解你选择的方程； (3)检验方程的解是否符合原方程且具有实际意义． 题型08分式方程的经济问题 22．（2024·辽宁·模拟预测）某生鲜超市在三月份用20000元进购一批铁皮西红柿，四月份这种铁皮西红柿每千克降价了1元，此生鲜超市用18000元进购同种铁皮西红柿，却多进货500千克．求三月份这种铁皮西红柿每千克多少元？设三月份这种铁皮西红柿每千克x元，可列方程得（   ） A． B． C． D． 23．（2025八年级下·全国·专题练习）某书店在开学之初用760元购进工具书若干本，按每本20元出售，很快销售一空，据了解学生还急需2倍这种工具书，于是又用1300元购进所需工具书，由于量大每本进价比上次优惠2元，该店仍按每本20元出售，最后剩下2本按七五折卖出，这笔生意该店共盈利 元． 24．（2025八年级下·全国·专题练习）某水果店第一次用540元购进一批杨梅，由于销售状况良好，该店又用1710元购进一批杨梅，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价多了1元． (1)第一次所购杨梅的进货价是多少？ (2)该店以30元/销售这些杨梅，在销售中，第一次购进的杨梅有的损耗，第二次购进的杨梅有的损耗．问：该水果店售完这两批杨梅共可获利多少元？ 题型09分式方程和差倍分问题 25．（23-24八年级下·云南昭通·期末）在运动会到来之际，八年级（3）班计划学生自制30个运动会入场表演道具，现因时间紧迫，将制作道具任务委托给商家，已知商家的制作速度是学生的倍，商家制作完这批道具比学生自制少用5小时，则学生每小时制作道具的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 26．（24-25八年级下·全国·课后作业）甲、乙两班同学参加植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用时间与乙班种66棵树所用时间相等，则乙班每小时种树 棵． 27．（24-25八年级下·全国·课后作业）某校八年级（1）班共捐款300元，八年级（2）班共捐款225元．已知八年级（1）班的人均捐款额是八年级（2）班的1.2倍，且八年级（1）班的人数比八年级（2）班多5人．两个班各有多少人？ 题型10分式方程的其它实际问题 28．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）有两个相邻的手机门市甲和乙，甲购进了几只某种型号的手机，定好了售价．一个月后，乙也购进了几只同样的手机，售价与甲相同，但进价比甲降低了，因而利润率比甲提高了12个百分点．那么甲经销这种手机的利润率是（  ） A． B． C． D． 29．（22-23八年级下·广西南宁·期中）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是 米． 30．（24-25八年级下·全国·单元测试）公园游乐场中某种游戏的规则如下：在一只装有6个红球和若干个白球（这些球除颜色外其他都相同）的不透明布袋中，随机摸1个球，摸到红球就得到1个福娃玩具．已知参加这种游戏的有40000人，公园游乐场共发放了福娃玩具10000个． (1)求参加一次这种游戏得到福娃玩具的概率； (2)请你估计布袋中白球的个数． 夯实基础 一、单选题 1．下列方程中，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，是关于x的分式方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列关于的方程中，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 4．若关于x的方程的解是x＝3，则a的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3 5．若关于x的方程无解，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．﹣2 6．若关于的方程的解为，则等于（    ） A． B． C． D． 7．某种罐装凉茶一箱的价格为84元，某商场实行促销活动，买一箱送四罐，每罐的价格比原来便宜0.5元．设每箱凉茶有罐，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用（单位：元）与行驶路程（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为元，则可列方程为（　　）    A． B． C． D． 二、填空题 9．方程的解为 ． 10．当 时，的值等于． 11．若与分式的值互为相反数，x的值为 ． 12．（2018·贵州铜仁）分式方程=4的解是x= ． 13．关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 ． 14．一种运算：规则是x※y＝－，根据此规则化简（m+1）※（m－1）的结果为 . 三、解答题 15．解分式方程： (1) (2)． 16．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一公路相向而行，开往B、A两地．已知甲车每小时比乙车每小时多走20km，且甲车行驶300km所用的时间与乙车行驶200km所用的时间相同． (1)求甲、乙两车的速度各是多少km/h？ (2)实际上，甲车出发后，在途中因车辆故障耽搁了30分钟，但仍比乙车提前1小时到达目的地．求A、B两地间的路程是多少km？ 17．解方程： 18．关于x的分式方程的解是正数，求的取值范围. 19．甲、乙两个工程队承担了福州市今年的旧城改造工作中的一个办公楼项目，若乙队单独工作3天后，再由两队合作7天就可以完成这个项目，已知乙队单独完成这个项目所需天数是甲队单独完成这各项目所需天数的2倍． （1）求甲，乙两个工程队 单独完成这个项目各需多少天？ （2）甲工程队一天的费用是7万元，乙工程队一天的费用是3万元，若甲乙合作5天后剩余工作由乙队单独完成，求这个项目总共要支出的工程费用．（单位：万元） 20．有一项工程，甲队单独完成这项工程的天数比乙队单独完成这项工程的天数少10天，而甲队2天的工作量和乙队3天的工作量相同． (1)甲、乙两队单独完成这项工程的天数分别是多少天？ (2)甲队单独施工若干天后，再由乙队单独施工并完成剩下的工程，已知甲队每天单独施工费用为4万元，乙队每天施工费用为2万元，该项工程总费用政府拨款70万元且刚好用完．则甲队施工的时间是多少天？ 能力提升 一、单选题 21．若关于x的分式方程无解，则实数a的值为（    ） A．7 B．3或7 C．3或 D． 22．若数使关于的方程无解，且使关于的不等式组有整数解且至多有个整数解，则符合条件的之和为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 23．若关于x的分式方程﹣2＝有增根，则m＝ ． 24．