清单05 四边形（16个考点梳理+22题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（冀教版）

清单05 四边形 （16个考点梳理+22题型解读） 清单01 平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 清单02 平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形． 清单03平行四边形的判定与性质 平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单． 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 清单04 三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC． 清单05 矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 清单06 矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 清单07 矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 清单08 菱形的性质 （1）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） 清单09 菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 清单10 菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形． 清单11 正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 清单12 正方形的判定 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 清单13 正方形的判定与性质 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定 正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． 清单14 多边形 （1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． （2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． （4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形． （5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心． 常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形． 清单15 多边形的对角线 （1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数） （3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2． （4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n． 清单16 多边形内角与外角 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 【考点题型一】利用平行四边形的性质求解（） 【例1】．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据边形是平行四边形，得，再结合两直线平行，同旁内角互补，得，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故选：D 【变式1-1】（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中 ． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，四边形的内角和，如图，把拼在一起，得到平行四边形，则，由平行四边形的性质得，进而四边形的内角和为得到，据此解答即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，把拼在一起，得到平行四边形，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（22-23八年级下·河北沧州·期末）如图，已知平行四边形，轴，，点A的坐标为，点D的坐标为，点B在第四象限，点P是平行四边形边上的一个动点．    (1)点B的坐标为_________；点C的坐标为________； (2)点G是与y轴的交点，求点G的坐标； (3)若点P在上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线上，求点P的坐标； (4)若点在折线上，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，它们交于点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在坐标轴上，直接写出此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4)或 【知识点】一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、利用平行四边形的性质求解、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，正方形的性质与判定，折叠的性质，等腰直角三角形的性质与判定，坐标与图形变化—轴对称等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质对边平行且相等进行求解即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点D的坐标即可； （3）设出点P的坐标，然后分P、Q关于x轴对称和关于y轴对称两种情况，分别求出点Q的坐标，再根据点Q在直线进行求解即可； （4）分两种情况讨论：当点P在上时，由折叠的性质可得，，证明是等腰直角三角形，进而证明四边形是正方形，从而得到三点共线，则，即可求出．当点P在上时，证明，再利用两点距离公式求出点M坐标即可解题． 【详解】（1）解：∵轴，，点A的坐标为， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴轴， ∵D的坐标为， ∴， 故答案为：，； （2）解：设直线的解析式为， 把，带入中得， 解得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点G的坐标为； （3）解：设，且， 若点P关于x轴的对称点在直线上， ∴， 解得， 此时． 若点P关于y轴的对称点在直线上时， ∴，解得， 此时 综上所述，点P的坐标为或． （4）解：当点P在AB上时，如解图1 由折叠的性质可得，， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，即轴， ∴三点共线， ∴， ∴． 当点在上时，设直线的解析式为与x轴交点为，则， 如解图2，点落在轴上， 由折叠的性质可得，， ∵轴， ∴ ∴， ∴， 设点且，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴点 综上所述：点的坐标或 【考点题型二】利用平行四边形的性质证明（） 【例2】．（23-24八年级下·河北衡水·期中）如图，在平行四边形中，， ，，则与间的距离为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．先求出，利用30度角的性质求出，然后利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 【变式2-1】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，点是平行四边形对角线上一点，点在延长线上，且，与交于点． (1)求证：； (2)若垂直平分，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、含角的直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． （1）连接，交于点，证出是的中位线，得，即； （2）求出，，则，，得，，再求出的长，然后由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接，交于点，如图所示： 四边形是平行四边形， ， ， 是的中位线， ， 即； （2）解：，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 垂直平分， ，，， ， ，， ，， ，， ， ， ． 【考点题型三】证明四边形是平行四边形（） 【例3】．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，在四边形中作标注（角的标记中弧线数量相同的表示角相等），下列判断正确的是（    ）    A．只有图1中的四边形一定是平行四边形 B．只有图2中的四边形一定是平行四边形 C．图1、图2中的四边形都一定是平行四边形 D．图1、图2中的四边形都一定不是平行四边形 【答案】A 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：图1中，，，    ∵， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形； 图中，， ∴， 只有一组对边平行，不能判定四边形为平行四边形．    综上分析可知：只有图1中的四边形一定是平行四边形， 故选：A． 【变式3-1】（23-24八年级下·河北衡水·期中）若在四边形中，的长度之比是，则四边形是平行四边形，判定的依据是 ． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解答本题的关键．根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得答案． 【详解】解：∵四边形中，的长度之比是， ∴， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【变式3-2】（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过A，C两点作，，垂足分别为M，N，且分别交，于点G，H． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长及的周长． 【答案】(1)见解析 (2)11.5 【知识点】利用平行四边形的性质求解、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质． （1）根据垂线的定义得，，得，再根据平行四边形的性质证明即可； （2）由（1）中结果得出，根据平行四边形的性质得，即可解答；根据平行四边形的性质得，，即可解答． 【详解】（1）证明：，， ，， ． ∵四边形是平行四边形， ， ∴四边形是平行四边形； （2）∵四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，． ， ； O为，的中点， ，， 的周长为． 【考点题型四】利用平行四边形的判定与性质求解（） 【例4】．（22-23八年级下·河北保定·期中）如图，在中，，，，将沿方向向右平移得到．若平移距离是3，则四边形的面积为（　　）    A．12 B．24 C．4 D．8 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、利用平移的性质求解 【分析】先根据含30度的直角三角形三边的关系得到，再根据平移的性质得，，于是可判断四边形为平行四边形，则根据平行四边形的面积公式得到即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵沿向右平移得到， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了平行四边形的判定与性质． 【变式4-1】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】17 【知识点】线段中点的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查平行四边形，三角形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，连接，根据平行四边形的性质，则，，根据点是的中点，则，根据全等三角形的判定和性质，则，，再根据平行四边形的判定和性质，则四边形是平行四边形，得到，再根据平行四边形的判定和性质，则四边形是平行四边形，，根据阴影部分的面积为：，即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：． 【变式4-2】（23-24八年级下·河北廊坊·期末）如图，在中，G，H分别是的三等分点，交于点E，交于点F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质等． （1）根据三等分点可得，依据平行线的性质可得，，即可证明全等； （2）证明四边形为平行四边形，得到，过点E作于点M，根据含30度角直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵G，H分别是的三等分点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，且， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）由（1）知，且， 四边形为平行四边形， ， ， 过点E作于点M， ， ， ， ， 又G，H分别是的三等分点， 【考点题型五】利用平行四边形性质和判定证明（） 【例5】（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，平行四边形的对角线交于点过点且分别交于点，在上找点（点在点下方），使以点为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是（    ） A．甲、乙、丙 B．只有甲、乙 C．只有甲、丙 D．只有乙、丙 【答案】A 【知识点】全等三角形综合问题、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，涉及三角形全等的判定与性质，结合题中所给方案，分情况，依照平行四边形的判定与性质即可得证．熟练掌握平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：甲方案：如图所示： 在平行四边形中，，， ， 在和中， ， ， ， ， 在四边形中，由对角线相互平分可知，四边形为平行四边形； 乙方案：如图所示： 在平行四边形中，，， ， 在和中， ， ， ， ，则， 在和中， ， ， 在四边形中，由一组对边平行且相等可知，四边形为平行四边形； 丙方案：如图所示： 在平行四边形中，，， ，， 在和中， ， ， 平分；平分； ， 在和中， ， ， 在四边形中，由对角线相互平分可知，，四边形为平行四边形； 综上所述，甲、乙、丙三种方案均可使以点为顶点的四边形为平行四边形， 故选：A． 【变式5-1】（八年级下·河北邢台·期末）将两块相同的含有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放在一起，则四边形ABCD为平行四边形，请你写出判断的依据 ． 【答案】两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】根据平行四边形的判定方法即可求解. 【详解】解：∵两块相同的含有30°角的三角尺 ∴AD＝BC，AB＝CD，∠ADB＝∠DBC＝90°，∠ABD＝∠BDC＝30° ∴AB∥CD，AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形 依据为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（写出一种即可） 故答案为两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（写出一种即可） 【点睛】此题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理. 【变式5-2】（23-24八年级下·河北保定·期末）在探索命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”时，嘉琪按照以下步骤用尺规作出了如图所示的四边形．步骤如下： 已知直线l及线段，点B在直线l上，点A在直线l外．如图， ①在直线l上取一点C（不与点B重合），连接； ②以点A为圆心，长为半径作弧，以点B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点D（与点C位于直线异侧）； ③连接交于点O，连接． (1)根据以上作图过程及所作图形，写出已知和求证．（完成填空） 已知： ， ．求证：四边形是 ． (2)请你替嘉琪写出完整的证明过程． (3)在下列结论①；②；③中，一定正确的结论为 ．（填序号） 【答案】(1)；；平行四边形 (2)见解析 (3)①② 【知识点】作线段(尺规作图)、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，尺规作图： （1）由作法可得：，，即可解答； （2）证明，可得，从而得到，即可； （3）根据平行四边形的性质即可解答． 【详解】（1）解：已知：，．求证：四边形是平行四边形． 故答案为：；；平行四边形 （2）证明：在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴；，故①②正确； 但无法确定的大小关系， ∴无法确定和的大小关系，故③错误； 故答案为：①② 【考点题型六】与三角形中位线有关的求解问题（） 【例6】．（2025·河北邯郸·一模）如图，平行四边形的对角线相交于点，点分别是线段的中点．若，的周长是，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，求出的值，由的周长求出，根据三角形中位线的性质求出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ∵的周长是， ， ， ∵点分别是线段的中点， ， 故选：C． 【变式6-1】（24-25八年级下·河北保定·期中）在中，，分别为，的中点，若，则的长是 ． 【答案】28 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查的是三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．根据三角形中位线定理解答． 【详解】解：∵，分别为，的中点， ∴， 故答案为：28． 【变式6-2】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，，点，，分别是边，，的中点．若，求的长． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵点，分别是边，的中点，， ∴， ∵中，，是边的中点， ∴． 【考点题型七】与三角形中位线有关的证明（） 【例7】（22-23八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，D，E，F分别是边，，的中点，若要使，下列添加条件正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的证明、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】根据三角形的中位线性质、平行四边形的判定与性质，结合直角三角形斜边中线性质证明即可求解． 【详解】解：∵D，E，F分别是边，，的中点， ∴，，，，， ∴四边形是平行四边形， 若，则，即，不能得到，故A、D不符合题意； 若，则，不能证明，故B不符合题意； 若，则，即，故C符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的中位线性质、平行四边形的判定、直角三角形斜边中线性质，熟练掌握三角形的中位线性质和直角三角形斜边中线性质是解答的关键． 【变式7-1】.（八年级下·河北石家庄·期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠EPF=147°，则∠PFE的度数是 ． 【答案】16.5° 【知识点】等边对等角、与三角形中位线有关的证明 【分析】根据三角形中位线定理得到PE=AD，PF=BC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵P是BD的中点，E是AB的中点， ∴PE=AD， 同理，PF=BC， ∵AD=BC， ∴PE=PF， ∴∠PFE=×（180°-∠EPF）=16.5°， 故答案为16.5°． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【变式7-2】.（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点在线段上，连接，点G、F分别为的中点． (1)求证：四边形为平行四边形 (2)若，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理， 三角形中位线定理： （1）由三角形中位线定理得到，，得到，即可证明四边形为平行四边形； （2）由四边形为平行四边形得到，由得到，由勾股定理即可得到线段的长度． 【详解】（1）证明：∵点D、E分别为的中点， ∴， ∵点G、F分别为、的中点． ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴． 【考点题型八】三角形中位线的实际应用（） 【例8】（23-24八年级下·河北·期中）如图，为了测量池塘边A，B两地之间的距离，在的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得，．连接DE，若测得m，则A，B之间的距离是（    ） A．7m B．11m C．14m D．13m 【答案】C 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”．根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：，， 分别是的中点， 是的中位线， ， 故选：C． 【变式8-1】（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，某小区要在一块空地上围一个四边形花坛，，分别是边，的中点，且米，则的长为 米． 【答案】 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题考查三角形中位线的定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．根据三角形中位线的长度关系可得结论． 【详解】解：∵，分别是边，的中点，米， ∴（米）， ∴的长为米． 故答案为：． 【变式8-2】（八年级下·河北张家口·期末）如图，点E在□ABCD外，连接BE，DE，延长AC交DE于F，F为DE的中点． 求证：AFBE； 【答案】见解析． 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】连接BD交AC于点O，证明OF是△DBE的中位线，故可求解． 【详解】证明：如图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴点O是BD的中点， ∵F为DE的中点， ∴OF是△DBE的中位线， ∴OFBE， ∴AFBE． 【点睛】此题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟知平行四边形的性质及中位线的判定定理． 【考点题型九】矩形性质理解（） 【例9】（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点，以下说法中错误的是（    ） A． B． C．若，则是等边三角形 D． 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定、矩形性质理解 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定，矩形的四个角都是直角，对边平行且相等，对角线互相平分且相等，根据矩形的性质和等边三角形的判定，进行逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，故A、B说法正确，不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形，故C正确，不符合题意； 根据现有条件无法证明，故D说法错误，符合题意． 故选：D． 【变式9-1】（23-24八年级下·河北张家口·期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，直线轴，交y轴于点，点在直线l上，将矩形绕点O按顺时针方向旋转度，得到矩形，此时直线、分别与直线l相交于点P、Q． (1)当时，点的坐标为______； (2)如图2，当点落在l上时，点P的坐标为______； (3)如图3，当矩形的顶点落在l上时， ①求的长度； ②求． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【知识点】坐标与图形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、矩形性质理解、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查一次函数与几何综合、一次函数的图像与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）根据旋转的得到的坐标即可； （2）根据在，然后利用勾股定理即可解答； （3）①根据已知条件得到，设，则，在中，利用，即即可求出x的值，即可求解；②根据即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 由旋转的性质，可知：， ∴当时，点的坐标为． 故答案为． （2）解：在中，， ∴， ∴当点落在l上时，点P的坐标为． 故答案为． （3）解：①当四边形的顶点落在l上时， 在和中，， ∴， ∴． 设，则． 在中，， ∴，即，解得： ， ∴； ②∵， ∴． 故答案为． 【考点题型十】根据矩形的性质求线段长（） 【例10】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，矩形的两条对角线、相交于点，，则矩形的对角线的长是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【知识点】根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，根据矩形的对角线相等且互相平分，即可求解． 【详解】解：∵矩形的两条对角线、相交于点，， ∴ 故选：C． 【变式10-1】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，矩形中，，延长交于点M，延长交于点F，过点E作，交的延长线于点N，，，则 ． 【答案】/ 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】设交于点K，通过四边形是矩形以及，得到是等边三角形，根据含直角三角形的性质以及勾股定理得到，，的值，进而得到的值，再利用直角三角形的性质及勾股定理得到，即可． 【详解】解：如图，设交于点K， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形，等边三角形的性质，以及含直角三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用直角三角形的性质． 【变式10-2】（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，已知矩形的对角线交于点分别为线段的中点． (1)若，，求的周长； (2)若为边的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)22 (2)证明见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的证明、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）由题意，根据三角形中位线的判定与性质得到长，再由矩形性质结合三角形周长求解即可得到答案； （2）根据三角形中位线的判定与性质，结合平行四边形的判定即可得到答案． 【详解】（1）解：∵分别为线段的中点， ∴，，即为的中位线， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴的周长为； （2）证明：由（1）可知，，且， ∵矩形的对角线交于点， ∴点为的中点， 又∵为边的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形综合，涉及三角形中位线的判定与性质、矩形的性质、三角形周长定义、平行四边形的判定等知识，熟练掌握三角形中位线的判定与性质是解决问题的关键． 【考点题型十一】矩形与折叠问题（） 【例11】（23-24八年级下·河北保定·期末）如果将长为，宽为的矩形折叠一次，则这条折痕的长不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数的大小比较、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了折叠问题，勾股定理，矩形的性质．根据题意得：最长折痕为矩形对角线的长，再根据勾股定理计算出最长折痕即可作出判断． 【详解】解：根据题意得：最长折痕为矩形对角线的长， 根据勾股定理得：矩形的对角线长为：， ∵， ，，， 故折痕长不可能为． 故选：C． 【变式11-1】（23-24八年级下·河北承德·期中）实验探究：如图所示，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，．请你观察如图，猜想等于 ． 【答案】/30度 【知识点】等边三角形的判定和性质、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先证明是等边三角形，再根据折叠的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，直线是的垂直平分线， ，由折叠可知，， ， 是等边三角形， ， ． 故答案为：． 【变式11-2】（23-24八年级下·河北邯郸·阶段练习）已知长方形，，，Q为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． (1)如图1，连接，当点落在上时，______； (2)如图2，当点Q与点A重合时，与交于点E，求重叠部分（阴影）的面积； (3)当直线经过点D时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为2或8 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，即可求解； （2）由平行线的性质和折叠的性质可证，由勾股定理可求的长，即可求解； （3）分在线段上和点D在线段上两种情况讨论，由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求，由勾股定理可求的长． 【详解】（1）解：，， ， ∵将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ∵将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． ， ， ， ， ， ， ∴重叠部分阴影的面积； （3）解：当在线段上时， 将沿直线翻折至的位置，，，， ， ， ，即：，解得：； 当点D在线段上时， ∵将沿直线翻折至的位置， ，，， ， ， ， ， ； 综上所述：的长为2或8． 【考点题型十二】证明四边形是矩形（） 【例12】（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．则四边形一定是（    ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．无法确定 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质证明、证明四边形是矩形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定．根据平行四边形的性质，可得与的关系，根据平行四边形的判定，可得是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， 四边形是平行四边形， ∵， ∴， 四边形是矩形． 故选：C． 【变式12-1】（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，是等腰直角三角形，，，点P是上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P分别作于点E，于点F，连接． （1）四边形的形状是 ． （2）线段的最小值为 ． 【答案】 矩形 【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、证明四边形是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、垂线段最短的性质、勾股定理等知识点；判断出当时，线段的值最小是解题的关键． （1）先证，再由即可解答； （2）连接，由勾股定理可求得，再由矩形的性质可得，然后根据垂线段最短可得时，线段的值最小，最后由三角形的等面积求解即可解答． 【详解】解：（1）∵于点，于点， ∴ 又∵， ∴四边形是矩形； （2）如图，连接， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， 即， ∴， ∴长的最小值为， 故答案为：矩形，． 【变式12-2】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在四边形中，，，，，若动点从点出发，以的速度沿线段向点运动；动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点时，动点，同时停止运动．已知点，同时出发，运动时间为． (1)当取何值时，四边形为平行四边形？ (2)当取何值时，四边形为矩形？ 【答案】(1) (2) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、证明四边形是平行四边形、证明四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定等知识，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）当时，四边形为平行四边形，根据列出关于t的方程，解方程即可； （2）当时，四边形为矩形，根据列出关于t的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：如图，， 当时，四边形为平行四边形． 根据题意，，， ， 解得， 当时，四边形为平行四边形． （2）解：如图，，， 当时，四边形为矩形． 根据题意，，， ， 解得， 当时，四边形为矩形． 【考点题型十三】利用菱形的性质求角度（） 【例13】（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，在菱形中，M，N分别在，上，且，与交于点O，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三线合一、利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质，掌握以上性质定理是解题的关键． 根据菱形的性质以及，利用可得，可得，然后可得，继而可求得的度数． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选B． 【变式13-1】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，菱形中，连接，若，则的度数为 ．    【答案】/70度 【知识点】利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的性质可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为： 【变式13-2】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在菱形中，过点作于点，作于点． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用菱形的性质求角度、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查菱形的性质以及利用菱形的性质证明，解题的关键是利用菱形性质证明以及利用菱形内角的关系进行角度计算． （1）利用四边形是平分，有因为，， 得出； （2）先根据菱形邻角互补求出，再求出，进而得出的度数，最后根据求出结果． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， 平分， ，， ． （2）四边形是菱形，， ． ，， ． ， ． 【考点题型十四】利用菱形的性质求面积（） 【例14】（24-25八年级下·河北保定·期中）在菱形中，，，则菱形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据菱形的性质，菱形的面积等于对角线长乘积的一半，解答即可． 【详解】解：∵菱形中，对角线，， ∴菱形的面积为：， 故选B． 【变式14-1】（24-25八年级下·河北唐山·期中）菱形的对角线相交于O，若，则菱形的面积= ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，先根据四边形是菱形，得，，再根据勾股定理算出，结合菱形的面积等于对角线的乘积的一半，即可作答． 【详解】解：如图： ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，， ∴ ∴． 故答案为：． 【变式14-2】（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，一张矩形硬纸片宽，长，现将沿折叠（点N在边上），点C的对应点F刚好落在边上，过点F作，交于点G，连接．      (1)下列说法正确的是（    ） A．四边形是非特殊四边形    B．四边形是非特殊平行四边形 C．四边形是菱形            D．四边形是长方形 (2)试证明你在（1）中所选的结论； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)C (2)见解析 (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、利用菱形的性质求面积、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，菱形的判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关性质定理． （1）根据矩形的性质易得，则，根据折叠的性质得出，，则，进而得出，即可得出结论； （2）根据矩形的性质易得，则，根据折叠的性质得出，，则，进而得出，即可得出结论； （3）根据折叠的性质得出，根据勾股定理可得，则，设，则，根据勾股定理可得：，列出方程求出，最后根据四边形的面积即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵沿折叠得到， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 故选：C； （2）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵沿折叠得到， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （3）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵沿折叠得到， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， 设，则， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∴四边形的面积． 【考点题型十五】利用菱形的性质证明（） 【例15】（23-24八年级下·河北沧州·期末）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．邻边相等 B．对边相等 C．对角相等 D．是中心对称图形 【答案】A 【知识点】矩形性质理解、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了菱形和四边形，熟练掌握菱形的性质和四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：菱形的四条边都相等，而矩形的邻边不一定相等， 故选：A． 【变式15-1】（24-25八年级下·河北唐山·期中）在手工课上老师让大家制作菱形风筝．如图，嘉嘉制作的菱形风筝框架中，点在对角线上，且，现需连接、进行加固． (1)请你帮忙证明：； (2)若用于固定的材料和长度均为，则这个菱形风筝框架的边长是_________． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）由菱形的性质可得，，由可证，可得结论； （2）连接交于，由菱形的性质可得，，，，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，利用直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）证明：， ， 四边形是菱形， ，， 又， ， ； （2）如图，连接交于， 四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ， ，， ， ， 在中， 菱形的边长为． 故答案为：． 【变式15-2】（23-24八年级下·河北保定·期末）定义：若四边形中某个顶点与其他三个顶点的距离相等，则这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点． (1)判断：如图①，一个内角为的菱形 等距四边形．（填“是”或“不是”）并说明为什么？ (2)如图②，在的网格图（每个小正方形的边长为）中有两点，请在给出的两个网格图上各找出两个格点，使得以为顶点的四边形是以点为等距点的“等距四边形”，画出相应的“等距四边形”（互不全等），并求出该等距四边形的端点均为非等距点的对角线长． 【答案】(1)是，证明见解析； (2)画图见解析，非等距点的对角线长或． 【知识点】等边三角形的判定和性质、勾股定理与网格问题、利用菱形的性质证明 【分析】（）根据等距四边形的定义判断即可求解； （）根据等距四边形的定义作出图形，再利用勾股定理求出非等距点的对角线长即可； 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，理解等距四边形是解题的关键． 【详解】（1）解：是． 证明：连接， ∵菱形， ∴， 当时，是等边三角形， ， ， 一个内角为的菱形是等距四边形； 故答案为：是； （2）解：如图， ，， 端点均为非等距点的对角线长； 如图，，， 端点均为非等距点的对角线长为．（答案不唯一，合理即可） 【考点题型十六】根据菱形的性质与判定求线段长（） 【例16】（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，矩形纸片，，，点M、N分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在点G处，连接，交于点Q，连接．给出下列结论：①当点G落在矩形外时，；②四边形是菱形；③点P与点A重合时，；④的面积S的取值范围是．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】根据折叠和矩形的性质即可证明，即可判断①；先判断四边形是平行四边形，再根据判断四边形是菱形，即可判断②；点与点重台时设，表示出，利用勾股定理解出，进而求出即可判断③；当过点时，求出四边形面积的最小值，当与重台时，求出四边形面积的最大值，即可判断④． 【详解】解：①∵四边形是矩形， ∴， 根据折叠可得， ∵， ∴，故①正确； ， ， 根据折叠得， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴平行四边形为菱形，故②正确，符合题意； 当点与重合时，如图所示 设，则． 在中，，即， 解得：． ， ， 又∵四边形为菱形， ， ， 故③错误，不符合题意； 当过点时，如图所示： 此时，最短，四边形的面积最小，则最小为， 当点与点重合时，最长，四边形的面积最大，则最大为， ∴，故④正确，符合题意． 故正确的是①②④， 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质和判定，翻折问题，三角形的面积，矩形、菱形及平行四边形的性质等知识点，熟练应用矩形、菱形、平行四边形的性质及翻折的性质是解题的关键． 【变式16-1】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平行四边形中，以点A为圆心长为半径作弧交于点F，分别以点B、F为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查平行四边形的性质和角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．如图所示：连接，交于于点，首先证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图所示：连接，交于于点， 由题中作图可知：，平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，，， 在中， ， ， ， 故答案为：． 【变式16-2】（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，在平行四边形中，E，F分别为的中点，平分． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； (3)若，求点A到边的距离． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【知识点】根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，等角对等边，平行四边形的性质与判定： （1）先由平行四边形的性质得到，再由线段中点的定义可得，据此可证明四边形为平行四边形； （2）先由角平分线的定义得到，再由平行四边形的性质得到，进而证明，得到，由线段中点的定义得到，则； （3）先证明四边形为菱形，得到，，由勾股定理得到，则．设点F到的距离为h，根据的面积，可得，据此可得答案． 【详解】（1）证明：在平行四边形中，， ∵E，F分别为的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）证明：∵平分， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴； （3）解：连接，交于点O， ∵四边形为平行四边形，， ∴四边形为菱形， ∴，且互相平分． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴点F到的距离即为点A 到的距离， 设点F到的距离为h 根据的面积，可得， ， ∴点F到的距离为，即点A到边的距离为． 【考点题型十七】正方形性质理解（） 【例17】（22-23八年级下·河北保定·期中）将一正方形分割成个小正方形，则在下列数据中，不可能取的数是（    ） A．4 B．5 C．9 D．16 【答案】B 【知识点】正方形性质理解 【分析】设大正方形的边长为a，分割成的小正方形的边长为b，根据题意得到，进而求解即可． 【详解】设大正方形的边长为a，分割成的小正方形的边长为b， ∴根据题意可得，， ∴， ∴n是个平方数， ∴不可能取的数是5． 故选：B． 【点睛】此题考查了正方形的性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质． 【变式17-1】（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点B的坐标为． （1）若直线恰好经过点B，则 ； （2）若直线将正方形分成面积相等的两部分，则 ． 【答案】 2 【知识点】一次函数与几何综合、正方形性质理解 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、正方形的性质等知识点，掌握将正方形分成面积相等的两部分的直线必过正方形中心成为解题的关键． （1）直接将点B的坐标为代入求得m的值即可； （2）由直线将正方形分成面积相等的两部分，则该直线过正方形中心，然后代入求得m的值即可． 【详解】解：（1）接将点B的坐标为代入得： ，解得：． 故答案为：． （2）∵直线恰好把正方形分成面积相等的两部分，     ∴直线必经过正方形的中心，     ∵点B的坐标为，     ∴正方形中心的坐标为，代入直线中，得： ，解得：． 故答案为：2． 【变式17-2】（23-24八年级下·河北秦皇岛·期中）如图①，在正方形中，点以的速度从点出发按箭头方向在正方形的边上运动，到达点后停止，的面积与运动时间之间的函数关系如图②所示．（规定：点在点、时，） (1)______，当时，______； (2)当点在线段______上运动时，的值保持不变； (3)求当及时，与之间的函数关系式； (4)当的值为多少时，的值等于？ 【答案】(1)； (2) (3)当时，；当时， (4)或 【知识点】函数解析式、动点问题的函数图象、一次函数与几何综合、正方形性质理解 【分析】本题是四边形综合题，考查的是动点问题，列函数关系式，运用了分类讨论的思想， （1）从图2中看到刚好时最大，得到点在上运动的时间，从而得到，时，点在边上，且，即可得解； （2）由图2知面积没变的是中间一段，从而得到点在上时，值不变； （3）先判断点在那段线段上运动，用三角形的面积公式计算即可； （4）是时，得到点在和这两段线段上，所以直接代入函数关系式中即可； 解题的关键是从图中找到对应的量． 【详解】（1）解：由图2，得到点在上运动时间为， ∵点以的速度运动， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 当时，， ∴点在线段上， ∴， 故答案为：；； （2）∵的边是定值， ∴点到的距离不变时，的面积不变，即的值保持不变， ∴此时点在上， 故答案为：； （3）当时，点在线段上，， ∴； 当时，点在线段上，点到的距离为， ∴； 当时，点在线段上，， ∴； ∴当时，；当时，；当时， （4）∵的值等于， 当点在线段上时， 得：， 解得：； 当点在线段上时， 得：， 解得：， ∴当或时，的值等于． 【考点题型十八】根据正方形的性质证明（） 【例18】（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图将正方形B的一个顶点与正方形A的对角线交点重合放置，已知正方形A的边长为4，正方形B的边长为3，则阴影部分面积是（    ） A．3 B． C．4 D．8 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明 【分析】根据正方形的性质可得，，，再利用等量代换可得，从而可证，可得，再由求解即可． 【详解】解：如图，∵四边形A、B是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式18-1】（22-23八年级下·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点．则点的坐标为 ．    【答案】 【知识点】坐标与图形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明 【分析】过点作轴于点，结合易知；证明，由全等三角形的性质可得，即可获得答案． 【详解】解：过点作轴于点，如下图，    ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴ ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形、全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是正确添加辅助线构造三角形． 【变式18-2】（24-25八年级下·河北保定·期中）综合与探究 如图，在正方形中，点（不与点，重合）在对角线所在的直线上，连接．过点作，交直线于点． (1)如图1，当点在对角线上时，求证：． (2)如图2，当点在的延长线上时，（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)若正方形的边长为5，，直接写出由，，，四点构成的四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)成立，证明见解析； (3)21或121． 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质证明 【分析】（1）过点作于点，作于点．通过正方形的性质以及角平分线的性质得出四边形是矩形，由矩形的性质进一步证明，由全等三角形的性质得出． （2）过点作于点，作于点．四边形是矩形，由矩形的性质进一步证明，由全等三角形的性质得出． （3）由正方形的性质得出，分两种情况讨论：当点在的延长线上时和当点在的延长线上时，结合（1）（2）的解题过程求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，过点作于点，作于点． ∵为正方形对角线上的点， ∴平分，， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． （2）成立证明如下： 证明：如图2，过点作于点，作于点． ∵为正方形对角线上的点， ∴平分， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． （3）解：∵正方形的边长为5， ∴． 分两种情况讨论： ①如图3，当点在的延长线上时，过点作于点，作于点． ∵， ∴， ∴， 在中，． 由（2）可知是等腰直角三角形， ∴； ②如图4，当点在的延长线上时，过点作于点，作于点． ∵，， ∴． 由（1）（2），可知四边形是正方形，， ∴，， ∴． 综上所述，由，，，四点构成的四边形的面积为21或121． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的综合问题，角平分线的性质定理，以及等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握这些知识作出辅助线是解题的关键． 【考点题型十九】多边形对角线的条数问题（） 【例19】（23-24八年级上·河北沧州·期中）琪琪在操作课上将三角形剪掉一个角后得到四边形，则下列判断错误的是（    ）    A．变成四边形后对角线增加了两条 B．变成四边形后内角和增加了 C．外角和没有发生变化 D．若剪掉的角的度数是，则 【答案】B 【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形截角后的内角和问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形的对角线，内角和与外角和，三角形内角和定理，解题的关键是 【详解】解：A、三角形没有对角线，变成四边形后对角线为两条，即增加了两条，故正确，不合题意； B、三角形内角和为，变成四边形后内角和为，增加了，故错误，不合题意； C、任意多边形的外角和是，故正确，不合题意； D、若剪掉的角的度数是，则，则，故正确，不合题意； 故选：B． 【变式19-1】（23-24八年级上·河北保定·期中）若从n边形的一个顶点出发，可以画出4条对角线，则n的值是 ． 【答案】7 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查了多边形的对角线．根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，可得，求出的值． 【详解】解：设多边形有条边， 则， 解得， 故答案为：7． 【变式19-2】．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）已知一个边形的每一个外角都等于． (1)该边形______________是正边形（填“一定”或“不一定”）； (2)求这个边形的内角和； (3)从这个边形的一个顶点出发，可以画出______________条对角线． 【答案】(1)不一定 (2)这个边形的内角和为； (3)3 【知识点】多边形的概念与分类、多边形对角线的条数问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查正多边形的定义，多边形的内角与外角，多边形的对角线， （1）根据各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形判断即可； （2）先求出这个多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可； （3）根据从边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，据此列式解答即可． 【详解】（1）解：∵一个边形的每一个外角都等于， ∴该边形的每一个内角都等于：， 但该n边形的各边不一定都相等， 故该边形不一定是正边形， 故答案为：不一定； （2）解：∵多边形的外角和是， ∴， ∴内角和是：， ∴这个边形的内角和为； （3）解：从边形的一个顶点出发，可以画出条对角线， ∵， ∴， ∴从这个边形的一个顶点出发，可以画出3条对角线． 故答案为：． 【考点题型二十】多边形内角和问题（） 【例20】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）正十二边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，根据n边形的内角和为进行求解即可． 【详解】解：， ∴正十二边形的内角和为， 故选：A． 【变式20-1】（八年级下·河北沧州·期末）求下列多边形的边数，若一个边形的内角和是外角和的倍，则 ． 【答案】8 【知识点】多边形内角和问题、正多边形的外角问题 【分析】设这个正多边形的边数为，则内角和为，再根据外角和等于列方程解答即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为，由题意得： ， 解得． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握多边形内角和定理：且为整数． 【变式20-2】（八年级下·河北秦皇岛·期末）小刚计算一个多边形的内角和求得结果为900°．老师指出他的计算结果不对．小刚重新检查，发现多数了一条边． (1)你知道这个多边形是几边形吗?你是怎么知道的? (2)这个多边形的内角和与外角和有什么样的数量关系？ 【答案】(1)六边形，理由见解析 (2)这个多边形的内角和是外角和的2倍 【知识点】多边形内角和问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】（1）根据多边形的内角和公式（n-2）•180°，进而可以算出这个多边形的边数； （2）根据多边形的内角和公式（n-2）•180°，求得六边形的内角和，据此即可得到这个多边形的内角和与外角的关系． 【详解】（1）解：这个多边形是六边形， 理由：由多边形内角和公式得(n-2)×180°=900°， 解得：n=7， 由题意得：n-1=6． 所以这个多边形是六边形； （2）解：由多边形内角和公式得(6-2)×180°=720°， ∵多边形的外角和为360°， ∴这个多边形的内角和是外角和的2倍． 【点睛】本题考查多边形内角和公式和多边形的外角和的灵活运用；关键是找到相应度数的等量关系． 【考点题型二十一】正多边形的内角问题（） 【例21】（2024·河北·中考真题）直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用邻补角互补求角度、正多边形的内角问题 【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 先求出正六边形的每个内角为，再根据六边形的内角和为即可求解的度数，最后根据邻补角的意义即可求解． 【详解】解：正六边形每个内角为：， 而六边形的内角和也为， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式21-1】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）有一条公共边的正五边形与正六边形按如图所示的方式摆放，则的度数为 ；连接并延长交正六边形的边于点，则的度数为 ．    【答案】 /度 /度 【知识点】正多边形的内角问题 【分析】本题考查了正多边形的性质，正多边形的内角和的计算，根据内角和定理，n为多边形的边数，即可求解，掌握正多边的性质，内角和定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，正六边形中，， 如图所示，    正五边形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴， 故答案为： ． 【变式21-2】（20-21八年级下·河北保定·期末）如图是一组正多边形． （1）观察每个正多边形中的∠α，完成下列表格： 正多边形的边数 3 4 5 6 …… n ∠α的度数 60° 45° 　　 　　 …… 　　 （2）根据规律，请你计算正十二边形中的∠α的度数； （3）是否存在正n边形使得∠α＝11°？若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）36°，30°，；（2）15°；（3）不存在，理由见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、正多边形的内角问题 【分析】（1）如图所示，先利用正多边形内角和公式求出∠A的度数，然后利用等腰三角形的性质与三角形内角和公式求出正五边形形的，同理求出正六边形时，从而推出正n边形中； （2）把n=12代入中进行求解即可； （3）假设存在正n边形，使得，，解得，不是整数，由此即可得到结论． 【详解】解：（1）如图所示，五边形ABCDE是正五边形， ∴AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB， ∵∠ABE+∠AEB+∠A=180°， ∴， 同理求得正六边形中， ∴可以得到正n边形中； 故答案为：36°，30°，； （2）把n=12代入中，解得； （3）不存在，理由如下： 假设存在正n边形，使得， ∴， 解得，不是整数， ∴不存在正n边形，使得． 【点睛】本题主要考查了正多边形的内角和公式，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，以及角度的规律问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【考点题型二十二】多边形内角和与外角和综合（） 【例22】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，五边形的每个内角都相等，边在直线上，现将五边形绕点按顺时针方向旋转一定角度，使五边形的边落在直线l上，则五边形旋转的最小角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多边形内角和与外角和综合、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，外角的计算，掌握旋转的性质，多边形内角和，外角的关系及计算是解题的关键． 根据多边形的内角和定理可得的度数，根据旋转的性质，外角的计算即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴的外角为， ∴将五边形 绕点按顺时针方向旋转，使五边形的边落在直线l上， 故选：C ． 【变式22-1】（21-22八年级下·河北石家庄·期中）一个多边形的内角和是1080度，这个多边形的边数为 ，其外角和为 ． 【答案】 8 /360度 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】设多边形的边数为，根据题意得，求出即可，多边形的外角和都等于，再得出答案即可． 【详解】解：设多边形的边数为， 则， ， ， 所以这个多边形的边数为，外角和为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，能熟记边数为的多边形的内角和等于和多边形的外角和都等于是解此题的关键． 【变式22-2】（22-23八年级下·河北保定·期末）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后深入思考，继续探究多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有的数量关系．    (1)如图1，与，之间的数量关系为______．若，，则______． (2)如图2，是四边形ABCD的外角，求证：． (3)若n边形的一个外角为，与其不相邻的内角之和为，则x，y与n的数量关系是______． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是掌握n边形的内角和公式：（且n为整数）． （1）根据三角形的内角和和邻补角的性质即可得出答案； （2）根据四边形的内角和和邻补角的性质即可得出结论； （3）根据n边形的内角和和邻补角的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵，， ∴ 故答案为：，； （2）证明：∵，， ∴， ∴． （3）解：∵n边形的某一个外角的度数是， ∴与这个外角相邻的内角是， ∵与这个外角不相邻的所有内角的和是， ∴， 整理得：， 故答案为：. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 四边形 （16个考点梳理+22题型解读） 清单01 平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 清单02 平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形． 清单03平行四边形的判定与性质 平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单． 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 清单04 三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC． 