近代物理第04讲《粒子》- 全国高中物理竞赛、强基计划经典名题汇编

近代物理第04讲 《粒子》 全国高中物理竞赛、强基计划经典名题汇编 本章是粒子物理与高能物理的入门模块，在高中基本粒子概念上拓展至标准模型、相互作用统一及实验探测技术等大学内容，重点培养学生对微观粒子分类、守恒律及高能反应的综合分析能力。核心内容涵盖： 基本粒子分类： 标准模型的粒子组成（夸克、轻子、规范玻色子及希格斯粒子）； 强子结构（重子与介子的夸克组合规则，如质子uud与π介子udˉ）； 相互作用与守恒律： 四种基本相互作用（强、弱、电磁、引力）的强度与媒介粒子； 守恒律的局部性与全局性（如重子数、轻子数守恒及弱作用中的宇称不守恒）； 粒子反应与实验： 高能碰撞的典型过程（如正负电子湮灭产生夸克对）； 加速器与探测器原理（回旋加速器的同步辐射限制、云室与气泡室的径迹分析）； 前沿关联： 中微子振荡的味混合机制与CP破坏现象； 暗物质候选粒子（如WIMP）的相互作用假设与探测原理。 竞赛题型特点： 理论推导：通过费曼图分析粒子反应路径（如β衰变的d→u+e−+νˉe​）； 守恒律应用：结合电荷、重子数等守恒量推断反应可能性； 实验设计：通过径迹图像反推粒子种类或能量（如区分μ子与电子）。 备考建议： 掌握标准模型粒子表与基本相互作用特性； 熟练运用守恒律排除禁戒反应（如质子衰变p→e++π0的不可行性）； 强化实验数据分析能力（如通过动量-电荷比鉴别粒子）。 本章是近代物理竞赛的前沿领域，需突破经典物质观，建立微观粒子与高能反应的量子化图像，为粒子物理与宇宙学研究奠定基础。 经典名题 1．根据泡利不相容原理，在主量子数n=4的电子壳层上最多可能有的电子数为 个。 2．电子在一维无限深势阱的波函数为，如粒子处于基态，则发现粒子几率最大的位置为 。 3．证明在非相对论情形下，初动能为零的电子被电位差V（伏特）加速后，电子的德布罗意波长为纳米。 4．氢原子的定态可用四个量子数来表示，四个量子数的名称分别为 、 、 和电子自旋磁量子数。电子自旋磁量子数可取 （几）个值，它确定了电子自旋角动量= ，沿某一方向上的投影= 。 5．电子在一维无限深势阱运动的波函数为，如电子处于基态，则发现电子几率最大的位置为 。 6．金属铝的逸出功为4.2eV，铝产生光电效应的红限波长为 。 7．求氢原子中第一激发态（n=2）电子的德布罗意波长（非相对论情形）。 8．若中子的动能等于它的静能时，它的速率为 。 9．静止的电子通过电势差为U的电场加速后，它的德布罗意波长是（       ） A． B． C． D． 10．锂（Z＝3）原子中含有3个电子，电子的量子态可用（n，l，ml，ms）四个量子数来描述，若已知基态锂原子中一个电子的量子态为（1，0，0，），则其余两个电子的量子态分别为 和 。 11．1988年10月，我国基本建成了对撞机。在此机中发生对撞的粒子是 和 。 12．1990年诺贝尔物理奖的授予项目是关于（　　） A．热核反应的控制 B．夸克存在的实验证据 C．高温超导方面的成就 D．宇宙膨胀的理论 13．子与电子的性质相似，其电量与电子相同，而质量约为电子的倍．用子代替氢原子中的电子就形成子－氢原子，子－氢原子的线状光谱与氢原子具有相似的规律．子－氢原子基态的电离能为 ，子－氢原子从第二激发态跃迁到第一激发态发出的光子的波长为 ．已知质子质量是电子的1836倍，氢原子基态的电离能为；光在真容中的速度为，普朗克常量为．（按玻尔理论计算时，在子－氢原子中若仍将质子视为不动，则子相当于质量为的带电粒子．） 14．