一次函数y＝（a﹣5）x+a的图像不经过第三象限；且关于x的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的和为 ． 三、解答题 25．解分式方程 (1) (2) 26．A、B两地相距80千米，一辆公共汽车从A地出发开往B地，2小时后，又从A地开来一辆小汽车，小汽车的速度是公共汽车的3倍．结果小汽车比公共汽车早40分钟到达B地．求两种车的速度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 分式方程 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01分式方程的定义...............................................................................................................................................................3 题型02解分式方程（化为一元一次）.......................................................................................................................................5 题型03根据分式方程解的情况求值...........................................................................................................................................8 题型04分式方程无解问题..........................................................................................................................................................10 题型05列分式方程......................................................................................................................................................................13 题型06分式方程的行程问题......................................................................................................................................................15 题型07.分式方程的工程问题......................................................................................................................................................17 题型08分式方程的经济问题......................................................................................................................................................19 题型09分式方程和差倍分问题..................................................................................................................................................21 题型10分式方程的其它实际问题..............................................................................................................................................23 分层练习........................................................................................................................................................................................26 夯实基础........................................................................................................................................................................................26 能力提升........................................................................................................................................................................................39 知识点1．分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 知识点2．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 知识点3．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 知识点4．换元法解分式方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 知识点5．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 知识点6．由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 知识点7．