浙江省职教高考研究联合体2024—2025学年高三第五次联合考试数学试卷

第1 页(共6页) 2024—2025学年浙江省职教高考研究联合体第五次联合考试 数学试卷参考答案 一、单项选择题(本大题共20小题,1—10小题每小题2分,11—20小题每小题3分,共50分) 1.B 【解析】∵A={x|x<2且x∈N}={0,1},B={-1,0,1,2},∴A∩B={0,1}. 2.A 【解析】由题意得2-x>0,解得x<2. 3.A 【解析】∵ 19π 3 = π 3+6π ,∴ 19π 3 与 π 3 的终边相同,都落在第一象限,∴角α 是第一象 限角. 4.D 【解析】由2a>2b 得a>b,对于选项A:当c=0时,ac2>bc2 不成立;a=1,b=-2满足 a>b,但选项B、C都不成立;对于选项D:a-1>b-2移项得a>b-1一定成立,选项D正 确.故选D. 5.B 【解析】点P 的坐标为 (2,12 ),根据任意角的三角函数的定义得tanα= 1 4. 6.C 【解析】解法1(递推法):a1=1,a2=2a1-3=-1,a3=2a2-3=-5;解法2(构造法): 通过证明数列{an-3}是等比数列,并求出an=3-2n,则a3=-5. 7.C 【解析】∵直线x-1=0与x 轴垂直,∴直线x-1=0的倾斜角为90°. 8.A 【解析】顺时针旋转为负角,-30°+(-30°)=-60°.故选A. 9.D 【解析】解法1(构造辅助线EF,如图所示):找到直线BD1 与AC 所成的角;解法2:如 图所示,连接BD,证明AC 与平面BDD1 垂直,从而得到BD1 与AC 垂直,所成角为90°,选 项D正确. 10.A 【解析】若m=1,则椭圆的焦距为2,充分条件成立;反之,若椭圆的焦距为2,则m=1 或3,必要条件不成立.∴“m=1”是“椭圆 x2 m+ y2 2=1 的焦距为2”的充分不必要条件. 11.B 【解析】∵a∥b,根据向量平行的定义得 m=-4,即b=(-2,-4),∴|b|= (-2)2+(-4)2=25. 12.B 【解析】∵直线AB 恒经过圆心(-1,0),∴弦长|AB|等于圆的直径,即为22,与k 的大小无关.故选B. 13.B 【解析】|1-3x|>2⇔|3x-1|>2⇔3x-1<-2或3x-1>2,解得x<- 1 3 或x>1. 14.A 【解析】点数之和不小于10,即点数之和大于或等于10,符合条件的有:(6,4),(4,6), (5,5),(5,6),(6,5),(6,6)共6个,∴所求的概率为P= 6 36= 1 6. 第2 页(共6页) 15.A 【解析】∵直线l1:x+ay+6=0与直线l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,∴ 1 a-2= a 3 ≠ 6 2a ,解得a=-1.本题中,当a=3时,两直线重合,舍去.故选A. 16.D 【解析】本题属于典型的组合问题,共有C23C24=3×6=18(种). 17.C 【解析】抛物线的标准方程为x2=-8y,根据抛物线的定义得|y0|+ p 2=3 ,得|y0|= 1.又∵y0<0,∴y0=-1,∴x0=±22.故选C. 18.D 【解析】赋值法:(2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,令x=1得a0+a1+a2+a3+ a4+a5=1;令x=-1得a0-a1+a2-a3+a4-a5=243.两式相减得2(a1+a3+a5)= -242,∴a1+a3+a5=-121. 19.C 【解析】由题意,两个圆的圆心坐标分别为(0,0)和(3,4),且这两个圆的位置关系为相 离,两个圆心之间的距离为5,∴|PQ|max=5+r1+r2=5+1+3=9. 20.D 【解析】如图所示,不妨设点P 在第一象限,经过点Q 作x 轴的垂线,垂足为点A.设 P(c,yP),Q(xQ,yQ).∵ c2 a2+ y2P b2 =1 ,∴yP= b2 a. 根据三角形相似可知 |PF1| |QF1|= |F1F2| |AF1| ,即 2 1= 2c -c-xQ ,解得xQ=-2c.同理可求得yQ=- b2 2a.∵ 点Q 在椭圆C 上,∴ 4c2 a2+ b2 4a2=1 ,整 理得 (ca ) 2 = 1 5 ,即椭圆C 的离心率e= 5 5. 二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分) 21.2 【解析】由题意得a+1+7=2(a+3),解得a=2. 22.18 【解析】∵x>0,y>0,∴x+2y=(x+2y)·1=(x+2y)(8x+ 1 y )= x y + 16y x +10 ≥2 x y ·16y x +10=18 ,∴当且仅当 x y = 16y x ,即x=12,y=3时,取得最小值18. 23.2 【解析】根据分段函数图像得f(1)=2,f(3)=1,∴f( 1f(3))=f(1)=2. 24.-1 【解析】由函数图像得sinα<0,∴ 1-cos2α sinα = |sinα| sinα = -sinα sinα =-1. 