对一个高能的带电粒子，如果当它在介质中的运动速度大于电磁波在介质中的传播速度时，将发出契伦科夫辐射： （1）导出粒子速度、介质折射率和契伦科夫辐射相对于粒子飞行直线所构成的角度之间的关系式 （2）在20℃、一个大气压时，氢气的折射率，为了使一个电子（质量为）穿过20℃、一个大气压的氢气介质时发生契伦科夫辐射，此电子应具有的最小动能为多少？ （3）用一根长的管道充以20℃、一个大气压的氢气加上光学系统制成一契伦科夫辐射探测器，探测到发射角为的辐射光，角度精度为．一束动量为的带电粒子通过计数器，由于粒子的动量是已知的，故实际上契伦科夫角度的测量就是对粒子静止质量的一种量度．对于接近的粒子，用契伦科夫探测器确定，当精确到一级小量时，相对误差是多少？ 15．（1）质量为m的粒子处在宽度为L的一维无限深势阱中，它的解为=，试应用薛定谔方程，求该粒子在这势阱中的能量表达式。 （2）当该粒子在势阱中处在基态时，试求发现粒子处在x=到x=之间的几率P。 16．带电粒子在威尔孙云室（一种径迹探测器）中的轨迹是一串小雾滴，雾滴的线度约为1微米。为观察能量为1000电子伏特的电子径迹时（属于非相对论情形），电子动量与经典力学动量的相对偏差不小于多少？ 17．粒子处于宽度为a的一维无限深方势阱中，其波函数在势阱的边界处为零且定态对应于德布罗意波的驻波。 （1）试根据德布罗意关系式和驻波条件求出粒子的最小动能（不考虑相对论效应）； （2）若基态波函数为，求电子处于基态（）时在势阱中出现的概率密度。 18．本题中提到的黑体都是余弦辐射体，将一个热容为的半径为的均匀的球形的黑体 A 放在一个半径为的均匀的薄球壳B内，两个球心的距离为。在时，A 的温度为。A内部的热传导很快。 （2.1）B是热容为，初始温度为的黑体。求时刻A的温度。 （可保留代数方程， 积分，微分方程等，若数学计算过于复杂。） （2.2）B的内壁是可以完全反射热辐射的镜面。求时刻A的温度。 19．假设对氦原子基态采用玻尔模型，认为每个电子都在以氦核为中心的圆周上运动，半径相同，角动量均为，其中是普朗克常量。 （1）如果忽略电子间的相互作用，氦原子的一级电离能是多少电子伏？一级电离能是指把其中一个电子移到无限远所需要的能量。 （2）实验测得的氦原子一级电离能是。若在上述玻尔模型的基础上来考虑电子之间的相互作用，进一步假设两个电子总处于通过氦核的一条直径的两端。试用此模型和假设，求出电子运动轨道的半径、基态能量以及一级电离能，并与实验测得的氦原子一级电离能相比较。已知电子质量，是光速，组合常量，，是静电力常量，是基本电荷量。 20．上世纪六十年代初，人们在实验上发现了超导环内的磁通量的量子化现象。磁通量子的单元是，其中为普朗克常量（为约化普朗克常量），c为真空中的光速，为电子电量。为了理解这一现象，考虑一维圆环上非相对论无相互作用电子的稳定运动状态，如图a所示。已知电子质量为m，环的半径为R，环上电子的运动状态可以用以下波函数表示， 其中，标记以圆环中心为原点的极坐标系统中环上的位置，p是电子的动量。 (1)一维的圆环上电子的波函数应当满足单值性条件，试据此给出电子动量p所有可能的取值。 (2)在环中通入磁通（关于过圆心且垂直于圆面的轴对称，图中箭头表示磁通的正负。在本题的计算中，视为连续变量），如图b所示。此时电子的动量变为 其中A为电磁场的矢势，其方向可视为沿环的切线方向。电子的能量由给出。试据此给出此时单个电子的能量E与磁通量的关系。 (3)考虑环上N个无相互作用的电子构成的系统。在接近绝对零度时，由于量子效应，系统满足以下两个条件： （3.1）任意两个电子具有不同的动量 （3.2）系统总能量取最小值 证明该系统的总能量随磁通量周期性变化，并指出该周期的大小。 (4)在的范围内，试给出系统单粒子平均能量随的变化关系；并由此指出，当N为奇数时，时的平均能量小于时的平均能量；当N为偶数时，时的平均能量大于时的平均能量。 (5)在超导体中，电子之间存在一种配对机制：为了使电子的平均能量最低，动量为和的电子要么同时存在，要么同时不存在。考虑总电子数是2N的两个环，且每个环上的电子数目不固定。即这2N个电子可以在两个圆环上任意分配。 （5.1）证明：若两个环分别带有奇数个电子，则当两环中的电子数相差最小且时，电子的平均能量才最低；类似地，若两个环分别带有偶数个电子，则当两环中的电子数相差最小且时，电子的平均能量才最低。记这两种电子平均能量最低的情形为a和b，继而证明：无论是a还是b，动量为和的电子要么同时存在，要么同时不存在。 （5.2）证明在以下两种（a和b）双环体系中，电子的平均能量的比值在环中的电子数趋于无穷大时趋于1∶a、两环各自带有的电子数均为且。两环分别带相差为2的偶数个电子，即两环带有的电子数分别为和且。其中M为正整数。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 近代物理第04讲 《粒子》 全国高中物理竞赛、强基计划经典名题汇编 本章是粒子物理与高能物理的入门模块，在高中基本粒子概念上拓展至标准模型、相互作用统一及实验探测技术等大学内容，重点培养学生对微观粒子分类、守恒律及高能反应的综合分析能力。核心内容涵盖： 基本粒子分类： 标准模型的粒子组成（夸克、轻子、规范玻色子及希格斯粒子）； 强子结构（重子与介子的夸克组合规则，如质子uud与π介子udˉ）； 相互作用与守恒律： 四种基本相互作用（强、弱、电磁、引力）的强度与媒介粒子； 守恒律的局部性与全局性（如重子数、轻子数守恒及弱作用中的宇称不守恒）； 粒子反应与实验： 高能碰撞的典型过程（如正负电子湮灭产生夸克对）； 加速器与探测器原理（回旋加速器的同步辐射限制、云室与气泡室的径迹分析）； 前沿关联： 中微子振荡的味混合机制与CP破坏现象； 暗物质候选粒子（如WIMP）的相互作用假设与探测原理。 竞赛题型特点： 理论推导：通过费曼图分析粒子反应路径（如β衰变的d→u+e−+νˉe​）； 守恒律应用：结合电荷、重子数等守恒量推断反应可能性； 实验设计：通过径迹图像反推粒子种类或能量（如区分μ子与电子）。 备考建议： 掌握标准模型粒子表与基本相互作用特性； 熟练运用守恒律排除禁戒反应（如质子衰变p→e++π0的不可行性）； 强化实验数据分析能力（如通过动量-电荷比鉴别粒子）。 本章是近代物理竞赛的前沿领域，需突破经典物质观，建立微观粒子与高能反应的量子化图像，为粒子物理与宇宙学研究奠定基础。 经典名题 1．根据泡利不相容原理，在主量子数n=4的电子壳层上最多可能有的电子数为 个。 【答案】32 【知识点】粒子 【详解】[1]根据泡利不相容原理，每个电子层最多容纳的电子数为，故主量子数n=4的电子壳层上最多可能有的电子数为 2．电子在一维无限深势阱的波函数为，如粒子处于基态，则发现粒子几率最大的位置为 。 【答案】 【知识点】粒子 【详解】处于一维深势阱中粒子的概率密度为波函数的平方，即 粒子处于基态时 即 概率密度最大位置即 时x的位置，则 解得 由于x在之间，故 3．证明在非相对论情形下，初动能为零的电子被电位差V（伏特）加速后，电子的德布罗意波长为纳米。 【答案】见解析 【知识点】粒子 【详解】初动能为零的电子被电位差V（伏特）加速后的动能 解得 所以 4．氢原子的定态可用四个量子数来表示，四个量子数的名称分别为 、 、 和电子自旋磁量子数。电子自旋磁量子数可取 （几）个值，它确定了电子自旋角动量= ，沿某一方向上的投影= 。 【答案】 主量子数n 角动量量子数I 磁量子数m 2 【知识点】粒子 【详解】[1][2][3]氢原子的定态可用四个量子数来表示，四个量子数的名称分别为主量子数n、角动量量子数I、磁量子数m和电子自旋磁量子数。 [4][5][6]电子自旋磁量子数是描述电子自旋状态的量子数，只能取和，因此是两个值，它确定了电子自旋角动量= ，沿某一方向上的投影=。 5．电子在一维无限深势阱运动的波函数为，如电子处于基态，则发现电子几率最大的位置为 。 【答案】 【知识点】粒子 【详解】[1]粒子出现的几率密度为 把上式对x求导并令其导数等于0得 则 其中 这里，是由于这时，已超出题给范围。若取得最大值而不是最小值还须满足下式 即要求 这个要求限制了n的取值，使得n不能取2，因为若，则，这时上式将得不到满足。所以，n只能等于1。最后我们看到：在处（附近）发现粒子的几率最大。 6．金属铝的逸出功为4.2eV，铝产生光电效应的红限波长为 。 【答案】296.0nm 【知识点】粒子 【详解】根据爱因斯坦光电效应方程，当电子的最大初动能为零时，有 解得 7．求氢原子中第一激发态（n=2）电子的德布罗意波长（非相对论情形）。 【答案】 【知识点】粒子、原子结构 【详解】由 当氢原子时 所以 所以其德布罗意波长 8．若中子的动能等于它的静能时，它的速率为 。 【答案】 【知识点】粒子 【详解】动能Ek加静能E0等于总能E E＝mc²＝Ek＋E0=2E0＝2m0c² 即 m＝2m0 又 所以 9．静止的电子通过电势差为U的电场加速后，它的德布罗意波长是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】粒子 【详解】静止的电子通过电势差为U的电场加速后，根据动能定理可得 可得 则电子的动量为 则电子的德布罗意波长为 故选B。 10．锂（Z＝3）原子中含有3个电子，电子的量子态可用（n，l，ml，ms）四个量子数来描述，若已知基态锂原子中一个电子的量子态为（1，0，0，），则其余两个电子的量子态分别为 和 。 【答案】 （1，0，0，） （2，0，0，）/（2，0，0，） 【知识点】粒子 【详解】 原子中电子的状态由四个量子数来描述（n,l,ml,ms），其中n是主量子数，代表电子的主要能级，l是角量子数取值范围是0到n-1，ml是磁量子数，与电子的角动量有关，取值范围是0到±l，ms是自旋量子数，取值范围是±。 锂原子第一层电子有两个，n=1，故l=0，ms=0，而根据泡利不相容原理，电子这种费米子四个量子数不能全相同，故第一层电子的自旋量子数一个取，另一个必须是。而锂原子第二层只有一个电子，自旋可以取，也可以取。 基态锂原子中一个电子的量子态为（1，0，0，），则其余两个电子的量子态分别为（1，0，0，）和（2，0，0，）或（2，0，0，）。 11．1988年10月，我国基本建成了对撞机。在此机中发生对撞的粒子是 和 。 【答案】 正电子 电子 【知识点】粒子 【解析】略 12．1990年诺贝尔物理奖的授予项目是关于（　　） A．热核反应的控制 B．夸克存在的实验证据 C．高温超导方面的成就 D．宇宙膨胀的理论 【答案】B 【知识点】粒子 【解析】略 13．子与电子的性质相似，其电量与电子相同，而质量约为电子的倍．用子代替氢原子中的电子就形成子－氢原子，子－氢原子的线状光谱与氢原子具有相似的规律．子－氢原子基态的电离能为 ，子－氢原子从第二激发态跃迁到第一激发态发出的光子的波长为 ．已知质子质量是电子的1836倍，氢原子基态的电离能为；光在真容中的速度为，普朗克常量为．（按玻尔理论计算时，在子－氢原子中若仍将质子视为不动，则子相当于质量为的带电粒子．） 【答案】 2530 35.29 【知识点】粒子、原子结构 【详解】略 14．对一个高能的带电粒子，如果当它在介质中的运动速度大于电磁波在介质中的传播速度时，将发出契伦科夫辐射： （1）导出粒子速度、介质折射率和契伦科夫辐射相对于粒子飞行直线所构成的角度之间的关系式 （2）在20℃、一个大气压时，氢气的折射率，为了使一个电子（质量为）穿过20℃、一个大气压的氢气介质时发生契伦科夫辐射，此电子应具有的最小动能为多少？ （3）用一根长的管道充以20℃、一个大气压的氢气加上光学系统制成一契伦科夫辐射探测器，探测到发射角为的辐射光，角度精度为．一束动量为的带电粒子通过计数器，由于粒子的动量是已知的，故实际上契伦科夫角度的测量就是对粒子静止质量的一种量度．对于接近的粒子，用契伦科夫探测器确定，当精确到一级小量时，相对误差是多少？ 【答案】(1) (2)   (3) 【详解】（1）当介质的折射率为时，电磁波在介质中的传播速度为，波的传播与粒子的运动速度之间构成图示的关系，即有 ，所以， （2）由于，即.所以，电子的动能 （3）在考虑相对论效应的情况下，粒子的动量为，所以，，         ① 又，，则， 所以，                ② 考虑到粒子的，，则由及可得 ， 则由式①②可得 15．（1）质量为m的粒子处在宽度为L的一维无限深势阱中，它的解为=，试应用薛定谔方程，求该粒子在这势阱中的能量表达式。 （2）当该粒子在势阱中处在基态时，试求发现粒子处在x=到x=之间的几率P。 【答案】（1）；（2）0.41 【知识点】粒子 【详解】（1）将代入薛定谔方程可得 其中，即 整理可得 可得 ，其中 （2）由归一化条件 解得 所求概率为 16．带电粒子在威尔孙云室（一种径迹探测器）中的轨迹是一串小雾滴，雾滴的线度约为1微米。为观察能量为1000电子伏特的电子径迹时（属于非相对论情形），电子动量与经典力学动量的相对偏差不小于多少？ 【答案】 【知识点】粒子 【详解】根据公式有 ， 为普朗克常量，即 ， 又有 ，， 代入数值有 17．粒子处于宽度为a的一维无限深方势阱中，其波函数在势阱的边界处为零且定态对应于德布罗意波的驻波。 （1）试根据德布罗意关系式和驻波条件求出粒子的最小动能（不考虑相对论效应）； （2）若基态波函数为，求电子处于基态（）时在势阱中出现的概率密度。 【答案】（1）；（2） 【知识点】粒子 【详解】（1）设粒子被禁闭在长度为a的一维箱中运动形成驻波，根据驻波条件有 由德布罗意关系式可知 所以定态动能为量子化的，量子化能级为 最小动能公式为 （2）相应的波函数为 式中A为常数。由归一化条件 求得归一化常数A为 概率密度为 18．本题中提到的黑体都是余弦辐射体，将一个热容为的半径为的均匀的球形的黑体 A 放在一个半径为的均匀的薄球壳B内，两个球心的距离为。在时，A 的温度为。A内部的热传导很快。 （2.1）B是热容为，初始温度为的黑体。求时刻A的温度。 （可保留代数方程， 积分，微分方程等，若数学计算过于复杂。） （2.2）B的内壁是可以完全反射热辐射的镜面。求时刻A的温度。 【答案】（2.1）见解析；（2.2） 【知识点】热辐射、黑体和黑体辐射、光的粒子性、粒子 【详解】（此解答中球坐标的方位角取值为） （2.1）如图1所示，以两个球心的连线为轴，记为B上平面内具有极角的点，考虑B上处单位面积发出的热辐射。 以为原点建立坐标系，轴指向。平面与平面重合。容易获得从坐标系变换到坐标系的公式 于是A的球心在坐标系中的坐标为 考虑从发出的具有极角和方位角的辐射，该射线的参数方程为 为了求该射线到的距离，考虑该射线上的点，其到的距离为 其中 为在变化时的最小取值（二次函数最低点），由方程 可以解得 范围内的解为 的形式在定性上有不同，主要分为两种情形：的情形： 此时对于任意的，轴都会穿过A，因此，能定义在整个，且是单值函数 的情形： 此时对于，轴会穿过A。因此，在上是关于的单值函数。 对于，轴不穿过A。因此，在上是关于的多值函数，其有两支与。，等号仅在时取到。 