分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间 等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 题型01分式方程的定义 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列关于x的方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、不含有分式，不是分式方程，不符合题意； B、分母中不含有x，不是关于x的分式方程，不符合题意； C、分母中不含有x，不是关于x的分式方程，不符合题意； D、分母中含有x，是关于x的分式方程，符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列方程中，是分式方程的有 （填序号）． ①；②；③；④． 【答案】②③ 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．根据分式方程的定义，逐个分析即可判断． 【详解】解：是整式方程，不是分式方程，故①不符合题意； 是分式方程，故②符合题意； 是分式方程，故③符合题意； 是整式方程，不是分式方程，故④不符合题意； 综上所述，是分式方程的有②③． 故答案为：②③． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）判断下列方程是不是关于的分式方程（经审题可知，下列各方程的未知数均是字母）． (1)； (2)； (3)（是常数．）； (4)． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)是 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解． 【详解】（1）解：是整式方程，不是关于的分式方程； （2）是关于的分式方程； （3）是整式方程，不是关于的分式方程； （4）是关于的分式方程 题型02解分式方程（化为一元一次） 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）分式方程的解的情况是（   ）． A．有解， B．有解， C．有解， D．无解 【答案】D 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】题目主要考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键． 根据解分式方程的方法步骤求解即可，最后进行检验． 【详解】解： 去分母得：， 解得：， 经检验：当时，， ∴原方程无解， 故选：D． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列x的取值中，是分式方程的解的是 （填序号）． ①；②；③；④或． 【答案】③ 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程化为整式方程，求解后进行检验得到分式方程的解，进行判断即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：； 当时，， ∴原方程的解为：； 故答案为：③． 6．（24-25八年级下·全国·期末）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)（增根），原方程无解 (2) 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查分式方程的解法．正确运用解法，先转化成整式方程，再解，切记要检验． （1）先把方程两边乘，去分母得一整式方程解出即可， （2）方程两边同乘，得整式方程再解出即可． 【详解】（1）解： 方程两边同乘，得， 移项、合并同类项得， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的增根， 所以原分式方程无解． （2）解： 方程两边同乘，得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 题型03根据分式方程解的情况求值 7．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）如果关于的分式方程有增根，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了分式方程的增根， 先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，当最简公分母为0时产生增根，可得解． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． ∵原方程有增根， ∴， 即， 解得． 故选：B． 8．（24-25八年级下·河南洛阳·期中）若方程有增根，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，求出x的值，代入整式方程求出k的值即可．此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．解决本题的关键是要熟练掌握解分式方程的步骤和解法． 【详解】解：将原方程两边同时乘以，得， 当时，方程有增根， 此时， 将代入，得， 解得． 故答案为：1 9．（2025八年级下·全国·专题练习）关于的方程有整数解，求此时整数的值． 【答案】或或 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值 【分析】此题考查了分式方程的解法、整数解问题等知识，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．解方程得到，根据分式方程有整数解得到或且，进一步求解即可得到整数的值． 【详解】解：， 去分母得：（）， 解：， ∵有整数解， ∴或且， 解得：或或或且， ∴此时整数的值为或或． 题型04分式方程无解问题 10．（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）已知关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 【答案】D 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关键． 先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件得出一个m值，再根据分式方程无解的条件得出一个m值即可． 【详解】解：去分母得：， 整理得：， ∴当，即时，方程无解； 当时，由分式方程无解，可得 ，即， 把代入， 解得：， 综上，m的值为1或4． 故选：D． 11．（24-25八年级下·重庆·期中）已知关于的分式方程，若分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或/1或 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，把原方程去分母并化简后得到，根据原方程无解可得或当时，原方程有增根，据此讨论求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 当，即时，此时满足原方程无解； 当，即时，解得， ∵原方程无解， ∴是原方程的增根， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 综上所述，或， 故答案为：或． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）在解方程时，小亮的解法如下：方程两边都乘，得．解这个方程，得． (1)小亮的解法正确吗？ (2)你认为是原方程的根吗？与同学交流． (3)你对这种情况有何认识？请说出你的想法． 【答案】(1)不正确； (2)不是； (3)不是原方程的根，原分式方程无解． 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、分式方程无解问题 【分析】本题主要考查了解分式方程的步骤，解决本题的关键是根据解分式方程的步骤判断小明的解法是否正确． 小亮没有进行检验，所以小亮的解法不正确； 当时，原分式方程的分母，分母为时，分式没有意义，所以是原分式方程的增根； 解分式方程时要把求出的解代入分式方程的最简公分母，检验求出的解是否原分式方程的增根． 【详解】（1）解：小亮的解法错误， 解分式方程应检验是否原方程的增根； （2）解：当时，原分式方程的分母， 分母为时，分式没有意义， 是原分式方程的增根， 原分式方程无解； （3）解：解分式方程时要把求出的解代入分式方程的最简公分母， 检验求出的解是否原分式方程的增根． 题型05列分式方程 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）某养殖户饲养猪和羊，其中养猪45头，养羊的数量与饲养总数的比是．设养羊x只，则可列方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了列分式方程，设养羊x只，依题意列出方程即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设养羊x只，依题意可得： ， 故选：C． 14．（24-25八年级下·全国·课后作业）甲、乙两人加工某种零件，甲每小时加工x个，乙每小时比甲多加工5个，且甲加工4个所用时间与乙加工5个所用时间相等．根据题意，可列方程 ． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据甲加工4个所用时间与乙加工5个所用时间相等，即可列出方程． 【详解】解：根据题意，甲每小时加工x个，乙每小时加工个， 可列方程， 故答案为：． 15．（22-23八年级下·山东青岛·期末）某工厂生产、两种型号的扫地机器人．型机器人清扫所用的时间比型机器人多用50分钟．型机器人比型机器人每小时的清扫面积多．求型号扫地机器人每小时清扫面积是多少？ 【答案】型号扫地机器人每小时的清扫面积为． 【知识点】列分式方程、分式方程的工程问题 【分析】设型号扫地机器人每小时的清扫面积为，则型号扫地机器人每小时的清扫面积为，根据题意列分式方程求解，即可得到答案． 【详解】解：设型号扫地机器人每小时的清扫面积为，则型号扫地机器人每小时的清扫面积为， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：型号扫地机器人每小时的清扫面积为． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意正确列方程是解题关键． 题型06分式方程的行程问题 16．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）如图1，这是某地的平地扶梯，图2是其示意图，扶梯的长为120米，小康在地面上行走的速度为60米/分，小明在地面上行走的速度为40米/分．若两人在平地扶梯上行走，扶梯向前移动，两人保持原来在地面上行走的速度同时从处出发，当小康到达处，小明还剩米，则平地扶梯每分钟移动（   ）    A．25米 B．28米 C．30米 D．32米 【答案】C 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设平地扶梯每分钟移动x米，根据小康到达处所用时间等于小明剩下米所用时间，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设平地扶梯每分钟移动x米，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 即平地扶梯每分钟移动30米． 故选：C． 17．（24-25八年级下·全国·单元测试）若小华从家去学校每小时走，从学校回家每小时走，则他往返家与学校之间途中的平均速度是每小时走 km． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式方程的行程问题 【分析】本题考查了列代数式．利用速度、路程、时间之间的关系：路程=时间速度，通过变形进行求解即可． 【详解】解：设从家到学校的路程为x千米，可表示从家到学校的时间千米/时，从学校返回家的时间千米/时， 小华同学来回的平均速度是：千米/时， 故答案为：． 18．（24-25八年级下·全国·单元测试）某部门距离抢修工地．抢修车装载材料先从该部门出发，后，维修工乘轿车从同一地点出发，结果同时到达抢修工地．已知轿车的速度是抢修车的倍，求抢修车的速度． 【答案】 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】此题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设抢修车的速度为x千米/时，则轿车的速度为千米/时，根据题意列出方程求解即可，注意单位换算． 【详解】设抢修车的速度为x千米/时，则轿车的速度为千米/时． 由题意得， 解得， 经检验是原方程的根， 答：抢修车的速度为． 题型07分式方程的工程问题 19．（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）绿水青山就是金山银山，某工程队承接了50万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作效率比原来提高了，结果提前25天完成这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为万平方米，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，找出题干中的等量关系是解题的关键．根据“原计划工作时间实际工作时间”列出方程，即可解题． 【详解】解：设原计划工作时每天绿化的面积为万平方米， 则实际工作时每天绿化的面积为万平方米， 根据题意得： 故选：C． 20．（24-25八年级下·全国·单元测试）某项工作由甲、乙两个人合做需6天完成，若甲单独做需8天完成，乙单独做需x天完成，则可得方程 ． 