光学第02讲《透镜成像与常用光学仪器》- 全国高中物理竞赛、强基计划经典名题汇编

光学第02讲 《透镜成像与常用光学仪器》 全国高中物理竞赛、强基计划经典名题汇编 本章是几何光学与工程光学的综合模块，在高中薄透镜成像基础上拓展至厚透镜基点理论、像差分析及现代光学仪器设计等大学内容，重点培养学生对复杂光学系统的建模与优化能力。核心内容涵盖： 透镜成像深化： 厚透镜的基点与基面（主平面、节点与焦点位置计算）； 像差分类与校正（球差、彗差、场曲的赛德尔多项式分析）； 波动光学修正（衍射极限与瑞利判据对分辨率的限制）； 光学仪器进阶： 显微镜的阿贝成像理论与分辨率极限（数值孔径与照明方式优化）； 望远镜的角放大率与光瞳匹配（视场与像面照度平衡）； 摄影镜头的像差平衡设计（非球面与复消色差透镜组）； 现代光学技术： 激光扩束系统的光束质量分析（M²因子与高斯光束传播）； 光纤耦合透镜的数值孔径匹配与像差容限计算； 共聚焦显微镜的光学切片原理与三维成像模型。 竞赛题型特点： 系统复杂性：通过多透镜组合（如望远镜-显微镜耦合）设计光路追踪与参数优化问题； 数学工具深化：需利用矩阵光学（ABCD传输矩阵）分析复杂光路或微积分计算像差积分； 物理-工程结合：结合实际仪器参数（如物镜NA值）反推系统极限性能。 备考建议： 掌握矩阵光学法简化多透镜系统成像计算； 熟练运用赛德尔像差系数评估系统缺陷； 强化实验-理论联动能力（如通过光斑尺寸反推光束发散角）。 本章是光学竞赛的高阶领域，需突破理想成像假设，建立像差修正与分辨率极限的综合视角，为光电工程与精密仪器设计奠定基础。 经典名题 1．玻璃半球的半径为R，折射率为n，点光源P在半球对称轴上距半球球心r处，且，P会成两个像，其一是直接被直径面所反射，该像在A点的 侧，为 像；其二是被直径面折射，再经球面反射，又经直径面折射所成的像，该像在A点的 侧，为 像。 2．如图所示，两平面反射镜A和B斜交，交点为，两镜夹角为，两反射镜的反射面相对。在两反射镜之间有一物点，观察者位于两镜之间，观察者在A镜中最多可以看到 个点像；在B镜中最多可以看到 个点像。 3．离屏幕A垂直距离d处有点光源S，屏幕中心光强为I。现在如图在离屏幕A垂直距离2d处增加一个平面反射镜，这时平面中心光强为 。 4．梅斯林干涉装置如图所示，将透镜切割成对称的两半L1和L2，再沿光轴方向将它们错开一定距离放置。位于光轴上的点光源S，通过L1和L2分别成像于。垂直光轴放置观测屏，能在屏上观察到干涉条纹（　　） A．观测屏位于L2与之间 B．观测屏位于与之间 C．观测屏位于右侧 D．干涉条纹为一系列同心圆 E．干涉条纹为一系列同心半圆 F．干涉条纹为一系列水平的平行线 5．如图所示光具组，一点光源位于凸透镜左侧，当与距离取两个不同值时，该光具组都能在原处成一实像，一种情况下若稍向左移动平面镜，像消失。另一种情况下稍移动平面镜，像不消失。 （1）求前一种情况下的的焦距（用 、表示）。 （2）在（1）的情况下，将与的距离换为，现在距右侧以外的某处放一个与相同的凸透镜，仍使能成像在原处，求放置的凸透镜与原凸透镜的距离。 6．如图所示，遮光板A与光屏B平行放置且相距为d。在A的中央挖一直径为d1的圆孔，并在孔内嵌入与孔等大的薄透镜L。现有一束平行光束垂直照射遮光板，在光屏上形成了一个直径为d2的圆形光斑，则该透镜的焦距大小可能为（　　） A． B． C． D． 7．如图所示，是创新小组的同学们自制的照相机。在较暗的教室内，让凸透镜对着明亮的室外，拉动纸筒，在半透明膜上可看到室外实验楼清晰的像，若想在半透明膜上成实验楼更大清晰的像，下列做法正确的是（　　）    A．