清单05 矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 清单06 矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 清单07 矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 清单08 菱形的性质 （1）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） 清单09 菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 清单10 菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形． 清单11 正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 清单12 正方形的判定 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 清单13 正方形的判定与性质 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定 正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． 清单14 多边形 （1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． （2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． （4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形． （5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心． 常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形． 清单15 多边形的对角线 （1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数） （3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2． （4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n． 清单16 多边形内角与外角 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 【考点题型一】利用平行四边形的性质求解（） 【例1】．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中 ． 【变式1-2】（22-23八年级下·河北沧州·期末）如图，已知平行四边形，轴，，点A的坐标为，点D的坐标为，点B在第四象限，点P是平行四边形边上的一个动点．    (1)点B的坐标为_________；点C的坐标为________； (2)点G是与y轴的交点，求点G的坐标； (3)若点P在上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线上，求点P的坐标； (4)若点在折线上，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，它们交于点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在坐标轴上，直接写出此时点的坐标． 【考点题型二】利用平行四边形的性质证明（） 【例2】．（23-24八年级下·河北衡水·期中）如图，在平行四边形中，， ，，则与间的距离为（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式2-1】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，点是平行四边形对角线上一点，点在延长线上，且，与交于点． (1)求证：； (2)若垂直平分，，求的长． 【考点题型三】证明四边形是平行四边形（） 【例3】．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，在四边形中作标注（角的标记中弧线数量相同的表示角相等），下列判断正确的是（    ）    A．只有图1中的四边形一定是平行四边形 B．只有图2中的四边形一定是平行四边形 C．图1、图2中的四边形都一定是平行四边形 D．图1、图2中的四边形都一定不是平行四边形 【变式3-1】（23-24八年级下·河北衡水·期中）若在四边形中，的长度之比是，则四边形是平行四边形，判定的依据是 ． 【变式3-2】（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过A，C两点作，，垂足分别为M，N，且分别交，于点G，H． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长及的周长． 【考点题型四】利用平行四边形的判定与性质求解（） 【例4】．（22-23八年级下·河北保定·期中）如图，在中，，，，将沿方向向右平移得到．若平移距离是3，则四边形的面积为（　　）    A．12 B．24 C．4 D．8 【变式4-1】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，则阴影部分的面积为 ． 【变式4-2】（23-24八年级下·河北廊坊·期末）如图，在中，G，H分别是的三等分点，交于点E，交于点F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【考点题型五】利用平行四边形性质和判定证明（） 【例5】（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，平行四边形的对角线交于点过点且分别交于点，在上找点（点在点下方），使以点为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是（    ） A．甲、乙、丙 B．只有甲、乙 C．只有甲、丙 D．只有乙、丙 【变式5-1】（八年级下·河北邢台·期末）将两块相同的含有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放在一起，则四边形ABCD为平行四边形，请你写出判断的依据 ． 【变式5-2】（23-24八年级下·河北保定·期末）在探索命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”时，嘉琪按照以下步骤用尺规作出了如图所示的四边形．步骤如下： 已知直线l及线段，点B在直线l上，点A在直线l外．如图， ①在直线l上取一点C（不与点B重合），连接； ②以点A为圆心，长为半径作弧，以点B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点D（与点C位于直线异侧）； ③连接交于点O，连接． (1)根据以上作图过程及所作图形，写出已知和求证．（完成填空） 已知： ， ．求证：四边形是 ． (2)请你替嘉琪写出完整的证明过程． (3)在下列结论①；②；③中，一定正确的结论为 ．（填序号） 【考点题型六】与三角形中位线有关的求解问题（） 【例6】．（2025·河北邯郸·一模）如图，平行四边形的对角线相交于点，点分别是线段的中点．若，的周长是，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25八年级下·河北保定·期中）在中，，分别为，的中点，若，则的长是 ． 【变式6-2】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，，点，，分别是边，，的中点．若，求的长． 【考点题型七】与三角形中位线有关的证明（） 【例7】（22-23八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，D，E，F分别是边，，的中点，若要使，下列添加条件正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式7-1】.（八年级下·河北石家庄·期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠EPF=147°，则∠PFE的度数是 ． 【变式7-2】.（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点在线段上，连接，点G、F分别为的中点． (1)求证：四边形为平行四边形 (2)若，求线段的长度． 【考点题型八】三角形中位线的实际应用（） 【例8】（23-24八年级下·河北·期中）如图，为了测量池塘边A，B两地之间的距离，在的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得，．连接DE，若测得m，则A，B之间的距离是（    ） A．7m B．11m C．14m D．13m 【变式8-1】（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，某小区要在一块空地上围一个四边形花坛，，分别是边，的中点，且米，则的长为 米． 【变式8-2】（八年级下·河北张家口·期末）如图，点E在□ABCD外，连接BE，DE，延长AC交DE于F，F为DE的中点． 求证：AFBE； 【考点题型九】矩形性质理解（） 【例9】（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点，以下说法中错误的是（    ） A． B． C．若，则是等边三角形 D． 【变式9-1】（23-24八年级下·河北张家口·期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，直线轴，交y轴于点，点在直线l上，将矩形绕点O按顺时针方向旋转度，得到矩形，此时直线、分别与直线l相交于点P、Q． (1)当时，点的坐标为______； (2)如图2，当点落在l上时，点P的坐标为______； (3)如图3，当矩形的顶点落在l上时， ①求的长度； ②求． 【考点题型十】根据矩形的性质求线段长（） 【例10】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，矩形的两条对角线、相交于点，，则矩形的对角线的长是（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式10-1】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，矩形中，，延长交于点M，延长交于点F，过点E作，交的延长线于点N，，，则 ． 【变式10-2】（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，已知矩形的对角线交于点分别为线段的中点． (1)若，，求的周长； (2)若为边的中点，求证：四边形是平行四边形． 【考点题型十一】矩形与折叠问题（） 【例11】（23-24八年级下·河北保定·期末）如果将长为，宽为的矩形折叠一次，则这条折痕的长不可能是（　　） A． B． C． D． 