【答案】 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题主要考查分式方程的应用，找出题目中的等量关系是解题的关键，根据题意得出甲每天的工作量为：，乙每天的工作量为：，列出方程即可． 【详解】解：甲每天的工作量为：，乙每天的工作量为：， ∵甲、乙两个人合做6天完成， ∴所列方程为：， 故答案为：． 21．（24-25八年级下·全国·课后作业）甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工．已知甲队比乙队每天多安装2台，乙队每天安装多少台？ (1)设乙队每天安装x台，根据题意，下列方程中，正确的是（   ）； A． B． C． D． (2)求解你选择的方程； (3)检验方程的解是否符合原方程且具有实际意义． 【答案】(1)D (2) (3)符合 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，列出分式方程，是解题的关键： （1）根据两队同时开工且恰好同时完工，列出方程，进行判断即可； （2）去分母，将方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可； （3）根据方程的解，进行检验即可． 【详解】（1）解：设乙队每天安装x台，根据题意，得：； 故选D； （2）解：， 去分母，得：， 解得：； 经检验是原方程的解． （3）由（2）知方程的解为， 当时，， 把代入方程：左边右边， ∴左边等于右边， ∴方程的解符合原方程且具有实际意义． 题型08分式方程的经济问题 22．（2024·辽宁·模拟预测）某生鲜超市在三月份用20000元进购一批铁皮西红柿，四月份这种铁皮西红柿每千克降价了1元，此生鲜超市用18000元进购同种铁皮西红柿，却多进货500千克．求三月份这种铁皮西红柿每千克多少元？设三月份这种铁皮西红柿每千克x元，可列方程得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设三月份这种铁皮西红柿每千克x元，则四月份这种铁皮西红柿每千克元，根据三月进货量+500=四月进货量，列出方程即可． 【详解】解：设三月份这种铁皮西红柿每千克x元，则四月份这种铁皮西红柿每千克元， 可列方程得， 故选：D． 23．（2025八年级下·全国·专题练习）某书店在开学之初用760元购进工具书若干本，按每本20元出售，很快销售一空，据了解学生还急需2倍这种工具书，于是又用1300元购进所需工具书，由于量大每本进价比上次优惠2元，该店仍按每本20元出售，最后剩下2本按七五折卖出，这笔生意该店共盈利 元． 【答案】1230 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设第一批购进该工具书x本，则第二批购进该工具书2x本，根据单价＝总价÷数量结合第二批的进价比第一批便宜2元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出第一批及第二批购进的数量，再利用总利润＝销售单价×数量﹣进价，即可求出结论． 【详解】解：设第一批购进该工具书x本，则第二批购进该工具书本， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． ∴（元）． 故答案为：1230． 24．（2025八年级下·全国·专题练习）某水果店第一次用540元购进一批杨梅，由于销售状况良好，该店又用1710元购进一批杨梅，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价多了1元． (1)第一次所购杨梅的进货价是多少？ (2)该店以30元/销售这些杨梅，在销售中，第一次购进的杨梅有的损耗，第二次购进的杨梅有的损耗．问：该水果店售完这两批杨梅共可获利多少元？ 【答案】(1)18元/ (2)855元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、分式方程的经济问题 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用． （1）设第一次所购杨梅的进货价是x元/．根据题意列出分式方程求解即可得出答案． （2）先分别求出两次分别进货的数量，再根据总销售价减去进货价即可得出答案． 【详解】（1）解：设第一次所购杨梅的进货价是x元/． 由题意得：． 解得：． 经检验，是原方程的解． 所以第一次所购杨梅的进货价是18元/ （2）解：（千克）， （千克） （元）． 所以，该水果店售完这两批杨梅共可获利855元． 题型09分式方程和差倍分问题 25．（23-24八年级下·云南昭通·期末）在运动会到来之际，八年级（3）班计划学生自制30个运动会入场表演道具，现因时间紧迫，将制作道具任务委托给商家，已知商家的制作速度是学生的倍，商家制作完这批道具比学生自制少用5小时，则学生每小时制作道具的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：学生自制30个运动会入场表演道具所用时间商家制作30个运动会入场表演道具所用时间小时，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设学生每小时制作道具个，则商家每小时制作道具个，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义； 故选：D． 26．（24-25八年级下·全国·课后作业）甲、乙两班同学参加植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用时间与乙班种66棵树所用时间相等，则乙班每小时种树 棵． 【答案】22 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系是解题关键． 设乙班每小时种x棵树，根据甲班种棵树所用的时间与乙班种棵树所用的时间相等列出方程即可． 【详解】解：设乙班每小时种x棵树，甲班每小时种棵树， 则可列方程为， 解得， 经检验符合题意， 故答案为：22． 27．（24-25八年级下·全国·课后作业）某校八年级（1）班共捐款300元，八年级（2）班共捐款225元．已知八年级（1）班的人均捐款额是八年级（2）班的1.2倍，且八年级（1）班的人数比八年级（2）班多5人．两个班各有多少人？ 【答案】八年级（1）班有50人，八年级（2）班有45人． 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，设八年级（2）班有x人，八年级（1）班有人，根据题意列出方程，求解，最后检验即可，掌握分式方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设八年级（2）班有x人，八年级（1）班有人，根据题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的根， ∴， 答：八年级（1）班有50人，八年级（2）班有45人． 