4.2.1　等差数列的概念学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.1　等差数列的概念(1)

1. 通过生活中的实例，理解等差数列的概念．

2. 能根据等差数列的定义判断一个数列是否为等差数列．

3. 了解等差中项的概念．

4. 探索并掌握等差数列的通项公式，会用通项公式解决一些简单的问题．

活动一  理解等差数列的概念

我们知道，数列是一种特殊的函数，在函数中，我们研究了一些有用的函数模型，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等．类似地，在数列中我们也要研究一些具有特殊变化规律的数列．

请看下面几个问题中的数列．

1. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为

9，18，27，36，45，54，63，72，81.

2. S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是

38，40，42，44，46，48.

3. 测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为

25．0，24.4，23.8，23.2，22.6.

4. 某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年.如果个人贷款月利率为r，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b万元，每月支付给银行的利息（单位：万元）依次为

ar，ar－br，ar－2br，ar－3br，….

思考1►►►

通过运算，这些数列有什么共同的特点？

 

 

 

等差数列的定义：

 

 

递推公式表示：

例1　判断下列数列是否为等差数列：

(1) 1，1，1，1，1；

(2) 4，7，10，13，16；

(3) －3，－2，－1，1，2，3.

 

 

 

 

 

 

 

思考2►►►

如何判断一个数列是否为等差数列？应注意概念中的哪些关键字？

 

 

 

 

思考3►►►

若数列{an}是等差数列，公差为d，则

(1) an，an－1，…，a2，a1是等差数列吗？

(2) a1，a3，a5，…，a2n－1，…是等差数列吗？

(3) ak，ak＋m，ak＋2m，…是等差数列吗？(k，m∈N*)

(4) λa1＋μ，λa2＋μ，…，λan＋μ，…是等差数列吗？（λ，μ为常数）

 

 

 

 

 

 

 

 

活动二  了解等差中项的概念

例2　写出下列等差数列中的未知项：

(1) 3，a，5，则a＝　　　　；

(2) 3，b，c，9，则b＝　　　　，c＝　　　　．

等差中项的定义：

若a，A，b成等差数列，则称A为a，b的等差中项，此时 A＝.

 

 

例3　（2023全国单元测试）已知数列{an}满足2an＋(n－1)an－1＝nan＋a1(n∈N*，n≥2)，证明：数列{an}为等差数列．

 

 

 

证明数列{an}为等差数列的方法：

(1) 定义法：an－an－1＝d（d为常数，n∈N*，n≥2）；

(2) 中项法：an＝(n∈N*，n≥2).

活动三　掌握等差数列的通项公式　

思考4►►►

设数列{an}是一个首项为a1，公差为d的等差数列，你能写出它的第n项an吗？

据其定义，可得：

a2－a1＝　　　　，

即a2＝a1＋　　　　；

a3－a2＝　　　　，

即a3＝a2＋　　　　＝a1＋　　　　；

a4－a3＝　　　　，

即a4＝a3＋　　　　＝a1＋　　　　；

……

由此可归纳出等差数列的通项公式：

 

 

叠加法，归纳法．