【变式11-1】（23-24八年级下·河北承德·期中）实验探究：如图所示，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，．请你观察如图，猜想等于 ． 【变式11-2】（23-24八年级下·河北邯郸·阶段练习）已知长方形，，，Q为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． (1)如图1，连接，当点落在上时，______； (2)如图2，当点Q与点A重合时，与交于点E，求重叠部分（阴影）的面积； (3)当直线经过点D时，求的长． 【考点题型十二】证明四边形是矩形（） 【例12】（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．则四边形一定是（    ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．无法确定 【变式12-1】（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，是等腰直角三角形，，，点P是上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P分别作于点E，于点F，连接． （1）四边形的形状是 ． （2）线段的最小值为 ． 【变式12-2】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在四边形中，，，，，若动点从点出发，以的速度沿线段向点运动；动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点时，动点，同时停止运动．已知点，同时出发，运动时间为． (1)当取何值时，四边形为平行四边形？ (2)当取何值时，四边形为矩形？ 【考点题型十三】利用菱形的性质求角度（） 【例13】（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，在菱形中，M，N分别在，上，且，与交于点O，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，菱形中，连接，若，则的度数为 ．    【变式13-2】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在菱形中，过点作于点，作于点． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【考点题型十四】利用菱形的性质求面积（） 【例14】（24-25八年级下·河北保定·期中）在菱形中，，，则菱形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】（24-25八年级下·河北唐山·期中）菱形的对角线相交于O，若，则菱形的面积= ． 【变式14-2】（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，一张矩形硬纸片宽，长，现将沿折叠（点N在边上），点C的对应点F刚好落在边上，过点F作，交于点G，连接．      (1)下列说法正确的是（    ） A．四边形是非特殊四边形    B．四边形是非特殊平行四边形 C．四边形是菱形            D．四边形是长方形 (2)试证明你在（1）中所选的结论； (3)求四边形的面积． 【考点题型十五】利用菱形的性质证明（） 【例15】（23-24八年级下·河北沧州·期末）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．邻边相等 B．对边相等 C．对角相等 D．是中心对称图形 【变式15-1】（24-25八年级下·河北唐山·期中）在手工课上老师让大家制作菱形风筝．如图，嘉嘉制作的菱形风筝框架中，点在对角线上，且，现需连接、进行加固． (1)请你帮忙证明：； (2)若用于固定的材料和长度均为，则这个菱形风筝框架的边长是_________． 【变式15-2】（23-24八年级下·河北保定·期末）定义：若四边形中某个顶点与其他三个顶点的距离相等，则这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点． (1)判断：如图①，一个内角为的菱形 等距四边形．（填“是”或“不是”）并说明为什么？ (2)如图②，在的网格图（每个小正方形的边长为）中有两点，请在给出的两个网格图上各找出两个格点，使得以为顶点的四边形是以点为等距点的“等距四边形”，画出相应的“等距四边形”（互不全等），并求出该等距四边形的端点均为非等距点的对角线长． 【考点题型十六】根据菱形的性质与判定求线段长（） 【例16】（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，矩形纸片，，，点M、N分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在点G处，连接，交于点Q，连接．给出下列结论：①当点G落在矩形外时，；②四边形是菱形；③点P与点A重合时，；④的面积S的取值范围是．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【变式16-1】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平行四边形中，以点A为圆心长为半径作弧交于点F，分别以点B、F为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 【变式16-2】（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，在平行四边形中，E，F分别为的中点，平分． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； (3)若，求点A到边的距离． 【考点题型十七】正方形性质理解（） 【例17】（22-23八年级下·河北保定·期中）将一正方形分割成个小正方形，则在下列数据中，不可能取的数是（    ） A．4 B．5 C．9 D．16 【变式17-1】（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点B的坐标为． （1）若直线恰好经过点B，则 ； （2）若直线将正方形分成面积相等的两部分，则 ． 【变式17-2】（23-24八年级下·河北秦皇岛·期中）如图①，在正方形中，点以的速度从点出发按箭头方向在正方形的边上运动，到达点后停止，的面积与运动时间之间的函数关系如图②所示．（规定：点在点、时，） (1)______，当时，______； (2)当点在线段______上运动时，的值保持不变； (3)求当及时，与之间的函数关系式； (4)当的值为多少时，的值等于？ 【考点题型十八】根据正方形的性质证明（） 【例18】（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图将正方形B的一个顶点与正方形A的对角线交点重合放置，已知正方形A的边长为4，正方形B的边长为3，则阴影部分面积是（    ） A．3 B． C．4 D．8 【变式18-1】（22-23八年级下·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点．则点的坐标为 ．    【变式18-2】（24-25八年级下·河北保定·期中）综合与探究 如图，在正方形中，点（不与点，重合）在对角线所在的直线上，连接．过点作，交直线于点． (1)如图1，当点在对角线上时，求证：． (2)如图2，当点在的延长线上时，（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)若正方形的边长为5，，直接写出由，，，四点构成的四边形的面积． 【考点题型十九】多边形对角线的条数问题（） 【例19】（23-24八年级上·河北沧州·期中）琪琪在操作课上将三角形剪掉一个角后得到四边形，则下列判断错误的是（    ）    A．变成四边形后对角线增加了两条 B．变成四边形后内角和增加了 C．外角和没有发生变化 D．若剪掉的角的度数是，则 【变式19-1】（23-24八年级上·河北保定·期中）若从n边形的一个顶点出发，可以画出4条对角线，则n的值是 ． 【变式19-2】．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）已知一个边形的每一个外角都等于． (1)该边形______________是正边形（填“一定”或“不一定”）； (2)求这个边形的内角和； (3)从这个边形的一个顶点出发，可以画出______________条对角线． 【考点题型二十】多边形内角和问题（） 【例20】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）正十二边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【变式20-1】（八年级下·河北沧州·期末）求下列多边形的边数，若一个边形的内角和是外角和的倍，则 ． 【变式20-2】（八年级下·河北秦皇岛·期末）小刚计算一个多边形的内角和求得结果为900°．老师指出他的计算结果不对．小刚重新检查，发现多数了一条边． (1)你知道这个多边形是几边形吗?你是怎么知道的? (2)这个多边形的内角和与外角和有什么样的数量关系？ 【考点题型二十一】正多边形的内角问题（） 【例21】（2024·河北·中考真题）直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式21-1】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）有一条公共边的正五边形与正六边形按如图所示的方式摆放，则的度数为 ；连接并延长交正六边形的边于点，则的度数为 ．    【变式21-2】（八年级下·河北保定·期末）如图是一组正多边形． （1）观察每个正多边形中的∠α，完成下列表格： 正多边形的边数 3 4 5 6 …… n ∠α的度数 60° 45° 　　 　　 …… 　　 （2）根据规律，请你计算正十二边形中的∠α的度数； （3）是否存在正n边形使得∠α＝11°？若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由． 【考点题型二十二】多边形内角和与外角和综合（） 【例22】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，五边形的每个内角都相等，边在直线上，现将五边形绕点按顺时针方向旋转一定角度，使五边形的边落在直线l上，则五边形旋转的最小角度是（    ） A． B． C． D． 【变式22-1】（21-22八年级下·河北石家庄·期中）一个多边形的内角和是1080度，这个多边形的边数为 ，其外角和为 ． 【变式22-2】（22-23八年级下·河北保定·期末）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后深入思考，继续探究多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有的数量关系．    (1)如图1，与，之间的数量关系为______．若，，则______． (2)如图2，是四边形ABCD的外角，求证：． (3)若n边形的一个外角为，与其不相邻的内角之和为，则x，y与n的数量关系是______． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$