题型10分式方程的其它实际问题 28．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）有两个相邻的手机门市甲和乙，甲购进了几只某种型号的手机，定好了售价．一个月后，乙也购进了几只同样的手机，售价与甲相同，但进价比甲降低了，因而利润率比甲提高了12个百分点．那么甲经销这种手机的利润率是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】该题主要考查了分式的应用题，解题的关键是要区分利润率比甲提高了12个百分点，还是利润比甲提高了12个百分点． 首先假设甲购进手机的进价为元，售价为元．那么甲购进手机的利润率，乙购进手机的进价为，那么乙的利润是．根据利润率乙比甲提高了12个百分点，即甲经销这种手机的利润乙经销这种手机利润．那么可解的的值，则甲经销这种手机的利润率即可得解． 【详解】解：设甲购进手机的进价为元，售价为元． 根据题意得， 解得：， ∴甲经销这种手机的利润率， 故选：B． 29．（22-23八年级下·广西南宁·期中）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是 米． 【答案】/ 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查了分式方程的应用．根据题意列出方程，求解方程即可． 【详解】解：设边衬的宽度是米，则整幅图画宽为米，整幅图画长为米，根据整幅图画宽与长的比是，得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 边衬的宽度是米． 故答案为：． 30．（24-25八年级下·全国·单元测试）公园游乐场中某种游戏的规则如下：在一只装有6个红球和若干个白球（这些球除颜色外其他都相同）的不透明布袋中，随机摸1个球，摸到红球就得到1个福娃玩具．已知参加这种游戏的有40000人，公园游乐场共发放了福娃玩具10000个． (1)求参加一次这种游戏得到福娃玩具的概率； (2)请你估计布袋中白球的个数． 【答案】(1)0.25 (2)18 【知识点】根据概率公式计算概率、已知概率求数量、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查概率的求法与运用． （1）根据“参加这种游戏的有40000人，公园游乐场共发放了福娃玩具10000个”，利用概率公式求解即可； （2）用（1）中求得的概率和概率公式列出有关白球个数的方程即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 答：参加1次这种游戏活动得到福娃玩具的概率为0.25； （2）解：估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率为0.25． 设袋中白球有x个，根据题意得： ， 解得， 经检是方程的解， ∴估计袋中白球数量是18个． 夯实基础 一、单选题 1．下列方程中，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分母中含有未知数的方程； 【详解】解：根据定义，为分式方程； 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的定义，理解分式方程的定义为解题的关键． 2．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，是关于x的分式方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可． 【详解】解：①分母中不含有未知数，是整式方程； ②分母中含有未知数，故是分式方程； ③不是等式，故不是方程； ④分母中含有未知数，故是分式方程． ⑤分母中不含有未知数，故不是分式方程； ⑥分母中不含有未知数，故不是分式方程； 综上所述：分式方程有②④，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 3．下列关于的方程中，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程进行分析判断． 【详解】解：A. 中分母不含未知数，不是分式方程，故选项A错误； B. 中分母不含未知数，不是分式方程，故选项B错误； C. 是分式方程，故选项C正确； D. 中分母不含未知数，不是分式方程，故选项D错误． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了分式方程定义，判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数，要了解分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数． 4．若关于x的方程的解是x＝3，则a的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3 【答案】A 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，把x=3代入计算即可求出a的值． 【详解】解：分式方程去分母得：10（x-a）=-2a（x-1）， 把x=3代入得：10（3-a）=-4a， 解得：a=5， 故选A． 【点睛】此题考查了分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．若关于x的方程无解，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】C 【分析】先去分母得到整式方程x﹣1＝m﹣（x﹣3），整理得m﹣2x＝﹣4，由于x的方程无解，则x﹣3＝0，即x＝3，然后把x＝3代入m﹣2x＝﹣4进行计算即可得到m的值． 【详解】去分母得x﹣1＝m﹣（x﹣3）， 整理得m﹣2x＝﹣4， ∵关于x的方程无解， ∴x﹣3＝0，即x＝3， ∴m﹣2×3＝﹣4， ∴m＝2． 故选：C． 【点睛】本题考查分式方程的解，将分式方程转化为整式方程是求解本题的关键． 6．若关于的方程的解为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将代入方程可得一个关于的分式方程，解方程即可得． 【详解】解：是方程的解， ， ， ， 解得， 经检验，是方程的解， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的解、解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 7．某种罐装凉茶一箱的价格为84元，某商场实行促销活动，买一箱送四罐，每罐的价格比原来便宜0.5元．设每箱凉茶有罐，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】关键描述语是：“结果比用原价多买了4罐；等量关系为： 实际买每罐价格-促销每罐价格=0.5． 