精品解析：安徽省A10联盟2024-2025学年高一下学期4月期中考数学试题（北师大版）

・A10联盟2024级高一4月期中考 数学（北师大版）试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．请在答题卡上作答． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2. 下列诱导公式中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 一物体在力作用下，由点移动到点.已知，则对该物体所做的功为（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 16 4. 如图，在平行四边形中，为的中点，与对角线相交于点，记，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 若，是一组基底，向量（），则称为向量在基底，下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则在另一组基底，下的坐标为（   ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象关于点对称，且在上为增函数，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 在中，已知为线段上的一点，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与平行 C. 在上投影向量为 D. 10. 如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：秒）之间的关系为，则下列说法正确的是（ ） A. . B. . C. 盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点. D. 盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒. 11. 在中，角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则钝角三角形 C. 若，，则外接圆的面积为 D. 若是锐角，，则为锐角三角形 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的值为__________. 13. 顶角为36°的等腰三角形称作“黄金三角形”，其底边与腰长之比为黄金比，则的值为__________. 14. 在直角梯形中，，，，点是边上中点，若点在线段上运动（含端点），则的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设内角所对的边分别为，已知，且． （1）求的面积； （2）若为角的平分线，交于，求的长度． 16. 把函数的图象向左平移个单位长度，再把每个点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象. （1）求的最大值及取得最大值时的取值集合； （2）求的单调递减区间； （3）求在区间上的值域. 17. 已知单位向量的夹角为，且向量. （1）求的值； （2）若与共线，求实数的值； （3）求. 18. 如图，四边形是圆的内接四边形，且，，． （1）求的大小； （2）求四边形面积； （3）求的值． 19. 已知函数且，满足 （1）求参数的值； （2）若曲线关于点对称，则满足，证明：曲线是中心对称图形； （3）若对于，不等式恒成立，求参数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ ・A10联盟2024级高一4月期中考 数学（北师大版）试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．请在答题卡上作答． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示可得答案. 【详解】由题意得，， 因为，所以，解得. 故选：C. 2. 下列诱导公式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式，逐项验证即可. 【详解】对于A，，正确； 对于B，，正确； 对于C，，正确； 对于D，，错误. 故选：D. 3. 一物体在力的作用下，由点移动到点.已知，则对该物体所做的功为（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据做功的意义，运用数量积的坐标表示计算即可. 【详解】由题意得，，又，对物体做的功， 故选：A. 4. 如图，在平行四边形中，为的中点，与对角线相交于点，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形特征及向量线性关系计算判断. 【详解】由题意得，∽，所以， 所以，所以. 故选：A. 5. 已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数的周期确定的值，再结合正切函数的图象解不等式即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，得. 所以， 由得，得， 解得. 故选：A 6. 若，是一组基底，向量（），则称为向量在基底，下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则在另一组基底，下的坐标为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，且，代入运算即可. 【详解】因为，，，， 可知， 又因为向量在基底，下的坐标为， 则， 所以在基底，下的坐标为. 故选：C. 7. 已知函数的图象关于点对称，且在上为增函数，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的图象关于点对称，得，再根据单调性可得，得到，进而得到答案. 【详解】因为的图象关于点对称，所以，即， 所以，解得． 因为，，所以， 因为在上为增函数， 所以，解得， 所以当时，． 故选：B． 8. 在中，已知为线段上的一点，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设化简可得，，从而将向量等式化简，根据平面向量基本定理可得，再利用基本不等式求解即可. 【详解】， ， 中， ， ， 为线段上的一点，，且易得， 当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与平行 C. 在上的投影向量为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据平面向量的模的坐标公式计算即可判断；对于B，根据平面向量的坐标判断即可；对于C，根据投影向量的定义计算即可；对于D，先根据平面向量夹角余弦的坐标公式计算，再利用平方关系求正弦值即可. 