湖南省跨地区普通高等学校对口招生2024-2025学年高三下学期第三次联考数学试题

湖南省2025年跨地区普通高等学校对口招生第三次联考

数学

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页．时量120分钟．满分120分．

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知全集，集合满足，则（   ）

A.  B.  C.  D.

2. 在数列中，已知，则该数列的前9项和（   ）

A. 18 B. 36 C. 72 D. 90

3. 已知，则“”是“”的（   ）

A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 已知过点，且倾斜角为的直线与圆相交于两点，则（   ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知，则的大小关系为（   ）

A.  B.  C.  D.

6. 要得到函数的图象，只需把函数的图象（    ）

A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度

C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

7. 已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 每条棱长均为4的正三棱锥的表面积是（   ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知奇函数在区间上是增函数.且，则不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 从1，2，3，4，5，6这6个数中任取3个数，至少有2个数为相邻整数的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11. 过点，且与直线平行的直线方程是_______．

12. 已知不等式的解集是，则_______．

13. 已知向量，若，则_______．

14. 已知，，则_______．

15. 已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，且抛物线C上一点到焦点的距离为7，则抛物线C的标准方程是_______．

三、解答题（本大题共7小题，其中第21，22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16. 已知函数

（1）写出函数的定义域，作函数的图像；

（2）若，求的取值范围．

17. 已知是各项均为正数的等比数列，数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

18. 甲、乙两人进行网球比赛，事先约定每一局比赛中，胜者得1分，负者得0分，没有平局.经过测算，每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响.

（1）经过3局比赛，设甲的得分为，求的分布列和数学期望：

（2）比赛采用3局制，第3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率是多少？

19. 已知双曲线的对称轴为坐标轴，对称中心为坐标原点，两个焦点分别为，．

（1）若双曲线的渐近线方程为，且双曲线经过点，求该双曲线的标准方程；

（2）若双曲线的虚轴的一个端点为M，且，求该双曲线的离心率．

20. 如图所示，在三棱锥中，平面的中点为，的中点为的中点为.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的正切值.

选做题：请考生在第21，22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号．

21. 已知的内角所对的边分别为，且．

（1）求角B的大小；

（2）若为等腰三角形，腰长为，求的底边长．

22. 某公司的家具车间计划每天生产甲、乙两种规格的纯木衣柜，每个衣柜需要木工和油漆工两道工序才能完成．已知木工生产一个甲种衣柜需要2h，生产一个乙种衣柜需要1h；油漆工油漆一个甲种衣柜需要1h，油漆一个乙种衣柜需要3h；木工、油漆工每天工作的时间分别不超过9h和7h；公司生产一个甲种衣柜可获利润0.5千元，生产一个乙种衣柜可获利润0.6千元．问公司每天生产甲、乙两种衣柜各多少个时，才能使获得的利润最大？最大利润是多少？