【详解】解：原价每罐元，经过促销，每罐元，方程可表示为：， 故答案为：B． 【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程．列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．本题要注意促销前后商品的单价的变化． 8．为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用（单位：元）与行驶路程（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为元，则可列方程为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出燃油汽车每千米所需的费用为元，再根据函数图象可得燃油汽车所需费用为25元时与燃气汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等，据此列出方程即可得． 【详解】解：由题意得：燃油汽车每千米所需的费用为元， 由函数图象可知，燃油汽车所需费用为25元时与燃气汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等， 则可列方程为， 故选：D． 【点睛】本题考查了列分式方程、函数图象，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键． 二、填空题 9．方程的解为 ． 【答案】 【详解】方程两边同乘，得，解得． 经检验：时，，是原分式方程的解． 10．当 时，的值等于． 【答案】3 【详解】本题主要考查了解分式方程. 由题意可得分式方程 =，方程两边同乘以2（5+x），去分母，化为整式方程求解． 解：由题意可得分式方程： =，方程两边同乘以2（5+x）， 得2（1+x）=5+x， 整理得x=3， 经检验，原方程的解为x=3． 11．若与分式的值互为相反数，x的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得=0，故可求出x． 【详解】根据题意可得=0， ∴x2=16 解得 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查分式方程的求解，解题的关键是根据相反数的性质列出方程． 12．（2018·贵州铜仁）分式方程=4的解是x= ． 【答案】-9 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】=4， 3x-1=4(x+2)， x=-9， 经检验-9+2，故答案为-9. 【点睛】本题考查的是方程的求解，熟练掌握去分母是解题的关键. 13．关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】方程两边同乘以x-1，化为整数方程，求得x，再列不等式得出m的取值范围． 【详解】方程两边同乘以x-1，得，m-3=x-1， 解得x=m-2， ∵分式方程的解为正数， ∴x=m-2＞0且x-1≠0， 即m-2＞0且m-2-1≠0， ∴m＞2且m≠3， 故答案为：m＞2且m≠3． 14．一种运算：规则是x※y＝－，根据此规则化简（m+1）※（m－1）的结果为 . 【答案】 【分析】根据题目中的运算法则把（m+1）※（m－1）化为，再利用异分母分式的加减运算法则计算即可. 【详解】∵x※y＝－， ∴（m+1）※（m－1） = = = = 故答案为. 【点睛】本题考查了新定义运算，根据题目中的运算法则把（m+1）※（m－1）化为是解本题的关键． 三、解答题 15．解分式方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可； （2）根据解分式方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解：方程两边同乘， 得， 解方程，得， 经检验，是原方程的根； （2）方程两边同乘以， 得， 解方程，得， 经检验，是原方程的增根，原方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 16．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一公路相向而行，开往B、A两地．已知甲车每小时比乙车每小时多走20km，且甲车行驶300km所用的时间与乙车行驶200km所用的时间相同． (1)求甲、乙两车的速度各是多少km/h？ (2)实际上，甲车出发后，在途中因车辆故障耽搁了30分钟，但仍比乙车提前1小时到达目的地．求A、B两地间的路程是多少km？ 【答案】(1)甲车的速度是60km/h，乙车的速度是40km/h (2)180km 【分析】（1）由题意设甲车的速度是x km/h，则乙车的速度是（x﹣20）km/h，根据行驶时间相等列出分式方程，再解方程检验即可． （2）由题意设A、B两地间的路程是s km，根据实际行驶时间，甲比乙少1.5小时，列出方程，再解方程作答即可． 【详解】（1）解：设甲车的速度是x km/h，则乙车的速度是（x﹣20）km/h， 依题意，得：＝， 解得：x＝60， 经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意， ∴x﹣20＝40． 答：甲车的速度是60km/h，乙车的速度是40km/h． （2）解：设A、B两地间的路程是s km， 依题意，得：﹣＝1+， 解得：s＝180． 答：A、B两地间的路程是180km． 【点睛】本题考查了与行程问题相关的分式方程和一元一次方程，充分理解相关等量关系是解题的关键．注意，在解答中，分式方程需要验根． 17．解方程： 【答案】 【分析】先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程，最后进行检验即可. 【详解】解：， 去分母得： 整理得： 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为 【点睛】本题考查的是分式方程的解法，掌握“分式方程的解法步骤与检验方法”是解本题的关键. 18．关于x的分式方程的解是正数，求的取值范围. 【答案】a<2且a≠-4 【分析】先求得方程的解,再解,求出a的取值范围. 【详解】解方程得, , 方程的解为正数, ,且x≠2， 即且且解得a＜2且a≠－4, 故选答案为 a＜2且a≠－4. 【点睛】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0. 19．甲、乙两个工程队承担了福州市今年的旧城改造工作中的一个办公楼项目，若乙队单独工作3天后，再由两队合作7天就可以完成这个项目，已知乙队单独完成这个项目所需天数是甲队单独完成这各项目所需天数的2倍． （1）求甲，乙两个工程队 单独完成这个项目各需多少天？ （2）甲工程队一天的费用是7万元，乙工程队一天的费用是3万元，若甲乙合作5天后剩余工作由乙队单独完成，求这个项目总共要支出的工程费用．（单位：万元） 【答案】（1）甲12天，乙24天；（2）77万元 【分析】（1）根据甲、乙总工作量为1，据此设元，列分式方程，解分式方程即可； （2）先计算剩下的工作量，乙单独做需要的天数，再计算总支出． 【详解】解：设甲单独完成这个项目需天，乙两个工程队单独完成这个项目需天，根据题意得， 解这个分式方程得， 答：甲单独完成这个项目需天，乙两个工程队单独完成这个项目需天． （2）甲乙合作5天后剩余工程为：， 剩下工程乙单独完成需要：（天） 这个项目总共要支出的工程费用：（万元） 答：这个项目总共要支出77万元的工程费用． 【点睛】本题考查分式方程的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 20．有一项工程，甲队单独完成这项工程的天数比乙队单独完成这项工程的天数少10天，而甲队2天的工作量和乙队3天的工作量相同． (1)甲、乙两队单独完成这项工程的天数分别是多少天？ (2)甲队单独施工若干天后，再由乙队单独施工并完成剩下的工程，已知甲队每天单独施工费用为4万元，乙队每天施工费用为2万元，该项工程总费用政府拨款70万元且刚好用完．则甲队施工的时间是多少天？ 【答案】(1)甲队单独完成这项工程的天数是10天，乙队单独完成这项工程的天数是20天 (2)甲队施工的时间是10天 【分析】（1）设乙队单独完成这项工程的天数为x天，则甲队单独完成这项工程的天数为（x-10）天，则，进行解答得，则甲队单独完成这项工程的天数为20天，即可得； （2）设甲队施工的时间是y天，则乙队施工的时间是（）天，则，进行解答即可得． 【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程的天数为x天，则甲队单独完成这项工程的天数为（x-10）天， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则甲队单独完成这项工程的天数为：30-10=20（天）， 即甲队单独完成这项工程的天数是20天，乙队单独完成这项工程的天数是30天． （2）解：设甲队施工的时间是y天，则乙队施工的时间是（）天， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 即甲队施工的时间是10天． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程． 能力提升 一、单选题 21．若关于x的分式方程无解，则实数a的值为（    ） A．7 B．3或7 C．3或 D． 【答案】B 【分析】将原分式方程去分母化解为整式方程，然后整理为，则时，分式方程无解；当分式方程的分母为，即时原分式方程也无解，分别计算得出实数a的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 整理为：， 当时，即时，此方程无解，原分式方程也无解； 当，即， 将代入， 解得：， 或， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的解，分整式方程无解和整式方程有解但分式方程的增根两种情况进行讨论是解决问题的关键． 22．若数使关于的方程无解，且使关于的不等式组有整数解且至多有个整数解，则符合条件的之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】让最简公分母y（y+1）（y-1）=0，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，得到m的值，解不等式组，根据题意确定m的范围，即可确定m的值，根据题意计算即可． 【详解】， 方程两边同乘，得， 原分式方程无解， 最简公分母， 解得或或， 当时，， ． 当时，， ． 当时，， ． 解不等式组得， 关于的不等式组有整数解且至多有个整数解， ， ， 则符合条件的所有整数为：、， 所有满足条件的整数的值之和为：， 故选：． 【点睛】本题考查的是分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键． 二、填空题 23．若关于x的分式方程﹣2＝有增根，则m＝ ． 【答案】0 【分析】先把分式方程化为整式方程，再根据有增根求出x，代入求值即可； 【详解】﹣2＝， ， ， ∴， ∵方程有增根， ∴， ∴或， 当时，，不存在； 当时，，解得； 故答案是0． 【点睛】本题主要考查了根据分式方程有增根求参数，准确计算是解题的关键． 24．一次函数y＝（a﹣5）x+a的图像不经过第三象限；且关于x的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的和为 ． 【答案】6 【分析】根据一次函数的图象不经过第三象限，且关于的分式方程有整数解，可以求得的整数值，然后将它们相加即可． 【详解】解：一次函数的图象不经过第三象限， ， 解得， 由可得：， 关于的分式方程有整数解，为整数， ，，， 解得或或或或， 由上可得，或4， ， 满足条件的整数的和为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查一次函数的性质、分式方程的解，解题的关键是求出的整数值． 三、解答题 25．解分式方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，结果需检验； （2）方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，结果需检验． 【详解】（1）解：方程两边乘，得， 解得：， 当时，， 原分式方程的解为； （2）解：方程两边乘，得， 解得：， 当时，， 原分式方程无解． 【点睛】解分式方程的关键是确定最简公分母，去分母，将分式方程转化为整式方程，本题易错点是忽视验根，丢掉验根这一环节．同时注意去分母不要漏乘常数项． 26．A、B两地相距80千米，一辆公共汽车从A地出发开往B地，2小时后，又从A地开来一辆小汽车，小汽车的速度是公共汽车的3倍．结果小汽车比公共汽车早40分钟到达B地．求两种车的速度． 【答案】公共汽车的速度为20千米/小时，小汽车的速度为60千米/小时 【分析】设公共汽车的速度为x千米/小时，则小汽车的速度为3x千米/小时，根据题意可得到：从A到B地，小汽车用的时间=公共汽车用的时间﹣2小时﹣40分钟，由此可得出方程． 【详解】解：设公共汽车的速度为x千米/小时，则小汽车的速度为3x千米/小时， 由题意得 解得：x=20， 经检验，x=20是原方程的解， 故3x=60； 答：公共汽车的速度为20千米/小时，小汽车的速度为60千米/小时． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，准确理解题意，找准等量关系是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$