B在处小面积的辐射中，能射到A的功率为 其中是温度为的黑体表面的辐射率（单位面积上单位立体角的辐射通量），，而 其中 ，从而B对A的总辐射功率为 或者 其中常数 A对B的总辐射功率显然为 B对外耗散的总辐射功率显然为 从而可以建立微分方程组 即 其中由式[eq：黑体辐射参数]给出。理论上可由式[eq：黑体辐射微分方程]解出 。 （2.2）此情形给出平凡的结果 这是因为，A 的几乎全部辐射最终总能被反射回A。某根辐射在球形镜面内来回反射时， 它总在某个包含球心的平面内.。每一次反射的偏转角与的比值我们可以假定为无理数 （因为几乎所有的实数都是无理数）。从而，被反射的某根辐射可以稠密地铺满两个同心圆之间的区域.。该区域总是能与A有非空的交集（因为一开始该辐射就是从A上射出的）， 因此辐射总能回到A。 19．假设对氦原子基态采用玻尔模型，认为每个电子都在以氦核为中心的圆周上运动，半径相同，角动量均为，其中是普朗克常量。 （1）如果忽略电子间的相互作用，氦原子的一级电离能是多少电子伏？一级电离能是指把其中一个电子移到无限远所需要的能量。 （2）实验测得的氦原子一级电离能是。若在上述玻尔模型的基础上来考虑电子之间的相互作用，进一步假设两个电子总处于通过氦核的一条直径的两端。试用此模型和假设，求出电子运动轨道的半径、基态能量以及一级电离能，并与实验测得的氦原子一级电离能相比较。已知电子质量，是光速，组合常量，，是静电力常量，是基本电荷量。 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】粒子、原子结构 【详解】1.（Ⅰ）氦原子中有两个电子，一级电离能是把其中一个电子移到无限远处所需要的能量满足.为了得到氦原子的一级电离能，需要求出一个电子电离以后氦离子体系的能量.这是一个电子围绕氦核运动的体系，下面给出两种解法. 解法一：在力学方程 中，是轨道半径，是电子速度.对基态，用玻尔量子化条件（角动量为）可以解出 .（1） 于是氦离子能量 ，（2） 其中为基态电子动量的大小；代入数值得 .（3） 由于不计电子间的相互作用，氦原子基态的能量是该值的2倍，即 .（4） 氦离子能量与氦原子基态能量之差就是氦原子的一级电离能 .（5） 解法二：氦离子能量 . 把基态的角动量关系代入，式（3）可以改写成 . 因基态的能量最小，式（4）等号右边的第一项为零，所以半径和能量 ， 分别与（1），（2）两式相同. （Ⅱ）下面，同样给出求氦原子基态能量和半径的两种解法. 解法一：利用力学方程 和基态量子化条件，可以解出半径 ，（6） 于是氦原子基态能量 ；（7） 代入数值算得 （8） . 所以，氦原子的一级电离能 .（9） 这仍比实验测得的氦原子一级电离能高出. 解法二：氦原子能量 可以化成 . 当上式等号右边第一项为零时，能量最小.由此可知，基态能量与半径 ， 分别与（7），（6）两式相同. 20．上世纪六十年代初，人们在实验上发现了超导环内的磁通量的量子化现象。磁通量子的单元是，其中为普朗克常量（为约化普朗克常量），c为真空中的光速，为电子电量。为了理解这一现象，考虑一维圆环上非相对论无相互作用电子的稳定运动状态，如图a所示。已知电子质量为m，环的半径为R，环上电子的运动状态可以用以下波函数表示， 其中，标记以圆环中心为原点的极坐标系统中环上的位置，p是电子的动量。 (1)一维的圆环上电子的波函数应当满足单值性条件，试据此给出电子动量p所有可能的取值。 (2)在环中通入磁通（关于过圆心且垂直于圆面的轴对称，图中箭头表示磁通的正负。在本题的计算中，视为连续变量），如图b所示。此时电子的动量变为 其中A为电磁场的矢势，其方向可视为沿环的切线方向。电子的能量由给出。试据此给出此时单个电子的能量E与磁通量的关系。 (3)考虑环上N个无相互作用的电子构成的系统。