6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高二—人教A版—数学—选择性必修第三册—第六章 6.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理（一） ——STR课堂教学模式 计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法. 汽车号牌的序号一般是从26个英文字母、10个阿拉伯数字中选出若干个，并按适当顺序排列而成.随着人们生活水平的提高，家庭汽车拥有量迅速增长，汽车号牌序号需要扩容.那么交通管理部门应如何确定序号的组成方法，才能满足民众的需求呢？这就需要数出某种汽车号牌序号的组成方案下有可能的序号数. 这个计数问题中的数量很大，列举的方法效率不高. 能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？ 下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法. 环节一、问题引入 环节二、学习目标 1.准确理解分类计数原理和分步计数原理，并能说出它们的联系与区别； 2.能准确地选择两个原理解决一些简单的实际问题； 3.通过历经两个计数原理的发现和探索过程，领悟运用两个原理所包含的划归与转化、分类与整合、特殊到一般的思想方法以及以退为进的思维策略． 环节三、自学内容：P2-5（10分钟） 【学习任务一】 通过P2“思考”，归纳概括出分类加法计数原理。 通过理解P3“例1”，小组共同完成P3“探究”。 【学习任务二】 通过P3“思考”，归纳概括出分步乘法计数原理。 通过理解P4“例2”，小组共同完成P5“探究”。 【学习任务三】 根据例3实际问题的特征，正确地区分“分类”或分步”，并运用两个计数原理进行正确地计数。 思考：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 环节四、小组展示（1）（5分钟） 探究：问题的特征？ 1.完成的事情？ 2.最重要的特征？ 每类方案中的方法互不相同且都能独立完成这件事情 3.完成这件事共有多少种不同的方法？ 给一个座位编号 “或”(分两类） ①确定分类标准 ②计算每类方法数 ③每类方法数相加 26种 26+10=36 计数的基本环节： 第一类：用一个英文字母编号 第二类：用一个阿拉伯数字编号 10种 （一）分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类 方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法. 如果完成一件事有3类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法， 在第2类方案中有m2种不同的方法,在第3类办法中有m3种不同的方法， 那么完成这件事共有 种不同的方法. N=m1+m2+m3 分类加法计数原理推广： 如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法， 在第2类方案中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法. N=m1+m2+…+mn 各类方案中的方法互不相同且都能独立完成这件事情. 分类加法计数原理使用前提： 例1　在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所 大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ 表6.1—1 A大学 B大学 生物学 化学 医学 物理学 工程学 数学 会计学 信息技术学 法学 解：根据分类加法计数原理， 共有N=5+4=9种. 分析：要完成的事情是“选一个专业”. 方案1：从A大学选 方案2：从B大学选 5种 4种 思考：用前6个大写英文字母和1—9这9个阿拉伯数字，以A1，A2， …，A9，B1，B2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 1.完成的事情？ 2.最重要的特征？ 各步中每种方法不能独立完成这件事 3.完成这件事情共有几种不同的方法？ 给一个座位编号 “和”（分两步） 6种 6×9=54 探究：问题的特征？ 字母 A 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 号码 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 第1步：先选一个英文字母 第2步：再选一个阿拉伯数字 9种 环节五、小组展示（2）（5分钟） 思考：用前6个大写英文字母和1—9这9个阿拉伯数字，以A1，A2， …，A9，B1，B2，…的方式给教师里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 1.完成的事情？ 2.最重要的特征？ 各步中每种方法不能独立完成这件事 3.完成这件事情共有几种不同的方法？ 给座位编号 “和”（分两步） 6种 6×9=54 探究：问题的特征？ 第1步：先选一个英文字母 第2类：再选一个阿拉伯数字 9种 计数的基本环节： ①确定分步标准 ②计算每步方法数 ③每步方法数相乘 （二）分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同 的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法. 如果完成一件事需要3个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种 不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法. N=m1×m2×m3 如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……,做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法. 