2025年中考数学必考知识点专题特训 二次函数与新定义的综合

二次函数与新定义的综合

2025年九年级中考数学中考必考知识点专题特训

 

 

1．新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为．

(1)写出的表达式（用含a的式子表示）及顶点坐标：

(2)若，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N．

①当时，求点P的坐标；

②当时，的最大值与最小值的差为2a，求a的值．

2．新定义：关于x轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”．

(1)求：抛物线的“同轴对称抛物线”．

(2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、．

①当四边形为正方形时，求：a的值．

②在①的条件下，抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像与一次函数相交于点M和点N（其中M在N的左边），将抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像向上平移得到新的抛物线与一次函数相交于点P和点Q（其中P在Q的左边），满足，试在抛物线上有且仅有三个点，，，使得，，的面积均为定值S，请直接写出：，，的坐标．

3．如图，直线： 与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过B、C两点．

(1)求抛物线的表达式．

(2)若 M 是直线上方抛物线上的一动点，当 面积最大时，请求出点 M的坐标．

(3)新定义：若 E 是抛物线对称轴上一动点，把绕点 E 旋转 点O 的对应点为G，若点 G 恰好落在抛物线上，则称这样的点 E 为“好点”，请直接写出所有“好点”E 的坐标．

4．定义：将二次函数的图象沿轴向右平移，再沿轴翻折，得到新函数的图象，则称函数是函数的“值衍生抛物线”．已知．

(1)当时，

①求衍生抛物线的函数解析式；

②如图1，函数与的图象交于两点，连接．点为抛物线上一点，且位于线段上方，过点作轴，交于点，交抛物线于点，求与存在的数量关系．

(2)当时，如图2，函数与轴交于两点，与轴交于点，连接．函数与轴交于两点，与轴交于点．点在抛物线上，且．请直接写出点的横坐标．

5．阅读理解

【信息提取】

新定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，则一条抛物线叫另一条抛物线的“友好抛物线”．

新知识：对于直线和，若，则直线与互相垂直；若直线与互相垂直，则．

【感知理解】

（1）抛物线的“友好抛物线”为____________________；

（2）若抛物线与互为“友好抛物线”，则a与m的数量关系为__________，b与n的数量关系为__________，c与q的数量关系为__________；

【综合应用】

（3）如图，抛物线的顶点为E，的“友好抛物线”的顶点为F，过点O的直线与抛物线交于点A，B（点A在B的左侧），与抛物线交于点C，D（点C在D的左侧）．若四边形AFDE为菱形，求AB的长．

6．新定义：已知抛物线（其中），我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为．

已知抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为．

(1)如果点的坐标为，求抛物线的表达式；

(2)设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标；

(3)已知点在抛物线上，点坐标为，当与相似时，求的值．

7．我们定义一种新函数：形如的函数叫作“华为”函数．如图，小丽同学画出了“华为”函数的图像，根据该图像解答下列问题：

(1)求该函数图像与轴和轴的交点坐标．

(2)当函数值随值的增大而减小时，求自变量的取值范围．

8．定义：将二次函数l的图象沿x轴向右平移t，再沿x轴翻折，得到新函数l′的图象，则称函数l′是函数l的“t值衍生抛物线”．已知l：y＝x2﹣2x﹣3．

(1)当t＝﹣2时，

①求衍生抛物线l′的函数解析式；

②如图1，函数l与l'的图象交于M（，n），N（m，﹣2）两点，连接MN．点P为抛物线l′上一点，且位于线段MN上方，过点P作PQ∥y轴，交MN于点Q，交抛物线l于点G，求S△QNG与S△PNG存在的数量关系．

(2)当t＝2时，如图2，函数l与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC．函数l′与x轴交于D，E两点，与y轴交于点F．点K在抛物线l′上，且∠EFK＝∠OCA．请直接写出点K的横坐标．

9．【信息提取】

新定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，则一条抛物线叫另一条抛物线的“友好抛物线”．

新知识：对于直线和．若，则直线与互相垂直；若直线与互相垂直，则．