在接近绝对零度时，由于量子效应，系统满足以下两个条件： （3.1）任意两个电子具有不同的动量 （3.2）系统总能量取最小值 证明该系统的总能量随磁通量周期性变化，并指出该周期的大小。 (4)在的范围内，试给出系统单粒子平均能量随的变化关系；并由此指出，当N为奇数时，时的平均能量小于时的平均能量；当N为偶数时，时的平均能量大于时的平均能量。 (5)在超导体中，电子之间存在一种配对机制：为了使电子的平均能量最低，动量为和的电子要么同时存在，要么同时不存在。考虑总电子数是2N的两个环，且每个环上的电子数目不固定。即这2N个电子可以在两个圆环上任意分配。 （5.1）证明：若两个环分别带有奇数个电子，则当两环中的电子数相差最小且时，电子的平均能量才最低；类似地，若两个环分别带有偶数个电子，则当两环中的电子数相差最小且时，电子的平均能量才最低。记这两种电子平均能量最低的情形为a和b，继而证明：无论是a还是b，动量为和的电子要么同时存在，要么同时不存在。 （5.2）证明在以下两种（a和b）双环体系中，电子的平均能量的比值在环中的电子数趋于无穷大时趋于1∶a、两环各自带有的电子数均为且。两环分别带相差为2的偶数个电子，即两环带有的电子数分别为和且。其中M为正整数。 【答案】(1) (2) (3)见解析， (4)，当为奇数时，时的平均能量小于时的平均能量；由⑯⑱式可见，当为偶数时，时的平均能量大于时的平均能量 (5)（5.1）见解析，（5.2）见解析 【知识点】粒子 【详解】（1）一维圆环上电子的波函数应满足如下的单值条件 ① 由题给波函数形式和①式有 ② 由②式得 ，③ （2）磁矢势的环路积分即为通过该环路的磁通量，故有 ④ 已利用穿过圆环的磁通分布的轴对称性。按按题干所述，在有磁场的情况下，由③④式得电子动量 ⑤ 按题干所述，由⑤式得电子能量 ，⑥ （3）记做 ⑦ 其中为整数。在接近绝对零度时，系统总能量为 为使系统总能量最低，当为奇数时应取 ⑧ 最低总能量为 ⑨ 当时，的值变为，但⑧式的限制不变因此，最低总能量保持不变。 当为偶数时，为使总能量最低，如果，有 ⑩ 如果，有 ⑪ 同理，当时，的值变为，但⑩⑪式求和的上下限保持不变，最低总能量也保持不变。综上所述 ⑫ 最低总能量是的周期函数，其周期为。 （4）由⑦式知，相当于在第（3）问的答案中取。当为奇数时，取，其中为非负整数。由⑨式有 ⑬ 利用平方求和公式 ⑬式成为 ⑭ 当为偶数时，取。当时（即情形），由⑩式有 ⑮ 在⑮式右端对含的项配完全平方并利用平方求和公式，有 ⑯ 当时（即情形），由⑪式有 ⑰ 在（17）式右端对含的项配完全平方并利用平方求和公式，有 ⑱ 由于总能量（因此平均能量也如此）的周期性，时的平均能量与时相同（为奇数和偶数均成立）。 由⑭式可见，当为奇数时，时的平均能量小于时的平均能量；由⑯⑱式可见，当为偶数时，时的平均能量大于时的平均能量。 （5）（5.1）由第（4）问可知，在附近，当两环上的电子数都为奇数且差值最小时，整个体系的电子平均能量最低。由⑭式知其取值为 ⑲ 其中是的函数。由（19）式已经可以看出，电子平均能量在时最低。 类似地，在附近，当两环上的电子都为偶数个且两个圆环上电子数目差值最小时，电子平均能量最低。由⑯或⑱式知其取值为 ⑳ 其中是的函数。由⑳式已经可以看出，电子平均能量在时最低。 综上可知，对于两环体系a或b，动量为和的电子要么同时存在，要么同时不存在。（*） （5.2）为了方便，当，取，其中分别是第1、2个环上的电子数，为零或正整数。由⑭⑯式知 ㉑ 当，取。由⑯式知 ㉒ 由㉑㉒式知，在和两种情形下，电子的平均能量在时的比值等于 ㉓ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$