分步乘法计数原理推广： 分步乘法计数原理使用前提： 各步中每种方法不能独立完成这件事 例2　某班有男生30名、女生24名，现要从中选出男生和女生 各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ 分析：要完成的事情是“选男生和女生各1名”，可以分两个步骤： 第1步，选男生； 第2步，选女生. 解：根据分步乘法计数原理，共有N=30×24=720种选法. 第1步 第2步 30 24 例3　书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书. （1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？ （2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同的取法？ 分析：1、完成什么事情？ 2、分类还是分步？ 分三类 分三步 解：（1）根据分类加法计数原理，不同取法种数为N=4+3+2=9. （2）根据分步乘法计数原理，不同取法种数为N=4×3×2=24. 小结：解答计数问题的一般过程 1.明确完成一件什么事情； 2.根据如何完成这件事，确定是方法的分类还是过程的分步； 3.分类用加法原理（不重不漏）， 分步用乘法原理（步骤完整）. 环节六、小组展示（3）（5分钟） 课堂练习 课本P5：1-4 环节七、尝试运用 （5分钟） 环节八、组内核对 （2分钟） 课后作业 课本P11习题5.1：1-4 、 、 高二—人教A版—数学—选择性必修第三册—第六章 6.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理（二） ——STR课堂教学模式 环节一、复习回顾 （一）分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类 方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法. 如果完成一件事有3类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法， 在第2类方案中有m2种不同的方法,在第3类办法中有m3种不同的方法， 那么完成这件事共有 种不同的方法. N=m1+m2+m3 分类加法计数原理推广： 如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法， 在第2类方案中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法. N=m1+m2+…+mn 各类方案中的方法互不相同且都能独立完成这件事情. 分类加法计数原理使用前提： （二）分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同 的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法. 如果完成一件事需要3个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种 不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法. N=m1×m2×m3 如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……,做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法. 分步乘法计数原理推广： 分步乘法计数原理使用前提： 各步中每种方法不能独立完成这件事 环节二、学习目标 1.准确理解分类计数原理和分步计数原理，并能说出它们的联系与区别； 2.能准确地选择两个原理解决一些简单的实际问题； 3.通过历经两个计数原理的发现和探索过程，领悟运用两个原理所包含的划归与转化、分类与整合、特殊到一般的思想方法以及以退为进的思维策略． 环节三、自学内容：P6-7（10分钟） 【学习任务一】 通过P6“例4”，归纳概括出分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别。 【学习任务二】 通过P6“例5”，归纳概括出分步乘法计数原理。 通过理解P4“例2”，小组共同完成P5“探究”。 【学习任务三】 根据P7“例6”实际问题的特征，正确地区分“分类”或分步”，并运用两个计数原理解决简单的实际问题。 例4 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法? 根据分步乘法计数原理， 共有N=3×2=6种选法. 分析：要完成的一件事是“从3幅画中选出2幅，并分别挂在左、右两边 墙上”，可以分步完成. 解：（分两步） 第1步，选左边的画，有3种； 第2步，选右边的画，有2种； 环节四、小组展示（1）（5分钟） （三）原理剖析 两原理的异同点 分类加法原理 分步乘法原理 相同点 不同点 注意点 用来计算“完成一件事”的不同方法种数 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘 各类中每种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事（各步中每种方法不能独立完成这件事） 类类独立，不重不漏 步步依存，步骤完整 例5 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1~9，最多可以给多少个程序命名? 解：根据分类加法计数原理， 首字符不同选法的种数为7+6=13. 分析：要完成的一件事是“给一个程序模块命名”，可以分3步完成：第1步，选首字符，第2步，选中间字符，第3步，选最后一个字符.而首字符又可以分为两类. 由分步乘法计数原理， 不同名称的个数是13×9×9=1053，即最多可以给1053个程序模块命名. 环节五、小组展示（2）（5分钟） 例6 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个进制位构成. (1)一个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符? (2)计算机汉字国标码(GB码)包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示? 