【详解】A选项：，则，，则，所以，故A正确； B选项：，又，因为，所以与不平行，故B错误； C选项：，又，所以，， 所以在上的投影向量为，故C正确； D选项：，又， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：秒）之间的关系为，则下列说法正确的是（ ） A. . B. . C. 盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点. D. 盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据的最大值为4.5，最小值为，可求得、的值，可得选项A正确；根据时可得选项B正确；令求出的值可得选项C错误；由求出的范围可得选项D正确. 【详解】由题意得，最大值为4.5，最小值为， ∴，解得，选项A错误.设函数的最小正周期为， 由筒车按逆时针方向每分钟转圈可得， 故，∴，∵时， ∴，∵，∴，选项B正确. 由B得，，令，得， 故，∴，故， 令得，，故盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，选项C正确. 由，得，得， ∴，解得， ∴盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒，选项D正确. 故选：. 11. 在中，角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为钝角三角形 C. 若，，则的外接圆的面积为 D. 若是锐角，，则为锐角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】A利用范围结合三角函数可得；B利用正弦定理化简，再利用余弦定理即可求得为钝角；C利用正弦定理得出外接圆半径即可；D利用以及在上单调递增，可求出. 【详解】因，则， 若，则或，即或， 所以为等腰或直角三角形，故A错误； 若，结合正弦定理可得， 由余弦定理得， 又，所以为钝角，故为钝角三角形，故B正确； 设的外接圆的半径为， 因为，，则由正弦定理可得，即， 所以的外接圆的面积为，故C错误； 若，则， 又，得， 因为函数在上单调递增，所以，即， 所以，所以为锐角三角形，故D正确． 故选：BD． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据，即可代入表达式求解. 【详解】因为，所以. 故答案为： 13. 顶角为36°的等腰三角形称作“黄金三角形”，其底边与腰长之比为黄金比，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合余弦定理求解即可. 【详解】在等腰中，设，则， . 故答案为：. 14. 在直角梯形中，，，，点是边上中点，若点在线段上运动（含端点），则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，令，，利用数量积的坐标表示即可得出的取值范围. 【详解】以点为坐标原点，分别以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 则、、、，则， 由点是线段上的动点（含端点），可令，， 所以，则， 所以，， 由二次函数性质可得当时取得最小值， 当时取得最大值，可得. 因此，的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设内角所对的边分别为，已知，且． （1）求的面积； （2）若为角的平分线，交于，求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，，结合余弦定理化简得，再根据三角形面积计算公式计算即可； （2）根据及，化简计算即可. 【小问1详解】 由余弦定理可得：，即， 因为，，所以， 所以； 【小问2详解】 因为为角的平分线，所以 因为， 所以，而， 所以 16. 把函数的图象向左平移个单位长度，再把每个点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象. （1）求的最大值及取得最大值时的取值集合； （2）求的单调递减区间； （3）求在区间上的值域. 【答案】（1）最大值3，. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据函数平移伸缩得出函数解析式，再根据余弦函数的性质得出最大值； （2）根据余弦函数的单调性计算求解； （3）根据余弦函数的单调性及值域计算求解. 【小问1详解】 函数图象向左平移个单位长度，再把每个点的横坐标伸长到原来的2倍，得到， 当时，取得最大值3， 此时，，即，， 所以的取值集合是. 【小问2详解】 当单调递增时，单调递减， 由，得， 所以的单调递减区间是. 【小问3详解】 当时，， 由在上单调递减，在上单调递增， 且，，， 所以， 所以， 所以在区间上的值域为. 17. 已知单位向量的夹角为，且向量. （1）求的值； （2）若与共线，求实数的值； （3）求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由数量积定义计算即可； （2）由题意求出，，根据共线列式即可求； （3）利用平方的方法计算即可. 【小问1详解】 由题意得，. . 【小问2详解】 由题意得，， ， 因为不共线，所以，解得. 【小问3详解】 由（2）得，， . 18. 如图，四边形是圆的内接四边形，且，，． （1）求的大小； （2）求四边形的面积； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理以及即可求出，再用余弦定理计算即可； （2）利用三角形的面积公式计算即可； （3）过点作，过点作，则在方向上的投影向量为， 通过即可求数量积. 【小问1详解】 连接，由题意知，，则， 在，中，由余弦定理得，，， 则，解得， 所以， 因为，所以． 【小问2详解】 由（1）可知，， 则四边形的面积为 ． 【小问3详解】 过点作，垂足，则为的中点，所以， 过点作，垂足，则， 故， 所以在方向上的投影向量为， 所以． 19. 已知函数且，满足 （1）求参数的值； （2）若曲线关于点对称，则满足，证明：曲线是中心对称图形； （3）若对于，不等式恒成立，求参数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）由已知，代入计算可求得参数的值； （2）由（1）知，可得，即可证得曲线是中心对称图形； （3）由（2）知，则题中不等式可化为，又函数为减函数，则，利用换元法求出不等式右边的最小值为1，则得，即可求得参数的取值范围． 【小问1详解】 函数且，满足， 则，化简得， 因为，解得. 【小问2详解】 因为曲线关于点对称，则满足， 由（1）知，， 则， 所以，即， 所以曲线关于点对称，所以曲线是中心对称图形. 【小问3详解】 由（1）知，，， 因为为单调递增函数，则为单调递减函数， 由（2）知，， 则， 则不等式可化为： ， 所以，即， 令，， 则， 则当时， 所以，即，解得， 所以对于，不等式恒成立， 参数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $