专题01 一次函数（考点清单，5考点梳理+15题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版）

专题01 一次函数（考点清单，5考点梳理+15题型解读） 清单01 一次函数的概念 清单02 一次函数的图象 清单03 一次函数（y=kx+b（k≠0）） ①当时，函数值y随自变量x的值增大而增大； ②当时，函数值y随自变量x的值增大而减小； 清单04 k、b对直线y=kx+b位置的影响 经过第一、二、三象限 经过第一、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、二、四象限 经过第二、四象限 经过第二、三、四象限 清单05 一次函数的应用 （1）根据实际问题建立一次函数解析的方法 ①找等量关系；②把已知的条件代入，变化的两个量用变量x、y来表示；③求定义域：既要根据解析式又要根据实际意义求定义域. （2）利用一次函数解决决策问题 ①先根据题意建立函数解析式；②再根据解析式画函数的图像；③根据图像作出决策. 【考点题型一】正比例函数的定义（） 【例1】（20-21八年级上·上海·期末）在下列式子中，表示是的正比例函数的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-1】（22-23八年级上·上海青浦·期末）下列说法正确的是（    ） A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系 B．圆的周长与直径成正比例关系 C．周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系 D．车辆行驶的速度一定时，行驶的路程与时间成反比例关系 【变式1-2】（24-25八年级上·上海宝山·期末）已知，与x成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求y与x的函数关系式． 【变式1-3】（23-24八年级上·上海宝山·期末）已知，并且与成正比例，与x成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求时的函数值． 【考点题型二】识别一次函数（） 【例2】（23-24八年级下·上海金山·期末）下列函数是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24八年级下·上海杨浦·期末）下列函数中，一次函数的是（    ） A． B． C． D．（k为常数） 【变式2-2】（22-23八年级上·上海青浦·期末）下列说法正确的是（    ） A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系； B．车辆行驶的速度一定时，行驶的路程与时间成反比例关系； C．周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系； D．圆的周长与直径成正比例关系． 【考点题型三】根据一次函数解析式判断其经过的象限（） 【例3】（22-23八年级下·上海宝山·期末）一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-1】（21-22八年级上·上海·期末）已知反比例函数（是常数，）图像所在的每个象限内随的增大而增大，那么它和正比例函数（是常数，）的大致图像可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（20-21八年级上·上海长宁·期末）直线经过第 象限． 【变式3-3】（20-21八年级下·上海金山·期末）在直角坐标系中，一次函数y＝x﹣1的图像不经过第 象限． 【考点题型四】一次函数图象与坐标轴的交点问题（） 【例4】（23-24八年级下·上海徐汇·期末）直线在y轴上的截距是（    ） A． B． C．1 D．2 【变式4-1】（23-24八年级上·上海崇明·期末）一次函数在y轴上的截距 ，它与y轴的交点坐标是 ． 【变式4-2】（23-24八年级下·上海虹口·期末）已知一次函数的图象与轴的交点在负半轴上，那么的取值范围是 ． 【变式4-3】（23-24八年级上·上海·期末）一次函数的图像在y轴上的截距是1，且y 随着x的增大而减小，则 ． 【考点题型五】一次函数图象平移问题（） 【例5】（20-21七年级下·上海浦东新·期末）在平面直角坐标系中，直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．无法判断 【变式5-1】（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如果把直线沿y轴向上平移2个单位，所得直线的解析式是 ． 【变式5-2】（22-23八年级上·上海青浦·期末）直线与直线平行，则 【变式5-3】（20-21八年级下·上海长宁·期末）直线向上平移 个单位能与直线重合． 【考点题型六】正比例函数的图象（） 【例6】（24-25八年级上·上海·期末）若正比例函数的图像经过第二、四象限，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25八年级上·上海普陀·期末）定义：如果函数图像上的一个点向左平移个单位，再向上平移个单位后仍在这个函数图像上，我们称这个函数是“可回旋”函数，称为这个函数的“可回旋单位”．如果是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是 ． 【变式6-2】（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，射线、分别表示两个物体A和B所受压力F与受力面积S的函数关系，当受力面积相同时，它们所受的压力分别为、，则 ．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【变式6-3】（21-22八年级上·上海宝山·期末）如图，点、在反比例函数的图像上，点同时在图中的正比例函数图像上． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)求的值及这个正比例函数的解析式． 【考点题型七】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集（） 【例7】（23-24八年级上·上海·期末）如图，一次函数（k，b是常数，）的图象，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）已知一次函数（k、b为常数，且）的图像经过第一、二、四象限，与x轴交于点，那么不等式的解集是 ． 32．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）如图，一次函数的图象经过、．则当时，的取值范围是 ．    【考点题型八】判断一次函数的增减性（） 【例8】（21-22八年级下·上海奉贤·期末）在一次函数中，y随x的增大而减小，那么常数m的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【变式8-1】（23-24八年级下·上海崇明·期末）下列函数中，y随x的增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】（20-21八年级下·上海长宁·期末）一次函数的函数值y随自变量x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【变式8-3】（20-21八年级下·上海青浦·期末）在直线上且位于轴下方的点的横坐标的取值范围是 ． 【考点题型九】根据一次函数增减性求参数（） 【例9】（23-24八年级下·上海虹口·期末）已知一次函数，如果函数值随增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24八年级上·上海崇明·期末）已知函数中，随的增大而减小，那么反比例函数图像在（    ） A．第二、四象限内 B．第一、二象限内 C．第三、四象限内 D．第一、三象限内 【变式9-2】（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如果一次函数的函数值y随着x的值增大而减小，那么m取值范围是 ． 【考点题型十】求一次函数解析式（） 【例10】（22-23八年级下·上海浦东新·期末）已知直线平行于直线，且在y轴上的截距是5，那么这条直线的表达式 ． 【变式10-1】（21-22八年级下·上海·期末）若2y与3x﹣5成正比例，且图象过点（3，1），求y与x的函数解析式． 【变式10-2】（21-22八年级上·上海松江·期末）已知，与x成正比例，与x成反比例，且当时， ；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求y的值． 【变式10-3】（23-24八年级下·上海金山·期末）在平面直角标系中，四边形是矩形，点C、A分别在x轴和y轴正半轴上，，，双曲线与矩形交于M、N两点，直线与x轴负半轴交于点D，．    (1)求直线的表达式； (2)将直线向下平移m个单位，使平移后直线与双曲线的交点在矩形内部，求m的取值范围； (3)设直线l是平移直线所得直线，点P是直线l上的一个动点，当是等边三角形时，求直线l的表达式． 【考点题型十一】正比例函数的性质（） 【例11】（24-25八年级上·上海普陀·期末）已知正比例函数（其中为常数，且），如果的值随的值增大而增大，那么下列的值中，不可能的是（   ） A． B． C．0 D．2 【变式11-1】（24-25八年级上·上海松江·期末）已知正比例函数（是常数，）的图像经过点，那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（21-22八年级上·上海青浦·期末）下列说法不正确的是（ ） A．正比例函数的图像是过原点的一条直线 B．正比例函数，y随着x的增大而增大 C．反比例函数的图像是双曲线，它的两支不与坐标轴相交 D．反比例函数，y随着x的增大而减小 【变式11-3】（23-24八年级上·上海长宁·期末）如果正比例函数的图象经过点，那么随的增大而 ． 【考点题型十二】一次函数与反比例函数图象综合判断（） 【例12】（23-24八年级上·上海浦东新·期末）设，那么函数和函数在同一坐标系中的大致图像可能是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（22-23八年级上·上海宝山·期末）正比例函数与反比例函数的图象和性质的共有的一个特征是（     ） A．函数值y随x的增大而减小 B．图象在第二、四象限都有分布 C．图象与坐标轴都没有交点 D．图象经过点 【变式12-2】（21-22八年级上·上海·期末）正比例函数与反比例函数的一个交点为 ，当正比例函数的图像在反比例函数图像的上方时，则 的取值范围是 【变式12-3】（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，直线的图像与双曲线交于、两点，且点的坐标为，过作轴，垂足为点. (1)求和的值； (2)连接，直接写出点的坐标，并求出的面积； (3)如果在双曲线上有一点，点在第一象限且满足，求点的坐标． 【考点题型十三】一次函数与反比例函数的交点问题（） 【例13】（21-22八年级上·上海·期末）若正比例函数与反比例函数 的图像没有交点，则 取值范围是 【变式13-1】（23-24八年级上·上海静安·期末）一个正比例函数的图像与一个反比例函数图像相交于A，B两点，轴，垂足为C，已知点A的坐标为，求： (1)这个正、反比例函数的解析式． (2)的面积． 【变式13-2】（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，点P是一个反比例函数与正比例函数的图像的交点，垂直于x轴，垂足Q的坐标为． (1)求这个反比例函数的解析式． (2)如果点M在这个反比例函数的图像上，且的面积为8，求点M的坐标． 【变式13-3】（23-24八年级上·上海黄浦·期末）已知点在反比例函数的图象上，正比例函数的图象经过点和点． (1)求正比例函数的解析式； (2)求两点之间的距离； (3)若点在轴上，且，则点的坐标为_______（直接写出答案） 【考点题型十四】行程问题(一次函数的实际应用)（） 【例14】（20-21八年级上·上海金山·期末）小明从家步行到学校，图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程（米）与时间（分钟）的函数关系，根据图像提供的信息，线段表示的函数解析式是 ． 【变式14-1】（21-22八年级上·上海青浦·期末）为了感受青浦水系文化，小淑和小华决定周日在青浦环城水系公园健身．他们同时从A处出发前往B地．小淑一路慢跑；小华快跑，快跑途中被景色吸引拍照驻足了10分钟，后又以同样速度继续快跑．两人跑过的路程y（m）与时间x（min）的关系如图．请结合图象，解答下列问题： (1)环城水系A、B两处间的距离是________米； (2)______ ，______ ； (3)请你求出小淑跑过的路程y（m）关于时间x（min）的函数解析式及定义域． 【变式14-2】（23-24八年级下·上海·期末）小杰、小明两人在一段笔直的滨江步道上同起点、同终点、同方向匀速步行 米，先到终点的人原地休息．已知小杰先出发分钟，在整个步行过程中，小杰、小明两人间的距离（米）与小杰出发的时间（分）之间的关系如图中折线 所示． (1)求线段的表达式，并写出自变量的取值范围； (2)求小明的步行速度； (3)求小明比小杰早几分钟到达终点? 【考点题型十五】其他问题(一次函数的实际应用)（） 【例15】（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如果购买某一种水果所付金额y（元）与购买数量x（千克）之间的函数图象由线段与射线组成（如图所示），那么购买3千克这种水果需要付 元． 【变式15-1】（23-24八年级下·上海静安·期末）某汽车销售店根据过去几个月的销售记录，得到了每月的销售成本y（万元）与销售车辆x（辆）之间的关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式；（不写定义域） (2)如果该店每月的销售收入w（万元）与销售车辆x（辆）之间恰好成正比例关系，且当月销售10辆汽车时，销售收入与销售成本相等． ①求w关于x的函数解析式；（不写定义域） ②如果汽车销售店想要每月的净利润不少于13万元，那么该店每月应至少销售多少辆车？（净利润=销售收入-销售成本） 【变式15-2】（23-24八年级下·上海松江·期末）如图1，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具．某校八年级综合实践小组用甲、乙两个透明的圆柱容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图2）．在甲容器里加满水，此时水面高度为．若由于装置的原因，甲容器内的水无法全部流出，当水面高度刚好是时，停止流水，此时停止计时．上午8:00开始放水后，甲容器的水面高度和流水时间的部分数据如表： 记录时间 8:00 8:10 8:25 8:30 8:40 流水时间 0 10 25 30 40 水面高度 30 28 25 24 22 (1)综合实践小组在平面直角坐标系中描出了以表中各组对应值为坐标的点，并用光滑的曲线（包括直线）把描出的点连接起来（如图3），发现可以用一次函数近似地刻画甲容器的水面高度与流水时间的关系，根据以上信息，求y关于x的函数解析式（不用写定义域）． (2)当时间正好是9:10时，甲容器的水面高度是多少厘米? (3)刚好停止流水时是几时几分? 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一次函数（考点清单，5考点梳理+15题型解读） 清单01 一次函数的概念 清单02 一次函数的图象 清单03 一次函数（y=kx+b（k≠0）） ①当时，函数值y随自变量x的值增大而增大； ②当时，函数值y随自变量x的值增大而减小； 清单04 k、b对直线y=kx+b位置的影响 经过第一、二、三象限 经过第一、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、二、四象限 经过第二、四象限 经过第二、三、四象限 清单05 一次函数的应用 （1）根据实际问题建立一次函数解析的方法 ①找等量关系；②把已知的条件代入，变化的两个量用变量x、y来表示；③求定义域：既要根据解析式又要根据实际意义求定义域. （2）利用一次函数解决决策问题 ①先根据题意建立函数解析式；②再根据解析式画函数的图像；③根据图像作出决策. 【考点题型一】正比例函数的定义（） 【例1】（20-21八年级上·上海·期末）在下列式子中，表示是的正比例函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】形如：的函数， 可得：是的正比例函数，根据定义逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：函数，不是的正比例函数，故错误； 函数，不是一次，不是的正比例函数，故错误； 函数，是的正比例函数，故正确； 函数，不是整式，不是的正比例函数，故错误； 故选： 【点睛】本题考查的是正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解题的关键 【变式1-1】（22-23八年级上·上海青浦·期末）下列说法正确的是（    ） A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系 B．圆的周长与直径成正比例关系 C．周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系 D．车辆行驶的速度一定时，行驶的路程与时间成反比例关系 【答案】B 【分析】分别利用反比例函数、正比例函数关系分别分析得出答案． 【详解】解：A.一个人的体重与他的年龄成正比例关系，该说法错误，故本选项不符合题意； B、圆的周长与直径成正比例关系，该说法正确，故本选项符合题意； C、周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系，该说法错误，故本选项不符合题意； D、车辆行驶的速度一定时，行驶的路程与时间成反比例关系，该说法错误，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】此题主要考查了反比例函数、正比例函数关系，正确得出函数关系是解题关键． 【变式1-2】（24-25八年级上·上海宝山·期末）已知，与x成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求y与x的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了正比例和反比例函数的定义，并且考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握正比例和反比例的定义是解题的关键．根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出自变量和函数的对应值求出待定的系数则可． 【详解】解：设，， 当时，；当时，， ． ． ． 【变式1-3】（23-24八年级上·上海宝山·期末）已知，并且与成正比例，与x成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求时的函数值． 【答案】(1)； (2)3． 【分析】（1）根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出的自变量和函数的对应值求出待定的系数则可； （2）将代入（1）中求值即可． 此题主要考查了待定系数法求函数解析式，设出解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设，， 则， 根据题意，得：， 解得：， ∴； （2）解：当时，． 【考点题型二】识别一次函数（） 【例2】（23-24八年级下·上海金山·期末）下列函数是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（其中是常数）的函数是一次函数；把握两个要点：是整式，是关于自变量的一次式；根据一次函数的定义即可判断． 【详解】解：A、不是整式，故不是一次函数； B、是关于自变量的二次式，故不是一次函数； C、是整式，且是关于自变量的一次式，故是一次函数； D、不是整式，故不是一次函数； 故选：C． 【变式2-1】（23-24八年级下·上海杨浦·期末）下列函数中，一次函数的是（    ） A． B． C． D．（k为常数） 【答案】B 【分析】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．利用一次函数定义进行解答即可． 【详解】解：A、不是一次函数，故此选项不符合题意； B、是一次函数，故此选项符合题意； C、不是一次函数，故此选项不符合题意； D、当时，（k为常数）不是一次函数，故此选项不合题意； 故选：B． 【变式2-2】（22-23八年级上·上海青浦·期末）下列说法正确的是（    ） A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系； B．车辆行驶的速度一定时，行驶的路程与时间成反比例关系； C．周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系； D．圆的周长与直径成正比例关系． 【答案】D 【分析】分别利用反比例函数、正比例函数关系分别分析得出答案． 【详解】解：A、一个人的体重与他的年龄成正比例关系，错误，不符合题意； B、车辆行驶的速度一定时，行驶的路程与时间成正比例关系，不符合题意；； C、周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系,错误，不符合题意； D、圆的周长故与直径成正比例关系,符合题意． 故选：D 【点睛】此题主要考查了反比例函数、正比例函数关系，正确得出函数关系是解题关键 【考点题型三】根据一次函数解析式判断其经过的象限（） 【例3】（22-23八年级下·上海宝山·期末）一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】因为，，根据一次函数的图象与系数的关系判断即可得出结果． 【详解】解：对于一次函数， ， 图象经过一、三象限， ， 一次函数的图象与轴的交点在轴的下方，即函数图象还经过第四象限， 一次函数的图象不经过第二象限， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象，熟练掌握一次函数图象和系数的关系是解答本题的关键． 【变式3-1】（21-22八年级上·上海·期末）已知反比例函数（是常数，）图像所在的每个象限内随的增大而增大，那么它和正比例函数（是常数，）的大致图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数（是常数，）的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，可以得到k的正负，从而可以判断函数y=kx（k是常数，）的图象所在的象限，从而解答本题． 【详解】解：∵反比例函数（是常数，）的图象在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴k<0，图象在二、四象限， ∴函数y=kx（k是常数，）的图象是一条过第二、四象限且经过原点的直线． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的图象、正比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和反比例函数的性质解答． 【变式3-2】（20-21八年级上·上海长宁·期末）直线经过第 象限． 【答案】一、三 【分析】根据k的正负性确定图像的增减性，根据b的正负性确定图像与y轴的交点位置即可． 【详解】解：∵＞0， ∴y随着x的增大而增大， ∴图像经过第一、三象限， ∵b=0， ∴图像过原点， ∴直线经过第一、三象限， 故答案为：一、三． 【点睛】本题考查了一次函数图像的性质，熟练掌握一次函数图像的性质是解决本题的关键． 【变式3-3】（20-21八年级下·上海金山·期末）在直角坐标系中，一次函数y＝x﹣1的图像不经过第 象限． 【答案】二 【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数经过哪几个象限，不经过哪个象限． 【详解】解：一次函数y=x-1，k=＞0，b=-1＜0， ∴该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确一次函数的性质，会用一次函数的性质判断一次函数图象经过哪几个象限． 【考点题型四】一次函数图象与坐标轴的交点问题（） 【例4】（23-24八年级下·上海徐汇·期末）直线在y轴上的截距是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题．解答该题时，需熟练掌握截距的定义：与坐标轴交点的纵坐标或横坐标． 根据在y轴上的截距是“与y轴交点的纵坐标”解答． 【详解】解：当时，， ∴所以直线在轴上的截距是1． 故选：C． 【变式4-1】（23-24八年级上·上海崇明·期末）一次函数在y轴上的截距 ，它与y轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．一次函数图象上的点，一定满足该函数的关系式．一次函数在y轴上的截距是，当时，所求得的y值即为所求的交点的纵坐标． 【详解】解：， ∴一次函数在y轴上的截距； 当时，， ∴它与y轴的交点坐标是； 故答案为：、． 【变式4-2】（23-24八年级下·上海虹口·期末）已知一次函数的图象与轴的交点在负半轴上，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知y轴上点的坐标特点是解答此题的关键．根据一次函数的图象与轴的交点在负半轴上，可得出，求出m的取值范围即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 【变式4-3】（23-24八年级上·上海·期末）一次函数的图像在y轴上的截距是1，且y 随着x的增大而减小，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的截距问题，对于一次函数，其在y轴上的截距是b，据此可得，则． 【详解】解：∵一次函数的图像在y轴上的截距是1， ∴， ∴（不符合题意，舍去）或， 故答案为：． 【考点题型五】一次函数图象平移问题（） 【例5】（20-21七年级下·上海浦东新·期末）在平面直角坐标系中，直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据直线y＝2x+3与y＝2x﹣3中的k都等于2，于是得到结论． 【详解】解：∵直线y＝2x+3与y＝2x﹣3的k值相等， ∴直线y＝2x+3与y＝2x﹣3的位置关系是平行， 故选：B． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，知道两直线的k值相等时两直线平行是解题的关键． 【变式5-1】（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如果把直线沿y轴向上平移2个单位，所得直线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据函数平移的特点：上加下减，即可得到答案． 【详解】直线沿y轴向上平移2个单位所得直线的解析式为． 故答案为：． 【变式5-2】（22-23八年级上·上海青浦·期末）直线与直线平行，则 【答案】 【分析】根据两直线平行，系数k相等，b不相等，即可求解． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数中两条直线平行的性质，解题关键掌握两直线平行，系数k相等，b不相等的性质． 【变式5-3】（20-21八年级下·上海长宁·期末）直线向上平移 个单位能与直线重合． 【答案】5 【分析】根据上加下减法则可得出答案． 【详解】解：∵直线y=-2x-3向上平移5个单位，得到直线y=-2x+2， ∴直线y=-2x-3向上平移5个单位能与直线y=-2x+2重合， 故答案为5． 【点睛】本题考查一次函数的图象变换，规律是上加下减，左加右减 【考点题型六】正比例函数的图象（） 【例6】（24-25八年级上·上海·期末）若正比例函数的图像经过第二、四象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数图像的性质，对于正比例函数，当时，函数图像经过第一、三象限，当时，函数图像经过第二、四象限，据此可得答案． 【详解】解：∵正比例函数的图像经过第二、四象限， ∴， 故选：D． 【变式6-1】（24-25八年级上·上海普陀·期末）定义：如果函数图像上的一个点向左平移个单位，再向上平移个单位后仍在这个函数图像上，我们称这个函数是“可回旋”函数，称为这个函数的“可回旋单位”．如果是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查正比例函数的平移，根据过点，利用点的平移规则，求出经过平移后的点的坐标，代入中，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴经过点， 点向左平移个单位，再向上平移个单位后得到， 由题意，也在直线上， ∴， 解得：； 故答案为：． 【变式6-2】（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，射线、分别表示两个物体A和B所受压力F与受力面积S的函数关系，当受力面积相同时，它们所受的压力分别为、，则 ．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【分析】利用数形结合法解题即可．本题考查了一次函数的应用，利用数形结合法解题是解题的关键. 【详解】 由图像知受力面积相同时，压力， 故答案为：＞． 【变式6-3】（21-22八年级上·上海宝山·期末）如图，点、在反比例函数的图像上，点同时在图中的正比例函数图像上． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)求的值及这个正比例函数的解析式． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）设这个反比例函数的解析式为（），再把代入解析式，计算即可； （2）由点在函数的图像上，可得．设这个正比例函数的解析式为（），把点代入正比例函数，计算从而可得答案． 【详解】（1）解：设这个反比例函数的解析式为（）． ∵点在函数的图像上， ∴，． 故所求的反比例函数的解析式为 （2）∵点在函数的图像上， ∴． 设这个正比例函数的解析式为（） ∵点在正比例函数的图像上， ∴，解得：． 故所求的正比例函数的解析式为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解正比例函数与反比例函数的解析式，掌握“正比例函数与反比例函数图像上点的坐标特点”是解本题的关键 【考点题型七】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集（） 【例7】（23-24八年级上·上海·期末）如图，一次函数（k，b是常数，）的图象，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式的关系，掌握数形结合思想成为解题的关键． 结合函数图象，直接写出直线在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：结合函数图象，当时，， 所以不等式的解集为． 故选：B． 【变式7-1】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）已知一次函数（k、b为常数，且）的图像经过第一、二、四象限，与x轴交于点，那么不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的图象与不等式的关系．的解集即为一次函数的图象x轴上方部分的自变量取值范围，根据图象直接解答． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴的解集即为一次函数的图象x轴上方部分的自变量取值范围， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 32．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）如图，一次函数的图象经过、．则当时，的取值范围是 ．    【答案】 【分析】时求自变量的范围即为函数图象在x轴下方对应的x的取值范围，即可解答． 【详解】解：由函数图象可得：当时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式的关系，数形结合是解题关键． 【考点题型八】判断一次函数的增减性（） 【例8】（21-22八年级下·上海奉贤·期末）在一次函数中，y随x的增大而减小，那么常数m的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】先根据一次函数的增减性得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵在一次函数中，随的增大而减小， ∴，解得． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质．一次函数，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 【变式8-1】（23-24八年级下·上海崇明·期末）下列函数中，y随x的增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题关键．根据一次函数和反比例函数的增减性逐项判定即可得． 【详解】解：A、一次函数中，，所以随的增大而增大，则此项符合题意； B、一次函数中，，所以随的增大而减小，则此项不符合题意； C、反比例函数中，，所以函数图象位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，则此项不符合题意； D、反比例函数中，，所以函数图象位于第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，则此项不符合题意； 故选：A． 【变式8-2】（20-21八年级下·上海长宁·期末）一次函数的函数值y随自变量x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【分析】根据k的值和一次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数y=x+1中，k=1＞0， ∴函数值y随自变量x的增大而增大， 故答案为：增大． 【点睛】本题考查一次函数的性质：一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大，k＜0时，y随x的增大而减小． 【变式8-3】（20-21八年级下·上海青浦·期末）在直线上且位于轴下方的点的横坐标的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出直线y=x-1与x轴的交点坐标，再利用一次函数的性质，即可找出直线y=x-1上且位于x轴下方的所有点的横坐标取值范围． 【详解】解：当y=0时，x-1=0， 解得：x=1， ∴直线y=x-1与x轴交于点（1，0）． 又∵k=1＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴直线y=x-1上且位于x轴下方的所有点的横坐标取值范围是x＜1． 故答案为：x＜1． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征求出直线y=4x-8与x轴的交点坐标是解题的关键 【考点题型九】根据一次函数增减性求参数（） 【例9】（23-24八年级下·上海虹口·期末）已知一次函数，如果函数值随增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系．根据一次函数的增减性列出不等式，通过解该不等式即可求得的取值范围． 【详解】解：由题意得， 解得． 故选：A． 【变式9-1】（23-24八年级上·上海崇明·期末）已知函数中，随的增大而减小，那么反比例函数图像在（    ） A．第二、四象限内 B．第一、二象限内 C．第三、四象限内 D．第一、三象限内 【答案】A 【分析】本题考查一次函数及反比例函数的图像与性质，熟练掌握系数对一次函数及反比例函数图像的影响是解决问题的关键．根据正比例函数图像与性质，由题意可知，从而可得函数的图像在二、四象限． 【详解】解：函数中，随的增大而减小， ， 反比例函数图像在二、四象限， 故选：A． 【变式9-2】（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如果一次函数的函数值y随着x的值增大而减小，那么m取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质可进行求解． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随着x的值增大而减小， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【考点题型十】求一次函数解析式（） 【例10】（22-23八年级下·上海浦东新·期末）已知直线平行于直线，且在y轴上的截距是5，那么这条直线的表达式 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线平行问题，解题的关键是掌握平行直线解析式的k值相等，以及截距有正负．根据平行得出，根据与y轴截距为5得出，即可解答． 【详解】解：∵直线平行于直线， ∴， ∵在y轴上的截距是5， ∴， ∴这条直线的表达式为， 故答案为：． 【变式10-1】（21-22八年级下·上海·期末）若2y与3x﹣5成正比例，且图象过点（3，1），求y与x的函数解析式． 【答案】 【分析】先根据2y与3x-5成正比例，设出函数解析式，再根据已知的一对对应值，求得系数k即可． 【详解】解：设2y＝k（3x﹣5）， 把点（3，1）代入得：2＝k（9﹣5），即k＝， 则y与x函数关系式为2y＝（3x﹣5），即． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，利用正比例函数的定义设出函数关系式，是解题的关键． 【变式10-2】（21-22八年级上·上海松江·期末）已知，与x成正比例，与x成反比例，且当时， ；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正比例函数和反比例函数的定义设，则，再把两组对应值代入得到关于m、n的方程组，然后解方程组求出m、n即可． （2）把代入（1）中求得的解析式即可求得． 【详解】（1）解：（1）设， 则， 根据题意得， 解得． 所以y与x的函数表达式为． （2） 把代入得，． （3） 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键 【变式10-3】（23-24八年级下·上海金山·期末）在平面直角标系中，四边形是矩形，点C、A分别在x轴和y轴正半轴上，，，双曲线与矩形交于M、N两点，直线与x轴负半轴交于点D，．    (1)求直线的表达式； (2)将直线向下平移m个单位，使平移后直线与双曲线的交点在矩形内部，求m的取值范围； (3)设直线l是平移直线所得直线，点P是直线l上的一个动点，当是等边三角形时，求直线l的表达式． 【答案】(1) (2) (3)直线l的表达式为或 【分析】（1）由，得两点的坐标，用待定系数法即可求解； （2）由题意易得M、N两点的坐标，直线向下平移m个单位后的解析式可求出，根据点M、N在直线上可求得向下平移的m值，即可求得m的取值范围； （3）设直线l解析式为，其中n为正数，设点P的坐标为，由勾股定理可分别求得的三边，根据等边三角形的性质建立方程即可求出n的值，从而求得直线l的表达式． 【详解】（1）解：，，， ； ； 设直线解析式为， 把两点坐标分别代入得：， 解得：， 即直线解析式为； （2）解：， ； 由于M、N两点在双曲线上， 当时，；当时，； 即； 直线向下平移m个单位后的解析式为， 点M、N在直线上， ， 解得：， 所以m的取值范围为； （3）解：设直线l解析式为，其中n为正数， 设点P的坐标为， 由勾股定理得：，； 为等边三角形， ， ， 由，整理得：， 把它代入中，整理得：， 解得：， 则， 所以直线l的表达式为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的平移，等腰直角三角形的判定，勾股定理，等边三角形的性质，反比例函数的图象，解一元二次方程等知识，有一定的综合性． 【考点题型十一】正比例函数的性质（） 【例11】（24-25八年级上·上海普陀·期末）已知正比例函数（其中为常数，且），如果的值随的值增大而增大，那么下列的值中，不可能的是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的性质，根据如果的值随的值增大而增大，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵正比例函数（其中为常数，且），的值随的值增大而增大， ∴， ∴， ∴的值不可能是； 故选A． 【变式11-1】（24-25八年级上·上海松江·期末）已知正比例函数（是常数，）的图像经过点，那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，正比例函数图象的性质，利用待定系数法求出函数解析式，进而得到该函数图象上的点的横纵坐标之间的关系，据此可得答案． 【详解】解：∵正比例函数（是常数，）的图像经过点， ∴， ∴， ∴正比例函数解析式为， ∴在正比例函数图象上的点纵坐标为横坐标的两倍， ∴四个选项中只有A选项中的点在正比例函数的图象上， 故选：A． 【变式11-2】（21-22八年级上·上海青浦·期末）下列说法不正确的是（ ） A．正比例函数的图像是过原点的一条直线 B．正比例函数，y随着x的增大而增大 C．反比例函数的图像是双曲线，它的两支不与坐标轴相交 D．反比例函数，y随着x的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数和正比函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和正比函数的图象和性质是解题的关键．根据一次函数和正比函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．正比例函数的图像是过原点的一条直线，正确，不符合题意； B．正比例函数，y随着x的增大而增大，正确，不符合题意； C．反比例函数的图像是双曲线，它的两支不与坐标轴相交，正确，不符合题意； D．反比例函数，在每个象限，y随着x的增大而减小，故原说法不正确，符合题意； 故选D． 【变式11-3】（23-24八年级上·上海长宁·期末）如果正比例函数的图象经过点，那么随的增大而 ． 【答案】减小 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．将点代入函数求出的值，再根据函数的性质求解即可． 【详解】解：函数的图象经过点， ， 解得：， 随着的增大而减小， 故答案为：减小． 【考点题型十二】一次函数与反比例函数图象综合判断（） 【例12】（23-24八年级上·上海浦东新·期末）设，那么函数和函数在同一坐标系中的大致图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据函数解析式确定反比例函数的图象和正比例函数的图象，根据，得到正比例函数的图象经过第二、四象限，反比例函数的图象经过第一、三象限，即可求解，掌握反比例函数的图象和正比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴正比例函数的图象经过第二、四象限，反比例函数的图象经过第一、三象限， 故选：． 【变式12-1】（22-23八年级上·上海宝山·期末）正比例函数与反比例函数的图象和性质的共有的一个特征是（     ） A．函数值y随x的增大而减小 B．图象在第二、四象限都有分布 C．图象与坐标轴都没有交点 D．图象经过点 【答案】B 【分析】利用正比例函数与反比例函数的性质，对每个选项进行判断后得出结论． 【详解】解：A、对于正比例函数，，函数值随的增大而减小， 对于反比例函数，，双曲线在每一象限内函数值随的增大而增大， 故A选项不符合题意； B、对于正比例函数，，直线经过第二、四象限， 对于反比例函数，，双曲线的两个分支在第二、四象限， 故B选项符合题意； C、对于正比例函数，它的图象经过原点， 对于反比例函数，它的图象与坐标轴没有交点， 故C选项不符合题意； D、当， 正比例函数的图象不经过点． 当时，， 反比例函数的图象经过， 故D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，正比例函数图象上的点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征．反比例函数的增减性只指在同一象限内且与正比例函数的图象的性质相反，这是解题的关键． 【变式12-2】（21-22八年级上·上海·期末）正比例函数与反比例函数的一个交点为 ，当正比例函数的图像在反比例函数图像的上方时，则 的取值范围是 【答案】或 【分析】先运用待定系数法先求出正比例函数与反比例函数解析式，再根据反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质列方程求出自变量x的取值范即可． 【详解】解：由正比例函数与反比例函数图象都经过点，即正比例函数为 反比例函数为 当正比例函数图象在反比例函数图象上方时，即＞，解得或． 故答案是或． 【点睛】主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，正确求出它们的解析式成为解答本题的关键． 【变式12-3】（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，直线的图像与双曲线交于、两点，且点的坐标为，过作轴，垂足为点. (1)求和的值； (2)连接，直接写出点的坐标，并求出的面积； (3)如果在双曲线上有一点，点在第一象限且满足，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)，B(−2,−4) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，以及三角形面积的计算． （1）将点代入直线和双曲线，即可得出m，n的值 （2）求出直线解析式和双曲线解析式，然后将其联立解方程组，得点B与C的坐标，再根据三角形的面积公式及坐标的意义求解． （3）设点，根据，求出x的值，即可求出点D的坐标． 【详解】（1）解：把点分别代入和， 解得，． （2）解：，， 直线的解析式为和双曲线的解析式为， ∴解方程组 解得，， 则点A坐标为，点B坐标为， ∵轴， ∴点C坐标为， ∴． （3）解：， 点在双曲线上，设点，， 解得，， 点的坐标为或． 【考点题型十三】一次函数与反比例函数的交点问题（） 【例13】（21-22八年级上·上海·期末）若正比例函数与反比例函数 的图像没有交点，则 取值范围是 【答案】或/k＜-1或k＞2 【分析】由题意根据反比例函数与正比例函数的图象没有交点，可知两个函数图象在不同的象限，以此进行分析计算即可得出答案. 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数 的图像没有交点， ∴当正比例函数图象在一三象限，反比例函数图象在二四象限时没有交点， 或当正比例函数图象在二四象限，反比例函数图象在一三象限时没有交点， ∴或，解得：或. 故答案为：或. 【点睛】本题考查的是反比例函数与正比例函数的交点问题，熟知反比例函数与正比例函数的图象与系数的关系以及解不等式组的解集是解答此题的关键． 【变式13-1】（23-24八年级上·上海静安·期末）一个正比例函数的图像与一个反比例函数图像相交于A，B两点，轴，垂足为C，已知点A的坐标为，求： (1)这个正、反比例函数的解析式． (2)的面积． 【答案】(1)反比例函数解析式为，正比例函数解析式为 (2)2 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）分别设出两函数解析式，再把点A的坐标分别代入两函数解析式中求解即可； （2）联立两函数解析式求出点B的坐标，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为，正比例函数解析式为， 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； 把代入中得：，解得， ∴正比例函数解析式为； （2）解：联立，解得或， ∴， ∵轴， ∴， ∴． 【变式13-2】（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，点P是一个反比例函数与正比例函数的图像的交点，垂直于x轴，垂足Q的坐标为． (1)求这个反比例函数的解析式． (2)如果点M在这个反比例函数的图像上，且的面积为8，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是灵活运用待定系数法解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，所以中考常考题型． （1）由Q的坐标为，推出，利用待定系数法即可解决问题； （2）根据三角形的面积公式求出的长，分两种情形求出点M的坐标即可． 【详解】（1）解：把代入得 ∴ 设反比例函数解析式 ∵P在此图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为． （2）解：∵ ∴，过M作于N． 则 ， ∴， 设 则或， 当时，， 当时， ∴或． 【变式13-3】（23-24八年级上·上海黄浦·期末）已知点在反比例函数的图象上，正比例函数的图象经过点和点． (1)求正比例函数的解析式； (2)求两点之间的距离； (3)若点在轴上，且，则点的坐标为_______（直接写出答案） 【答案】(1)正比例函数的解析式为； (2)、两点之间的距离为； (3)或 【分析】（1）设正比例函数解析式为，把点的坐标代入反比例函数解析式求出的值，从而得到点的坐标，然后代入正比例函数解析式求解即可； （2）把点的坐标代入正比例函数解析式求出，根据两点间的距离公式即可得到结论； （3）设，根据题意得到，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设正比例函数解析式为， 点在反比例函数的图象上， ， 解得， 的坐标为， 正比例函数图象经过点， ， 解得， 正比例函数的解析式为； （2）解：正比例函数图象经过点， ， 点， 、两点之间的距离为； （3）解：设， ， ， ，即， 解得或8， 或， 故答案为：或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求自变量函数的解析式，反比例函数的对称性，两点间的距离，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 【考点题型十四】行程问题(一次函数的实际应用)（） 【例14】（20-21八年级上·上海金山·期末）小明从家步行到学校，图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程（米）与时间（分钟）的函数关系，根据图像提供的信息，线段表示的函数解析式是 ． 【答案】． 【分析】由OA是过原点的一次函数，设设线段表示的函数解析式为：过点A（8，960）代入求出k即可． 【详解】解：设线段表示的函数解析式为：过点A（8，960）， 则， ∴， 线段表示的函数解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正比例函数解析式，掌握待定系数法求正比例函数解析式，关键是找到函数图像上的一点A． 【变式14-1】（21-22八年级上·上海青浦·期末）为了感受青浦水系文化，小淑和小华决定周日在青浦环城水系公园健身．他们同时从A处出发前往B地．小淑一路慢跑；小华快跑，快跑途中被景色吸引拍照驻足了10分钟，后又以同样速度继续快跑．两人跑过的路程y（m）与时间x（min）的关系如图．请结合图象，解答下列问题： (1)环城水系A、B两处间的距离是________米； (2)______ ，______ ； (3)请你求出小淑跑过的路程y（m）关于时间x（min）的函数解析式及定义域． 【答案】(1)4500 (2)30，55 (3)． 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据可以直接写出环城水系A、B两处间的距离； （2）根据题意和函数图象中的数据可以得到、的值； （3）根据函数图象中的数据可以得到小淑跑过的路程y（m）关于时间x（min）的函数解析式以及定义域． 【详解】（1）解：由图象可得， 环城水系A、B两处间的距离是， 故答案为：4500； （2）解：， ， 故答案为：30，55； （3）解：设小淑跑过的路程y（m）关于时间x（min）的函数解析式是， 当时，， 则，得， ， 即小淑跑过的路程y（m）关于时间x（min）的函数解析式是，定义域是， 答：． 【变式14-2】（23-24八年级下·上海·期末）小杰、小明两人在一段笔直的滨江步道上同起点、同终点、同方向匀速步行 米，先到终点的人原地休息．已知小杰先出发分钟，在整个步行过程中，小杰、小明两人间的距离（米）与小杰出发的时间（分）之间的关系如图中折线 所示． (1)求线段的表达式，并写出自变量的取值范围； (2)求小明的步行速度； (3)求小明比小杰早几分钟到达终点? 【答案】(1) (2)小明的步行速度为米/分 (3)小明比小杰早分钟到达终点 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）根据图示，设线段的表达式为：，把，代入得到关于，的二元一次方程组，解之，即可得到答案， （2）根据线段，求出甲的速度，根据图示可知：乙在点处追上甲，根据速度路程时间，计算求值即可， （3）根据图示，求出二者相遇时与出发点的距离，进而求出与终点的距离，结合（2）的结果，分别计算出相遇后，到达终点二者所用的时间，二者的时间差即可所求答案． 【详解】（1）设线段的表达式为： ， 把，代入得： ，解得：， 即线段的表达式为： ， （2）由线段可知：小杰的速度为：(米/分)， 小明的步行速度为：(米/分)， 答：小明的步行速度为米/分， （3）在处小杰、小明相遇时，与出发点的距离为：米)， 与终点的距离为：(米)， 相遇后，到达终点小杰所用的时间为：(分)， 相遇后，到达终点小明所用的时间为：(分)， (分)， 答：小明比小杰早分钟到达终点． 【考点题型十五】其他问题(一次函数的实际应用)（） 【例15】（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如果购买某一种水果所付金额y（元）与购买数量x（千克）之间的函数图象由线段与射线组成（如图所示），那么购买3千克这种水果需要付 元． 【答案】56 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，先求出的函数解析式为，再求出时的函数值，即可解答． 【详解】解：设的函数解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴的函数解析式为， 当时，， ∴购买3千克这种水果需要付56元， 故答案为：56． 【变式15-1】（23-24八年级下·上海静安·期末）某汽车销售店根据过去几个月的销售记录，得到了每月的销售成本y（万元）与销售车辆x（辆）之间的关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式；（不写定义域） (2)如果该店每月的销售收入w（万元）与销售车辆x（辆）之间恰好成正比例关系，且当月销售10辆汽车时，销售收入与销售成本相等． ①求w关于x的函数解析式；（不写定义域） ②如果汽车销售店想要每月的净利润不少于13万元，那么该店每月应至少销售多少辆车？（净利润=销售收入-销售成本） 【答案】(1) (2)①；②每月应至少销售15辆车． 【分析】本题考查了一次函数解析式和正比例函数的应用．首先要学会根据用代入系数法求出解析式；再结合正比例函数解决问题． （1）用待定系数法求y关于x的函数解析式； （2）①用待定系数法求w关于x的函数解析式；②由每月的净利润不少于13万元，可得出，再转化为关于x的不等式求解即可． 【详解】（1）由图可知：与成一次函数关系， 设， 时，，时，， ， 解得：， ； （2）①设每月的销售收入w（万元）与销售车辆x（辆）之间函数关系式为， 当月销售10辆汽车时，销售收入与销售成本相等，此时销售成本为（万元）． ，解得：， w关于x的函数解析式为：； ②由题意得：， 解得：， x为整数， x的最小值为15， 每月应至少销售15辆车． 【变式15-2】（23-24八年级下·上海松江·期末）如图1，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具．某校八年级综合实践小组用甲、乙两个透明的圆柱容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图2）．在甲容器里加满水，此时水面高度为．若由于装置的原因，甲容器内的水无法全部流出，当水面高度刚好是时，停止流水，此时停止计时．上午8:00开始放水后，甲容器的水面高度和流水时间的部分数据如表： 记录时间 8:00 8:10 8:25 8:30 8:40 流水时间 0 10 25 30 40 水面高度 30 28 25 24 22 (1)综合实践小组在平面直角坐标系中描出了以表中各组对应值为坐标的点，并用光滑的曲线（包括直线）把描出的点连接起来（如图3），发现可以用一次函数近似地刻画甲容器的水面高度与流水时间的关系，根据以上信息，求y关于x的函数解析式（不用写定义域）． (2)当时间正好是9:10时，甲容器的水面高度是多少厘米? (3)刚好停止流水时是几时几分? 【答案】(1) (2)甲容器中水面的高度是16厘米 (3)刚好停止流水时是10:25 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法； （1）设函数解析式是，把、代入解析式，即可求解； （2）从8:00到9:10共70分钟，，代入解析式，即可求解； （3）当时，求出时间，即可求解； 掌握待定系数法，理解、表示的实际意义是解题的关键. 【详解】（1）解：设函数解析式是， 把、代入， 得， ， ； （2）解：从8:00到9:10共70分钟， ， ， 答：甲容器中水面的高度是16厘米． （3）解：当时， ， 解得：， 答：刚好停止流水时是10:25． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$