2025年中考数学必考知识点专题特训二次函数与新定义的综合

2025年中考数学必考知识点专题特训

二次函数与新定义的综合

 

 

1．新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”．

(1)若抛物线是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式．

(2)已知抛物线（，为常数，且）．

①求证：该抛物线为“定点抛物线”；

②若，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点，，当时，求的取值范围．

2．新定义：若函数图象恒过点，我们称为该函数的“永恒点”．如：一次函数，无论值如何变化，该函数图象恒过点，则点称为这个函数的“永恒点”．

【初步理解】一次函数的永恒点的坐标是 ；

【理解应用】二次函数落在轴负半轴的永恒点的坐标是 ，落在轴正半轴的永恒点的坐标是 ；

【知识迁移】点为抛物线的顶点，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由．

3．新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为．

(1)写出的表达式（用含a的式子表示）及顶点坐标：

(2)若，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N．

①当时，求点P的坐标；

②当时，的最大值与最小值的差为2a，求a的值．

4．定义把函数的图象绕点旋转，得到新函数的图象，我们称是关于点P的相关函数，函数的图象的顶点纵坐标为m．

(1)当时，求新函数的顶点坐标（用含a的代数式表示）；

(2)若，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求函数的解析式；

(3)当，时，函数的图象与直线y=2相交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点D．把线段绕点逆时针旋转，得到它的对应线段，若线段与函数的图象有公共点，结合函数图象，请直接写出a的取值范围．

5．我们定义【a，b，c】为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是【1，，3】，函数的“特征数”是【0，2，】，函数的“特征数”是【0，，0】．

(1)若一个函数的特征数是【1，，2】，将此函数的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是__________；

(2)将“特征数”是【0，，】的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是__________；

(3)当“特征数”是【1，，】的函数在直线和直线之间的部分（包括边界点）的最低点的纵坐标为4时，求的值．

(4)当特征数【1，b，c】满足时，函数的图象与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．已知点B的坐标为，若在x轴上有一点P，使，请直接写出点P的坐标．

6．新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．例如：如图1，的三个顶点，，都在抛物线上，我们把叫做抛物线的内接三角形，抛物线叫做的外接抛物线．

问题：

(1)已知点，，则的外接抛物线的解析式为______；

(2)如图2，已知等边是抛物线的内接三角形，求顶点A，B的坐标；

(3)如图2，已知是抛物线的内接三角形，，求边与y轴的交点P的坐标；

(4)已知是抛物线的内接三角形，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．

①当是等腰直角三角形时，求的面积；

②当点C在y轴上，且是钝角三角形时，请直接写出c的取值范围．

7．定义：将二次函数的图象沿轴向右平移，再沿轴翻折，得到新函数的图象，则称函数是函数的“值衍生抛物线”．已知．

(1)当时，

①求衍生抛物线的函数解析式；

②如图1，函数与的图象交于两点，连接．点为抛物线上一点，且位于线段上方，过点作轴，交于点，交抛物线于点，求与存在的数量关系．

(2)当时，如图2，函数与轴交于两点，与轴交于点，连接．函数与轴交于两点，与轴

交于点．点在抛物线上，且．请直接写出点的横坐标．

8．新定义：在平面直角坐标系中，函数自变量与因变量乘积最大时的点坐标成为该函数的“最值点”

(1)如图，若抛物线M经过和点和，则M上是否存在最值点？若存在，请求出最值点，若不存在，请说明理由；

(2)若直线交抛物线于A，两点，则直线不低于抛物线时，请直接写出自变量x的取值范围；

(3)求直线的最值点．

9．新定义：已知抛物线（其中），我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为．

已知抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为．

(1)如果点的坐标为，求抛物线的表达式；

(2)设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标；

(3)已知点在抛物线上，点坐标为，当与相似时，求的值．

10．新定义：已知y是x的函数，若函数图像上存在一点，则称点P为函数图像上的“关联点”，例如：直线上存在的“关联点”是直线与直线的交点，即“关联点”的坐标为．

(1)若抛物线上存在两个“关联点”，两个“关联点”横坐标之差2，求k的值；

(2)若二次函数的图像上存在唯一的“关联点”，求此时n的最小值．

11．我们定义一种新函数：形如的函数叫作“华为”函数．如图，小丽同学画出了“华为”函数的图像，根据该图像解答下列问题：

(1)求该函数图像与轴和轴的交点坐标．

(2)当函数值随值的增大而减小时，求自变量的取值范围．

12．定义把函数：（）的图象绕点旋转180°，得到新函数的图象，我们称是关于点的相关函数，函数的图象的顶点纵坐标为.例如：当时，函数关于点的相关函数为.