杨辉三角的性质与应用 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

引 入 如图，是东明的一部分街道图，从东明湖公园到万福公园的最短路径有多少种？ 请根据以下线索说出一个中文数学名词 这是一个在中国和欧洲都比较早发现的数学规律 它最早由我国宋代数学家提出，英国物理学家牛顿 也曾对它进行过研究 该规律与二项式系数有关，也与排列组合有关 该规律还与三角形有关 引 入 杨辉 南宋 1261年 ——《详解九章算法》 杨辉三角的性质与应用 李彬 第六章 计数原理 2025.05 3 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 1 第1行 第2行 第3行 第4行 第0行 第5行 第6行 第n行 探究新知 4 杨辉三角中,第n行第r+1个数为 第 0行 探究新知 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 1 第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第6行 性质1.对称性 性质2.递推性 探究新知 6 横向求和 赋值代入 令(a+b)n的展开式中a=1且b=1即可. 性质3 探究新知 横看成岭侧成峰， 远近高低各不同. 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 探究新知 斜向求和 特殊到一般 探究新知 斜向求和 并项求和 性质4 探究新知 第6行 1 6 15 20 15 6 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 第3行 1 3 3 1 1 2 5 第7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第1行 1 1 第0行 1 第2行 1 2 1 1 3 8 13 21 34 第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 斜向求和 斐波纳契数列 探究新知 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946，… 性质5 探究新知 探究新知 解析:从顶层开始往下, 每层的球数为 利用杨辉三角, 容易得到, 。所以十二层的三角垛, 球的总数 例1:杨辉《详解九章算法》有一个这样的问题：三角垛，下广，一面十二个，上尖，问计几何.(三角垛最下面一层每边有12个小球，向上逐层减少1个，最顶层一个小球。问共有多少个小球？) 例题分析 14 解析: 练习: 假设你是一名超市管理员，为美观及节省空间将橙子摆放成三角垛状，最下层边上有8个橙子，需要准备多少橙子？ 例题分析 15 例题分析 例2 如图，是东明的一部分街道图，从东明湖公园到万福公园的最短路径有多少种？ A东明湖公园 万福公园B =70 例题分析 例2 如图，是东明的一部分街道图，从东明湖公园到万福公园的最短路径有多少种？ A东明湖公园 万福公园B 1 1 1 1 2 1 6 20 1 5 3 4 15 1 3 35 10 70 5 1 1 4 10 35 15 例题分析 1 1 1 1 2 1 6 20 1 5 3 4 15 1 3 35 10 70 5 1 1 4 10 35 15 例2 如图，是东明的一部分街道图，从东明湖公园到万福公园的最短路径有多少种？ 立体交通网格的路线问题 形成了三维空间中的杨辉三角.由Q到P的不同走法有很多算法，其中 再将其一般化，得组合数性质 拓展探究 课堂小结 一、知识内容： 二、核心素养： 1.杨辉三角的性质 2.杨辉三角的应用 逻辑推理、 数学抽象 LOGO 20 课后作业 请课下查阅资料，从以下几个方向任选其一继续研究、发掘杨辉三角的规律，并完成研究报告（课本42页）. 弹球游戏与高尔顿板、谢尔宾斯基三角形、开方算法等. LOGO 21 谢 谢 观 看！ Lavf57.62.100 Lavf57.62.100 Lavf57.62.100 Lavf57.62.100 $$