相机向前移，纸筒向前伸 B．相机向后移，纸筒向后缩 C．相机不移动，纸筒向后缩 D．相机和纸筒的位置均不变 8．波长为500nm的单色光垂直入射到宽为0.25mm的单缝上，单缝后面放置一凸透镜，凸透镜的焦平面上放置一光屏，用以观测衍射条纹，今测得中央明条纹一侧第三个暗条纹与另一侧第三个暗条纹之间的距离为12mm，则凸透镜的焦距f为 米。 9．当牛顿环装置中的透镜与玻璃之间的空间充以某种液体时，第10个亮环的直径由变为，求该液体的折射率。 10．波长为680nm的平行光照射到长的两块玻璃片上，两玻璃片的一边相互接触，另一边被厚度的纸片隔开，则在这12cm长度内将会呈现多少条暗条纹。 11．若把牛顿环装置由空气搬入折射率为的水中，则干涉条纹（　　） A．变密 B．变疏 C．中心暗斑变成亮斑 D．间距不变 12．用单色光垂直照射牛顿环装置，设其平凸透镜可以在垂直的方向上移动，在透镜离开平面玻璃的过程中，可以观察到这些环状干涉条纹（　　） A．向右平移 B．向中心收缩 C．向外扩张 D．向左平移 13．已知天空中两颗星相对于一望远镜的角距离为，它们都发波长550nm的光，望远镜的直径d= 才能分辨出这两颗星。 14．用钠黄光（）观察牛顿环，测量到某暗环的半径为，由它外数第5圈暗环的半径为，则所用平凸透镜的曲率半径 。 15．采用光源波长为的迈克耳孙干涉仪，先将如图所示的干涉仪中镜面和调整到严格垂直，然后在干涉仪的一臂上放一折射率为n的光楔，此时观察到迈克耳孙干涉仪视场中出现间距为的等厚干涉条纹，试计算这光楔的楔角为多少？    16．波长为的单色光照在间距为d的双缝上，双缝到光屏的间距为D。现用厚度相同为h、折射率分别为和的薄膜片，分别覆盖在上下两条缝上，求各级明暗条纹的位置。 17．在宽度a=0.05mm的狭缝后置一焦距f为0.8m的透镜，有一屏幕处在透镜的焦平面上，如图所示。现将某单色光垂直照射在单缝上，在屏幕上形成单缝衍射条纹，试问：若在离中央明条纹上方x=1.6cm的P处恰为暗条纹，则该光的波长约为（　　）    A．450nm B．500nm C．550nm D．600nm 18．一束线偏振光垂直于晶面射入负单轴晶体后，分解成O光和e光，传播速度快的是O光还是e光？为什么？ 19．用白光（400nm—700nm）垂直照射在每毫米500条刻痕的光栅上，光栅后放一焦距的凸透镜，试求透镜焦平面处光屏上第一级光谱的宽度是多少？ 20．雨过天晴，空气内悬浮着大量小水滴，若阳光从背后以低角度照射，观察者便可能观察到彩虹（图a）．有时会同时出现两条彩虹，内层彩虹称为主虹（1级虹），它来自阳光进入水滴后的一次反射；在主虹外边较暗的虹称为副虹或霓（2级虹），它来自阳光在水滴内的两次反射．光线在水滴内还可能发生三次及以上的反射，并产生相应级次的虹．在自然界中通常只能观察到1级和2级虹，更高级次的虹可以在实验室环境下呈现．    考虑一个球形水滴，直径为量级．如图b，一根入射光线与球心确定一个平面，该平面与球形水滴表面相交形成一个圆（大圆），进入水滴的光线经折射、反射后的出射光都在此平面内．把光线在水滴内经过次反射后的出射光称为级光，出射光相对入射光方向偏转的角度称为偏向角（见图b）． (1)已知入射光线在水滴外表面上的入射角为,空气和水的折射率分别为1和．试求级光的偏向角的表达式． (2)当一束单色平行光照射水滴时，不同入射位置对应不同入射角（见图c）．当入射角变化时，级光的偏向角有一极小值,试求及其对应的入射角的表达式． (3)由于色散，不同波长的光在水中的折射率不同．