环节六、小组展示（3）（5分钟） （1）根据分步乘法计数原理， 1个字节最多可以表示不同字符的个数为2×2×2×2×2×2×2×2=256. （2）根据分步乘法计数原理， 2个字节最多可以表示不同字符的个数为256×256=65536. 分析：要完成的一件事是“确定1个字节各二进制位上的数字”. 课堂练习 课本P7：1-5 环节七、尝试运用 （5分钟） 环节八、组内核对 （2分钟） 课后作业 课本P11习题5.1：5-8 高二—人教A版—数学—选择性必修第三册—第六章 6.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理（三） ——STR课堂教学模式 环节一、复习回顾 （一）分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类 方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法. 如果完成一件事有3类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法， 在第2类方案中有m2种不同的方法,在第3类办法中有m3种不同的方法， 那么完成这件事共有 种不同的方法. N=m1+m2+m3 分类加法计数原理推广： 如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法， 在第2类方案中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法. N=m1+m2+…+mn 各类方案中的方法互不相同且都能独立完成这件事情. 分类加法计数原理使用前提： （二）分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同 的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法. 如果完成一件事需要3个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种 不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法. N=m1×m2×m3 如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……,做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法. 分步乘法计数原理推广： 分步乘法计数原理使用前提： 各步中每种方法不能独立完成这件事 环节二、学习目标 1.准确理解分类计数原理和分步计数原理，并能说出它们的联系与区别； 2.能准确地选择两个原理解决一些简单的实际问题； 3.通过历经两个计数原理的发现和探索过程，领悟运用两个原理所包含的划归与转化、分类与整合、特殊到一般的思想方法以及以退为进的思维策略． 环节三、自学内容：P6-7（10分钟） 【学习任务一】 通过P8“例7”，体会程序员如何实现减少测试次数。 【学习任务二】 通过P9“例8”，归纳概括采用计数原理解决简单的实际问题的细节。 【学习任务三】 回答P10“思考”。 例7 计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试．程序员需要知道到底有多少条执行路径（程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据．一般地，一个程序模块由许多子模块组成．如图6.1一4，它是一个具有许多执行路径的程序模块．它有多少条执行路径？ 图6.1一4 环节四、小组展示（1）（5分钟） 分析：整个模块的任意一条路径都分两步完成：第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束.而第1步可由子模块1、子模块2、子模块3中任何1个来完成；第2步可由子模块4、子模块5中任何一个来完成.因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理， 先分步后分类. 第1步（开始→A） 第2步（A→结束） 18+45+28=91 38+43=81 解：整个模块的执行路径条数共为91×81=7371. 另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数.你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？ 在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成是一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块.这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常. 总共需要的测试次数为18+45+28+38+43=172. 再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常， 需要的测试次数为3×2=6. 这样，测试整个模块的次数就变为172+6=178. 你看出了程序员是如何实现减少测试次数的吗？ 小结：利用两个计数原理解决具体问题时的方法技巧 1.步中有类情形(先分步后分类） 2.类中有步情形（先分类后分步） 如图，完成A→D这件事， 需经历A→B，B→C， C→D这三个步骤. 其中B→C这步又分三类. 完成A→D这件事，共有方法数为m1×（m2+m3+m4）×m5. 如图，完成A→B这件事， 有两类办法， 在第1类办法中有3步， 第2类办法中有两步. 完成A→B这件事，共有方法数为（m1×m2×m3）+（m4×m5）. 例8 通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图6.1-5所示. 其中，序号的编码规则为： （1）由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个 英文字母组成； （2）最多只能有2个英文字母. 