4.2.1 等差数列的概念课件（2）-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.1 等差数列的概念（2） 高二 —人教版—数学选择性必修第二册—第四章 (1) 等差数列及等差中项的定义； (2) 等差数列的通项公式； (3) 通项公式的应用. 应用 通项公式 函数与方程 的思想 复习回顾 an＋1－an＝d，n∈N* ； an＝a1＋(n－1)d，n∈N*； 归纳法，累加法. 推导方法？ P16例3某公司购置了一台价值为180 万元的设备，随着设备在使用过程 中老化，其价值会逐年减少．经验 表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的取值范围(精确到0.1)． 180 5% 10年 180×5%＝9 (万元) an＝an－1－d 分析：该设备使用n年后的价值构成数列{an}，由题意可知，an＝an－1－d (n≥2). 即： an－an－1＝－d. 所以{an}为公差为－d的等差数列. 10年之内（含10年），该设备的价值不小于9万元；10年后，该设备的价值需小于9万元．利用{an}的通项公式列不等式求解． 解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}．由已知条件，得 an＝an－1－d（n≥2）． 所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列. 因为a1＝180－d， 所以an＝180－d＋(n－1)(－d)＝180－nd. a10＝180－10d≥9， a11＝180－11d＜9. 解得15.6≤d≤17.1 . 根据题意， 有 等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作用.将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法解决数列的问题，再把问题的解回归到实际问题中去，是用数学方法解决实际问题的一般过程. P16例4已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1) 求数列{bn}的通项公式． (2) b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，说明理由． d′＝? b1＝a1＝2; 追问1：如何确定数列{bn}公差d？ a1 a2 b4 b3 b2 ＋d ＋d ＋d ＋d ＋d 4d d b1 b5 解：(1) 设数列{bn}的公差为d， 由题意可知， b1＝a1， b5＝a2，于是 b5－b1＝a2－a1＝8 ＝4d, 所以d＝2. 所以bn＝b1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n， 数列{bn}的通项公式为bn ＝2n. 追问2：如果插入k (k∈N*)个数，那么数列{bn}的 公差d是多少？ 4d d 3个数 a1 a2 b4 b3 b2 ＋d b1 b5 ＋4d k个数 (k＋1)d d a1 a2 bk＋1 … b2 ＋d b1 bk＋2 ＋(k＋1)d 追问2：如果插入k (k∈N*)个数，那么数列{bn}的 公差d是多少？ b1＝a1， bk＋2＝a2，于是 bk＋2 －b1＝a2－a1＝d ＝(k＋1)d， 所以d＝ . 追问2：如果插入k (k∈N*)个数，那么数列{bn}的 公差d是多少？ P16例4已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1) 求数列{bn}的通项公式． (2) b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，说明理由． b29是不是数列{an}的项？ an＝b29是否有整数解？ 解：(2) 由(1)知， bn ＝2n. 于是有 b29＝2×29＝58. 由已知，an＝2＋(n－1)×8＝8n－6. 令8n－6＝58，得n＝8. 所以b29是数列{an}中的第8项. 追问3：还有其他方法判断此结论吗？ a1 a2 b2 b3 b4 a3 b6 b7 b8 a4 b10 b11 b12 b1 b5 b9 b13 数列{an}的各项，依次是数列{bn}的第1，5，9，13，…项. 追问3：还有其他方法判断此结论吗？ 解法2：数列{an}的各项，依次是数列{bn}的第1，5，9，13，…项.这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列{cn}. 则cn＝1＋(n－1)×4＝4n－3. 令4n－3＝29，解得n＝8. 所以b29是数列{an}中的第8项. 解法1：方程思想； 解法2：构造新数列. 例5 等差数列{an}的通项公式为an＝3n－2，分别求a1＋a7，a2＋a6和a3＋a5的值. 分析：根据通项公式分别求出指定项的值，再求和即可. 解：由通项公式知， a1＝3×1－2＝1，a7＝3×7－2＝19； a2＝3×2－2＝4，a6＝3×6－2＝16； a3＝3×3－2＝7，a5＝3×5－2＝13； 所以a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝20. 例5 等差数列{an}的通项公式为an＝3n－2，分别求a1＋a7，a2＋a6和a3＋a5的值. 追问1：三组和相等的项，有什么共同的特点？ 和相等的两项，它们的下标和也相等. a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝20. 20 追问2：你能写出这个结论的一般形式并证明它吗？ P17例5 若数列{an}是等差数列，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t，则有ap＋aq＝as＋at . 21 证明：设数列{an}的公差是d，则 ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d， as＝a1＋(s－1)d，at＝a1＋(t－1)d， 所以ap＋aq＝2 a1＋(p＋q－2)d， as＋at＝2 a1＋(s＋t－2)d. 因为p＋q＝s＋t，所以 ap＋aq＝as＋at . 22 追问2：你能写出这个结论的一般形式并证明它吗？ 若数列{an}是等差数列，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t，则有ap＋aq＝as＋at . 等差数列中，下标和相等的两项的和相等. 23 追问3：等差数列{an}中，能否有a2＋a4＝a6？ 不一定！ 24 证明：设数列{an}的公差是d，则 ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d， as＝a1＋(s－1)d，at＝a1＋(t－1)d， 所以ap＋aq＝2 a1＋(p＋q－2)d， as ＋at ＝2 a1＋(s＋t－2)d. 因为p＋q＝s＋t，所以 ap＋aq＝as＋at . 25 追问3：等差数列{an}中，能否有a2＋a4＝a6？ 2a4＝a2＋a6. ✔ X 26 追问4：能否用函数的观点，结合函数的图像，来解释此性质呢？ 数形结合 ap＋aq＝as＋at 27 课堂练习 完成教材P17练习：1,2,3,4,5 1 等差数列通项公式的应用及性质 (1) 等差数列通项公式的应用； (2) 等差数列下标和相等的两(n)项和相等； (3) 等差数列在实际问题中的应用. 2 研究方法 小结：回顾本节课的探究过程，你学到了什么？ 函数与方程思想；数与形的结合. 29 课后作业 完成教材P24习题4.2：第2，10，11题. 小本（四） 30 课后作业 1.已知等差数列{an}中，a3＝5，a8＝20，求a25. 2.等差数列{an}中，an＝m，am＝n，且m≠n，求an＋m. 课后作业 3. 已知数列{an}，{bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2，数列{cn}满足cn＝an ＋2bn． (1) 数列{cn}是否是等差数列?若是，证明你的结论；若不是，请说明理由． (2) 若{an}，{bn}的公差都等于2，a1 ＝b1＝1，求数列{cn}的通项公式． $$