对于确定的入射角，试求级光偏向角对折射率的变化率与入射角的关系式，并求当取第（2）问中的时的表达式． (4)图c是单色平行光照射到水滴后出射的1级光示意图，在1级光偏向角极小值附近出射的光线较为集中，即光强较大，此处出现1级虹，相应偏向角的极小值为1级虹的偏向角，类似地为级虹的偏向角．当白光平行入射时，取红光和紫光在水中的折射率分别为和,试分别计算和级虹的偏向角和以及虹的角宽度，并分别指出它们从内到外颜色排列的次序．角度的计算结果以度（°）为单位，精确到． (5)透过偏振片观察彩虹，可发现彩虹的光是偏振光．设入射到水滴的光为单色自然光，出射光中偏振（偏振方向垂直于入射面）的光强为，偏振（偏振方向平行于入射面）的光强为,光的偏振度定义为．当入射光为红光时，试分别计算和级虹出射光的偏振度． 提示：当光从折射率为的介质射向折射率为的介质，入射角和折射角分别为和，对于偏振，反射光和折射光的电场振幅与入射光的电场振幅之比分别为 对于偏振，反射光和折射光的电场振幅与入射光的电场振幅之比分别为 (6)在某些条件下可观察到紧靠虹的边缘出现额外的彩色条纹，该现象称为“附属虹”，如图d所示．试定性解释附属虹产生的原因．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 光学第02讲 《透镜成像与常用光学仪器》 全国高中物理竞赛、强基计划经典名题汇编 本章是几何光学与工程光学的综合模块，在高中薄透镜成像基础上拓展至厚透镜基点理论、像差分析及现代光学仪器设计等大学内容，重点培养学生对复杂光学系统的建模与优化能力。核心内容涵盖： 透镜成像深化： 厚透镜的基点与基面（主平面、节点与焦点位置计算）； 像差分类与校正（球差、彗差、场曲的赛德尔多项式分析）； 波动光学修正（衍射极限与瑞利判据对分辨率的限制）； 光学仪器进阶： 显微镜的阿贝成像理论与分辨率极限（数值孔径与照明方式优化）； 望远镜的角放大率与光瞳匹配（视场与像面照度平衡）； 摄影镜头的像差平衡设计（非球面与复消色差透镜组）； 现代光学技术： 激光扩束系统的光束质量分析（M²因子与高斯光束传播）； 光纤耦合透镜的数值孔径匹配与像差容限计算； 共聚焦显微镜的光学切片原理与三维成像模型。 竞赛题型特点： 系统复杂性：通过多透镜组合（如望远镜-显微镜耦合）设计光路追踪与参数优化问题； 数学工具深化：需利用矩阵光学（ABCD传输矩阵）分析复杂光路或微积分计算像差积分； 物理-工程结合：结合实际仪器参数（如物镜NA值）反推系统极限性能。 备考建议： 掌握矩阵光学法简化多透镜系统成像计算； 熟练运用赛德尔像差系数评估系统缺陷； 强化实验-理论联动能力（如通过光斑尺寸反推光束发散角）。 本章是光学竞赛的高阶领域，需突破理想成像假设，建立像差修正与分辨率极限的综合视角，为光电工程与精密仪器设计奠定基础。 经典名题 1．玻璃半球的半径为R，折射率为n，点光源P在半球对称轴上距半球球心r处，且，P会成两个像，其一是直接被直径面所反射，该像在A点的 侧，为 像；其二是被直径面折射，再经球面反射，又经直径面折射所成的像，该像在A点的 侧，为 像。 【答案】 右 虚 右 虚 【知识点】透镜成像与常用光学仪器 【详解】[1][2]第一次是平面镜成像，像和物体关于平面镜对称，因此所成的像在A点的右侧，关于A点对称，为虚像。 [3][4]光线进入半球内，通过直径面时成第一个像，根据球面镜成像公式 由于直径面为平面，相当于，因此 该像在A点的左侧，距离A点为，为虚像，再经过球面镜反射第二次像，根据 其中 代入整理可得 该像为实像，在A点的右侧，然后再次经过直径面成像，根据 同样 ， 可得 因此该像在A点的右侧，为虚像到A的距离为。 