如果某地级市发牌机关采用5位序号编码， 那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？ 图6.1-5 分析：按序号编码规则可知，每个序号中的数字、字母都是可重复的， 并且可将序号分为3类：没有字母，有1个字母，有2个字母. 以字母所在位置为分类标准， 可将有1个字母的序号分为5个子类， 将有2个字母的序号分为10个子类. 环节五、小组展示（1）（5分钟） （1）没有字母 10 10 10 10 10 （2）1个字母 第1位 第2位 第3位 第4位 第5位 第1位 第2位 第3位 第4位 第5位 10 10 10 10 字母可以分别在第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可分为五个子类. 24 解：根据序号编码规则，5位序号可以分为三类： 根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为10×10×10×10×10=100 000. 字母在第1位 同样，其余四个子类号牌也各有240 000张. 根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为24×10×10×10×10=240 000. 根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共为 240 000+240 000+240 000+240 000+240 000=1 200 000. （3）2个字母 第1位 第2位 第3位 第4位 第5位 根据这两个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类： 第1位和第2位、第1位和第3位、第1位和第4位、第1位和第5位， 第2位和第3位、第2位和第4位、第2位和第5位，第3位和第4位、第3位和第5位， 第4位和第5位. 字母 字母 字母 字母 字母 字母 字母 字母 字母 字母 字母 字母 字母 字母 字母 字母 字母 字母 字母 字母 （3）2个字母 10 10 10 第1位 第2位 第3位 第4位 第5位 根据这两个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类： 24 24 字母在第1位和第2位 根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为24×24×10×10×10=576 000. 同样，其余九个子类号牌也各有576 000张. 根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共为576000×10=5 760 000. 综合（1）（2）（3）根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为100 000+1 200 000+5 760 000=7 060 000. 解答计数问题的一般思维过程： 完成一件什么事 如何完成这件事 方法的分类 过程的分步 利用加法原理进行计数 注意分类要做到不重不漏 利用乘法原理进行计数 注意分步要步骤完整 各类中每种方法都能独立完成这件事. 各步中每种方法 不能独立完成这件事， 只有每步依次完成后，才算完成这件事. 归纳 因此，分步乘法计数原理也可以看成是特定条件下的分类加法计数原理的简化. 问题 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左右两边墙上的 指定位置，共有多少种不同的挂法？ 解法一：（分三类） 第一类，甲在左边，有2种“甲乙，甲丙”； 第二类，乙在左边，有2种“乙甲，已丙”； 第三类，丙在左边，有2种“丙甲，丙已”； 共有2+2+2=6种挂法. 解法二：（分两步） 第一步，选左边的画，有3种； 第二步，选右边的画，有2种； 共有3×2=6种挂法. 思考：乘法运算是特定条件下加法运算的简化，分步乘法计数原理和分类加法计数原理也有这种类似关系吗？ 课堂练习 课本P11：1-4 环节六、尝试运用 （5分钟） 环节七、组内核对 （2分钟） 课后作业 课本P11习题5.1：9-12 探究与发现 n元集合S={a1,a2,a3,...,an}的子集有多少个？ 分析：先研究某些具体的集合，从具体到抽象，从中获得规律性的猜想， 再通过严格的数学推理获得一般结论. 集合中元素个数 集合 子集 子集个数 A={a1} A={a1,a2} A={a1,a2,a3} n=1 n=2 n=3 猜想：n元集合S={a1,a2,a3,...,an}的子集有2n个. ,{a1} 2 ,{a1},{a2},{a1,a2} 4 ,{a1},{a2},{a3},{a1,a2}, {a1,a3},{a2,a3},{a1,a2,a3} 8 =21 =22 =23 探究与发现 n元集合S={a1,a2,a3,...,an}的子集有多少个？ 集合A={a1,a2,a3}中元素ai（i=1，2，3）与集合A各子集的关系只有两种： ai属于子集或ai不属于子集（i=1，2，3）. 因为集合A中有3个元素，所以要得到集合A的一个子集A1，可以分3个步骤： 第1步，考察元素a1是否在子集A1中，有2种可能（a1A1，a1∉A1）； 第2步，考察元素a2是否在子集A1中，有2种可能（a2A1，a2∉A1）； 第3步，考察元素a3是否在子集A1中，有2种可能（a3A1，a3∉A1）； 根据分步乘法计数原理，由3个元素组成的集合， 子集个数为2×2×2=23=8. 一般地，我们有：n元集合S={a1,a2,a3,...,an}的子集有2n个. 证明：因为集合A中有n个元素，所以要得到集合S的一个子集S1， 可以分n个步骤： 根据分步乘法计数原理，由n个元素组成的集合， 子集个数为 . 第1步，考察元素a1是否在子集S1中，有2种可能（a1S1，a1∉S1）； 第2步，考察元素a2是否在子集S1中，有2种可能（a2S1，a2∉S1）； ...... 第k步，考察元素ak是否在子集S1中，有2种可能（akS1，ak∉S1）； 第n步，考察元素an是否在子集S1中，有2种可能（anS1，an∉S1）； ...... $$