25.3 【解析】原式=lg(4×25)-3+4=lg100-3+4=2-3+4=3. 26.37π 【解析】如图所示,由πr2=9π(r>0)得r=3;根据圆锥的侧面展开图为扇形得 2πR· 3 4=2πr=6π ,得R=4,∴圆锥的高h= R2-r2= 7,圆锥的体积V= 1 3πr 2h= 1 3×π ×32× 7=37π. 第3 页(共6页) 27.(0,1] 【解析】如图所示,作出分段函数f(x)= 2x,x≤0, x2+2x-1,x>0{ 的图像,由数形结合可 得0<m≤1. 三、解答题(本大题共7小题,共72分)(以下评分标准仅供参考,请酌情给分) 28.(本题9分) 解:(1)设圆C 的标准方程为x2+y2=r2(r>0), 将点(3,1)代入得r2=(3)2+12=4, 2分…………………………………………………… ∴圆C 的标准方程为x2+y2=4. 2分…………………………………………………………… (2)当直线l的斜率不存在时,此时直线x=2与x2+y2=4相切,不符合题意; 1分………… 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-2),即kx-y-2k=0. 1分…………… 由题意,圆心坐标为(0,0),半径r=2,圆心(0,0)到直线l的距离d= |-2k| k2+1 . 又∵弦长为2,∴2 r2-d2=2,∴r2-d2=1,∴d2=3,即d= 3. ∴d= |-2k| k2+1 = 3,解得k=± 3, 2分………………………………………………………… ∴直线l的方程为 3x-y-23=0或 3x+y-23=0. 1分……………………………… 29.(本题9分) 解:(1)由题意得 f(x)=2cosx(sinx- 3cosx) =2sinxcosx-23cos2x =sin2x-23× 1+cos2x 2 =sin2x- 3(1+cos2x) =sin2x- 3cos2x- 3 =2sin(2x-π3 )- 3, 2分………………………………………………………………… ∴f(π3 )=2sin π 3- 3=0 , 1分………………………………………………………………… ∴函数f(x)的最小正周期T=π. 1分…………………………………………………………… 第4 页(共6页) (2)由f(x)=2sin(2x-π3 )- 3得f(x)max=2×1- 3=2- 3, ∴函数f(x)的最大值为2- 3. 2分…………………………………………………………… 令- π 2+2kπ≤2x- π 3≤ π 2+2kπ ,k∈Z, 1分…………………………………………………… 则- π 12+kπ≤x≤ 5π 12+kπ ,k∈Z, 1分…………………………………………………………… ∴函数f(x)的单调递增区间为 [-π12+kπ, 5π 12+kπ],k∈Z. 1分……………………………… 30.(本题10分) 解:(1)由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=4c2+c2-4c2cosB, 2分……………………… 即28=5c2-4c2× (-12 )=7c 2,解得c=2(负值舍去), 1分………………………………… ∴a=2c=4. 1分…………………………………………………………………………………… (2)由正弦定理得 b sinB= a sinA= c sinC= 23 3 2 =4, 1分…………………………………………… 即a=4sinA,c=4sinC,∴ac=16sinAsinC=4, 2分…………………………………………… ∴S△ABC= 1 2acsinB= 1 2×4× 3 2= 3. 1 分……………………………………………………… 由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB, 代入数据得12=(a+c)2-8-8× (-12 ),∴a+c=4(负值舍去), 1分……………………… ∴△ABC 的周长为a+c+b=4+23. 1分…………………………………………………… 31.(本题10分) 解:(1)如图所示,取棱A1C1 的中点O,连接MO,B1O. 由正三棱柱ABC A1B1C1 得AA1⊥平面A1B1C1, ∴AA1⊥B1O,A1C1⊥B1O. 又∵AA1∩A1C1=A1, ∴B1O⊥平面AA1C1C. 1分…………………………………………………… 又∵MO 为B1M 在平面AA1C1C 上的射影, 1分…………………………… ∴∠B1MO 为直线B1M 与平面AA1C1C 所成角. 1分………………………………………… ∵在Rt△B1OM 中,B1O= 3,MO=2, ∴tan∠B1MO= B1O MO= 3 2 , 1分………………………………………………………………… ∴直线B1M 与平面AA1C1C 所成角的正切值为 3 2. 1 分……………………………………… (2)∵S△A1CM= 1 2×1×2=1. 2 分………………………………………………………………… ∴VM A1B1C=VB1 A1CM= 1 3S△A1CM ·B1O= 1 3×1× 3= 3 3. 3 分……………………………… 第5 页(共6页) 32.(本题10分) 解:(1)由题意,参加培训的员工人数超过30, ∵每超过1人,人均培训费减少10元, ∴此时人均培训费为850-(50-30)×10=650(元). 1分……………………………………… 公司需支付的培训费为650×50=32500(元). 1分……………………………………………… (2)当1≤x≤30且x∈N时,y=850x; 1分…………………………………………………… 当30<x≤60且x∈N时,y=[850-10(x-30)]x=-10x2+1150x. 1分………………… ∴y 关于x 的函数解析式为y= 850x,1≤x≤30且x∈N, -10x2+1150x,30<x≤60且x∈N.{ 2分………………… (3)当1≤x≤30且x∈N时,w=850x-12000; 1分…………………………………………… 此时这个函数单调递增,当x=30时,这个函数取得最大值,wmax=13500. 1分……………… 当30<x≤60且x∈N时,w=-10x2+1150x-12000,此时函数图像为抛物线且开口向下, ∵x=- 1150 2×(-10)=57.5∉N , ∴当x=57或58,wmax=21060>13500. 1分…………………………………………………… ∴当x=57或58时,培训机构获得的最大利润为21060元. 1分……………………………… 33.(本题12分) 解:(1)由an-an-1+anan-1=0得an= an-1 1+an-1 , a2= a1 1+a1= 1 1+1= 1 2 , 1分……………………………………………………………………… a3= a2 1+a2= 1 2 1+ 1 2 = 1 3 , 1分……………………………………………………………………… a4= a3 1+a3= 1 3 1+ 1 3 = 1 4. 1 分……………………………………………………………………… (2)由题意得an-an-1+anan-1=0,两边同时除以anan-1得 1 an-1- 1 an+1=0 (n≥2且n∈ N*),即 1 an- 1 an-1=1 ,1 a1=1 , 2分………………………………………………………………… ∴数列 1an{ }是首项为1,公差为1的等差数列, 1分…………………………………………… ∴ 1 an=1+ (n-1)=n,即an= 1 n. 2 分…………………………………………………………… (3)bn= an n+1= 1 n(n+1)= 1 n- 1 n+1 , 2分……………………………………………………… 设数列{bn}的前n 项和为Tn,则T100=b1+b2+b3+…+b100=1- 1 2+ 1 2- 1 3+ …+ 1 100- 1 101=1- 1 101= 100 101. 2 分…………………………………………………………………………… 第6 页(共6页) 34.(本题12分) 解:(1)由题意得|PM|-|PN|=23=2a<|MN|=4=2c, 1分…………………………… ∴a= 3,c=2, ∴b2=c2-a2=1, 1分…………………………………………………………………………… ∴双曲线C 的标准方程为 y2 3-x 2=1. 1分……………………………………………………… (2)①由题意得A(6,0), 根据双曲线的定义得|PM|+|PA|=2a+|PN|+|PA|≥2a+|AN|, 2分……………… ∴当且仅当 N,P,A 三点共线(点P 在点A,N 之间)时取最小值,最小值为2a+|AN|= 23+2 10. 1分…………………………………………………………………………………… ②∵直线x-y-6=0与x 轴、y 轴分别相交于A,B 两点, ∴A(6,0),B(0,-6),即|AB|=62. 1分……………………………………………………… 设与直线x-y-6=0平行的直线l的方程为x-y+m=0,点P 位于双曲线C 的上支,通过 分析可知:当直线l与双曲线C 的上支相切时,直线l与双曲线C 的公共点为P,则△PAB 的 面积最小. 联立 y2 3-x 2=1, x-y+m=0, ì î í ïï ï 消去y 得2x2-2mx+3-m2=0, 1分…………………………………… ∴Δ=4m2-8(3-m2)=12m2-24=0,解得m=± 2. ∵当m=- 2时,直线l与双曲线C 的下支相切,故舍去, ∴当m= 2时,直线l与双曲线C 的上支相切,直线l的方程为x-y+ 2=0; 2分……… 根据两平行线之间的距离公式得d= |2-(-6)| 1+1 =1+32. 1分…………………………… ∴(S△PAB)min= 1 2× (1+32)×62=18+32, 即△PAB 的面积的最小值为18+32. 1分……………………………………………………