2．如图所示，两平面反射镜A和B斜交，交点为，两镜夹角为，两反射镜的反射面相对。在两反射镜之间有一物点，观察者位于两镜之间，观察者在A镜中最多可以看到 个点像；在B镜中最多可以看到 个点像。 【答案】 5 5 【知识点】透镜成像与常用光学仪器 【详解】[1][2]若S恰好在角 的平分线上，根据对称性可知相邻的两个像所对的圆心角均为36，因此可成想的个数为 其中与 重合，如图所示 在两个平面镜中都会看到这个像，若S不在角平分线上，靠经那个平面镜在那个平面镜中就会出现5个像，因此在两个平面镜中最多都会看到5个像。 3．离屏幕A垂直距离d处有点光源S，屏幕中心光强为I。现在如图在离屏幕A垂直距离2d处增加一个平面反射镜，这时平面中心光强为 。 【答案】 【知识点】透镜成像与常用光学仪器 【详解】根据，设光源在t时间内发射n0个频率为的光子，屏幕中心面积接受的光子数为 光强 在左侧放置反射镜M后，利用光的反射则等效为平面镜左侧d的位置有一个光源，设其在t时间内打到屏幕中心的光子数为 其光强为，总光强为 4．梅斯林干涉装置如图所示，将透镜切割成对称的两半L1和L2，再沿光轴方向将它们错开一定距离放置。位于光轴上的点光源S，通过L1和L2分别成像于。垂直光轴放置观测屏，能在屏上观察到干涉条纹（　　） A．观测屏位于L2与之间 B．观测屏位于与之间 C．观测屏位于右侧 D．干涉条纹为一系列同心圆 E．干涉条纹为一系列同心半圆 F．干涉条纹为一系列水平的平行线 【答案】BE 【知识点】透镜成像与常用光学仪器 【详解】ABC．根据题意，由梅斯林透镜干涉原理可知，光路图如图所示 图中为光线叠加区域，则观测屏位于与之间，故AC错误，B正确； DEF．根据题意，另和距接收屏的距离分别为和，两列光波在接收屏上各点的相位差为 整理可得 上式中 为两列光波在观测屏与光轴交点处的相位差，和分别为两列光波在像点和处的初相位，而对于确定的干涉装置，和为确定值，则为定值，另 干涉条纹的轨迹方程为 为常量，可知为常量，可见条纹是以观测屏与光轴交点为圆心的同心圆，由于图中为光线叠加区域，则干涉条纹为以观测屏与光轴交点为圆心的一系列同心半圆，故DF错误，E正确。 故选BE。 5．如图所示光具组，一点光源位于凸透镜左侧，当与距离取两个不同值时，该光具组都能在原处成一实像，一种情况下若稍向左移动平面镜，像消失。另一种情况下稍移动平面镜，像不消失。 （1）求前一种情况下的的焦距（用 、表示）。 （2）在（1）的情况下，将与的距离换为，现在距右侧以外的某处放一个与相同的凸透镜，仍使能成像在原处，求放置的凸透镜与原凸透镜的距离。 【答案】（1）；（2），， 【知识点】透镜成像与常用光学仪器 【详解】（1）第一种情况，光源经凸透镜第一次成像，根据透镜成像公式可知 经平面镜第二次成像位置到凸透镜距离 再经平面镜成像第三次成像位置恰好在S处，则 联立解得 ， （2）由于第一次成像与最后一次成像仍在原位置，因此经第二个凸透镜后成像恰好在平面镜位置，利用透镜成像公式 代入数据可得 ， 另外如果光源S经第一个透镜成像的位置恰好位于第二个透镜的焦点上，光线经第二个透镜变为一束平行光，经平面镜反射后原路返回同样最后成像在S处，此时，第二个到第一个透镜的距离 综上有3个可能的。 6．如图所示，遮光板A与光屏B平行放置且相距为d。在A的中央挖一直径为d1的圆孔，并在孔内嵌入与孔等大的薄透镜L。现有一束平行光束垂直照射遮光板，在光屏上形成了一个直径为d2的圆形光斑，则该透镜的焦距大小可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】透镜成像与常用光学仪器 【详解】（1）当薄透镜为凸透镜，且透镜的焦点在光屏B的左侧时，如图所示 由于跟相似，则根据相似三角形的知识可知 解得透镜焦距的大小为 故A有可能； （2）当薄透镜为凸透镜，且透镜的焦点在光屏B的右侧时，如图所示 由于跟相似，则根据相似三角形的知识可知 解得透镜焦距的大小为 故C有可能； （3）当薄透镜为凹透镜时，如图所示 由于跟相似，则根据相似三角形的知识可知 解得透镜焦距的大小为 故B有可能。 故选ABC。 7．如图所示，是创新小组的同学们自制的照相机。在较暗的教室内，让凸透镜对着明亮的室外，拉动纸筒，在半透明膜上可看到室外实验楼清晰的像，若想在半透明膜上成实验楼更大清晰的像，下列做法正确的是（　　）    A．相机向前移，纸筒向前伸 B．相机向后移，纸筒向后缩 C．相机不移动，纸筒向后缩 D．相机和纸筒的位置均不变 【答案】A 【知识点】透镜成像与常用光学仪器 【详解】A．相机向前移，纸筒向前伸，即物距减小，相距变大，根据凸透镜成像规律可知，物近像远像变大，故A正确； B．相机向后移，纸筒向后缩，即物距增大，相距变小，根据凸透镜成像规律可知，物远像近像变小，故B错误； CD．相机不移动，即物距不变，根据凸透镜成像规律可知，相距不变，凸透镜成像大小不变，CD错误。 故选A。 8．波长为500nm的单色光垂直入射到宽为0.25mm的单缝上，单缝后面放置一凸透镜，凸透镜的焦平面上放置一光屏，用以观测衍射条纹，今测得中央明条纹一侧第三个暗条纹与另一侧第三个暗条纹之间的距离为12mm，则凸透镜的焦距f为 米。 【答案】 【知识点】透镜成像与常用光学仪器 【详解】中央明条纹两侧的第k条暗条纹之间的距离为 则此凸透镜的焦距为 9．当牛顿环装置中的透镜与玻璃之间的空间充以某种液体时，第10个亮环的直径由变为，求该液体的折射率。 【答案】1.22 【知识点】透镜成像与常用光学仪器 【详解】由牛顿环公式可得 解得 【点睛】 10．波长为680nm的平行光照射到长的两块玻璃片上，两玻璃片的一边相互接触，另一边被厚度的纸片隔开，则在这12cm长度内将会呈现多少条暗条纹。 【答案】124 【知识点】透镜成像与常用光学仪器 【详解】如图    可知      由于很小，故 由于半波损失，相邻暗条纹之间空气膜厚度差为 相邻暗条纹间距为 故暗条纹数目为 11．若把牛顿环装置由空气搬入折射率为的水中，则干涉条纹（　　） A．变密 B．变疏 C．中心暗斑变成亮斑 D．间距不变 【答案】A 【知识点】透镜成像与常用光学仪器 【详解】牛顿环由空气放入水中，折射率变大则光的波长变小，则干涉条纹间距变小，即变密。 故选A。 12．用单色光垂直照射牛顿环装置，设其平凸透镜可以在垂直的方向上移动，在透镜离开平面玻璃的过程中，可以观察到这些环状干涉条纹（　　） A．向右平移 B．向中心收缩 C．向外扩张 D．向左平移 【答案】B 【知识点】透镜成像与常用光学仪器 【详解】牛顿环是等厚干涉条纹，当平凹透镜垂直向上移动而远离玻璃时，某一厚度的空气膜将向中心收缩，因此环装条纹向中心收缩。 故选B 13．已知天空中两颗星相对于一望远镜的角距离为，它们都发波长550nm的光，望远镜的直径d= 才能分辨出这两颗星。 【答案】13.9cm 【知识点】透镜成像与常用光学仪器 【详解】根据最小分辨角公式 解得 14．用钠黄光（）观察牛顿环，测量到某暗环的半径为，由它外数第5圈暗环的半径为，则所用平凸透镜的曲率半径 。 【答案】 【知识点】透镜成像与常用光学仪器 【详解】根据题意，由两个环纹半径的平方差求曲率半径，有 解得 代入数据解得 15．采用光源波长为的迈克耳孙干涉仪，先将如图所示的干涉仪中镜面和调整到严格垂直，然后在干涉仪的一臂上放一折射率为n的光楔，此时观察到迈克耳孙干涉仪视场中出现间距为的等厚干涉条纹，试计算这光楔的楔角为多少？    【答案】 【知识点】透镜成像与常用光学仪器 【详解】设光楔的楔角为，由题意可知，相邻干涉条纹间距为，则有 光楔使两光学臂产生的额外光程差值为 解得 16．波长为的单色光照在间距为d的双缝上，双缝到光屏的间距为D。现用厚度相同为h、折射率分别为和的薄膜片，分别覆盖在上下两条缝上，求各级明暗条纹的位置。 【答案】明条纹位置，（）；暗条纹位置，（） 【知识点】透镜成像与常用光学仪器 【详解】在双缝干涉实验中，光程 当添加膜片后，光程差为 当光程差等于整数倍波长时，出现明条纹，则   （） 解得出现明条纹位置 ，（） 当光程差等于半波长的奇数倍时，出现暗条纹，则   （） 解得暗条纹位置   （） 17．在宽度a=0.05mm的狭缝后置一焦距f为0.8m的透镜，有一屏幕处在透镜的焦平面上，如图所示。现将某单色光垂直照射在单缝上，在屏幕上形成单缝衍射条纹，试问：若在离中央明条纹上方x=1.6cm的P处恰为暗条纹，则该光的波长约为（　　）    A．450nm B．500nm C．550nm D．600nm 【答案】B 【知识点】透镜成像与常用光学仪器 【详解】由光栅方程近似公式可得 解得 由此处为暗条纹代入解得 故选B。 18．一束线偏振光垂直于晶面射入负单轴晶体后，分解成O光和e光，传播速度快的是O光还是e光？为什么？ 【答案】e光快 【知识点】透镜成像与常用光学仪器 【详解】入射光方向与光轴方向平行时，o光和e光的传播速度相同，其它情形下传播速度快的是e光，因为负单轴晶体中，由可知此时e光快。 19．用白光（400nm—700nm）垂直照射在每毫米500条刻痕的光栅上，光栅后放一焦距的凸透镜，试求透镜焦平面处光屏上第一级光谱的宽度是多少？ 【答案】50mm 【知识点】透镜成像与常用光学仪器 【详解】 由 第一级光谱衍射角宽度为 第一级光谱宽度为 20．雨过天晴，空气内悬浮着大量小水滴，若阳光从背后以低角度照射，观察者便可能观察到彩虹（图a）．有时会同时出现两条彩虹，内层彩虹称为主虹（1级虹），它来自阳光进入水滴后的一次反射；在主虹外边较暗的虹称为副虹或霓（2级虹），它来自阳光在水滴内的两次反射．光线在水滴内还可能发生三次及以上的反射，并产生相应级次的虹．在自然界中通常只能观察到1级和2级虹，更高级次的虹可以在实验室环境下呈现．    考虑一个球形水滴，直径为量级．如图b，一根入射光线与球心确定一个平面，该平面与球形水滴表面相交形成一个圆（大圆），进入水滴的光线经折射、反射后的出射光都在此平面内．把光线在水滴内经过次反射后的出射光称为级光，出射光相对入射光方向偏转的角度称为偏向角（见图b）． (1)已知入射光线在水滴外表面上的入射角为,空气和水的折射率分别为1和．试求级光的偏向角的表达式． (2)当一束单色平行光照射水滴时，不同入射位置对应不同入射角（见图c）．当入射角变化时，级光的偏向角有一极小值,试求及其对应的入射角的表达式． (3)由于色散，不同波长的光在水中的折射率不同．对于确定的入射角，试求级光偏向角对折射率的变化率与入射角的关系式，并求当取第（2）问中的时的表达式． (4)图c是单色平行光照射到水滴后出射的1级光示意图，在1级光偏向角极小值附近出射的光线较为集中，即光强较大，此处出现1级虹，相应偏向角的极小值为1级虹的偏向角，类似地为级虹的偏向角．当白光平行入射时，取红光和紫光在水中的折射率分别为和,试分别计算和级虹的偏向角和以及虹的角宽度，并分别指出它们从内到外颜色排列的次序．角度的计算结果以度（°）为单位，精确到． (5)透过偏振片观察彩虹，可发现彩虹的光是偏振光．设入射到水滴的光为单色自然光，出射光中偏振（偏振方向垂直于入射面）的光强为，偏振（偏振方向平行于入射面）的光强为,光的偏振度定义为．当入射光为红光时，试分别计算和级虹出射光的偏振度． 提示：当光从折射率为的介质射向折射率为的介质，入射角和折射角分别为和，对于偏振，反射光和折射光的电场振幅与入射光的电场振幅之比分别为 对于偏振，反射光和折射光的电场振幅与入射光的电场振幅之比分别为 (6)在某些条件下可观察到紧靠虹的边缘出现额外的彩色条纹，该现象称为“附属虹”，如图d所示．试定性解释附属虹产生的原因．    【答案】(1) (2) (3) (4)红色在内，紫色在外 (5) (6)主虹附近出射光的波前，和入射光不同，它不再是一个平面波而是发生了扭曲，这个额外的光程差导致出射光线发生干涉，从而产生“附属虹”． 【知识点】透镜成像与常用光学仪器、光的波动性 【详解】（1）（1）入射角为，设折射角为，由折射定律             ① 光线每经过一次折射偏转的角度为，每经过一次反射偏转的角度为，所以级出射光的偏向角为             ② 将①式代入得             ③ （2）由②式，取极小值要求             ④ 由①式可得         ⑤ 代入④式得             ⑥ 【或：利用求导公式，直接由③式得 ，            ⑥ 解得             ⑦ 代入③式得         ⑧ （3）由②式，对折射率的变化率             ⑨ 由①式可得             ⑩ 代入⑨式得                 ⑪ 【或：利用求导公式，直接由③式得             ⑪＇ 当时，将⑦试代入得        ⑫ （4）对于级（虹），由⑧式得             ⑬ 角宽度             ⑭ 红色虹与紫色虹对观察者的张角分别为和，所以紫色在内，红色在外            ⑮ 对于级（霓），由⑧式得             ⑯ 角宽度                 ⑰ 红色霓与紫色霓对观察者的张角分别为和，所以红色在内，紫色在外   ⑱ 附：虹和凳的示意图如图    （5）设入射光的偏振和偏振的电场振幅均为，对于级虹，入射角为、折射角为，光经过从空气到水的折射、水中的次反射和从水到空气的折射后，由菲涅尔公式，偏振和偏振的电场振幅分别为             ⑲             ⑳ 对于级（虹），，代入⑱⑲式得                 ㉑ 考虑到光强正比于电场振幅的平方         ㉒ 偏振度             ㉓ 对于级（霓），，代入⑲⑳式得 ，                            ㉔ 考虑到光强正比于电场振幅的平方             ㉕ 偏振度                 ㉖ （6）主虹附近出射光的波前，和入射光不同，它不再是一个平面波而是发生了扭曲，这个额外的光程差导致出射光线发生干涉，从而产生“附属虹”． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$