第3讲 平行线的判定 培优讲义 2024-2025学年人教版七年级数学下册

平行线的判定 题型一 三线八角 方法技巧 1.两条直线被第三条直线所截形成的8个角中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角. 2.同位角形如字母“F”(或倒置、反置)；内错角形如字母“Z”(或反置)；同旁内角形如字母“U”(或倒置、反置). 3.三种角讲的都是位置关系，而不是大小关系，通常情况下，其大小是不确定的. 【例1】 在∠1至∠8这8个角中，同位角、内错角、同旁内角各有几对，请分别写出来. 题型二 平行公理及其推论 方法技巧 (1)平行公理体现了平行线的存在性和唯一性，平行公理的推论体现了平行线的传递性，它们都可以作为以后推理的依据. (2)平行公理中强调“经过直线外一点”，而垂线性质中只要求“经过一点”，不限定点是否在直线上. 【例2】 下列说法中正确的是( ). A.过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C.因为 所以a∥d D.一条直线的平行线只有一条 题型三 平行线的判定——两步导角证平行 方法技巧 1.已知角相等导角证平行. 2.通过角的数量关系证平行. 3.通过同角(等角)的余角相等，对顶角相等，角平分线得等角，再证平行. 【例3】 如图，已知CD平分 ，试判断AC与DE 的位置关系，并说明理由. 题型四 平行线的判定方法+平行公理推论证平行 【例4】 如图, ，试说明： 题型五 作辅助线证折线中的平行关系 方法技巧 有些平行线的证明，无法直接导出相等角，此时考虑连线或作平行线转化角. 【例5】 如图，在长方形ABCD中，点E在BA 的延长线上，点F在BC的延长线上，AM平分 CN平分 (1)直接写出图中 的所有同位角； (2)求证: 针对练习1 1.一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的方向与角度可能是( ) A.第一次向左拐 ，第二次向右拐. B.第一次向右拐 ，第二次向左拐 C.第一次向右拐 ，第二次向右拐 D.第一次向左拐 ，第二次向左拐 2.平面上有2018条直线，若 ，那么 和a₂018的位置关系是 . 3.如图,直线AB,CD被直线EF 所截, ，那么 请说明理由. 4.如图,直线 EF 与直线AB,CD分别相交于点M,N,直线 PT经过点 M, ∠QND,∠AMT=∠QND. (1)求证:MP∥NQ;(2)AB∥CD. 5.在长方形ABCD中. (1)如图1,若CD=3,BD=5,BC=4,AE⊥BD于点E,P是BD 上一动点,连接CP,当CP为何值时,CP∥AE? 说明理由; (2)如图2,若 ,P为BC 上一动点,将三角形 ABP 沿AP 翻折到三角形 AEP 位置,当∠BAP 等于多少度时AE∥BD? 说明理由. 【板块一】 平行线的判定 题型一 三线八角 方法技巧 1.两条直线被第三条直线所截形成的8个角中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角. 2.同位角形如字母“F”(或倒置、反置)；内错角形如字母“Z”(或反置)；同旁内角形如字母“U”(或倒置、反置). 3.三种角讲的都是位置关系，而不是大小关系，通常情况下，其大小是不确定的. 【例1】 在 至 这8个角中，同位角、内错角、同旁内角各有几对，请分别写出来. 【分析】 1.在做这样的题时，要一个角一个角的找，必须细心； 2.按照字母形状帮助识别同位角、内错角和同旁内角. 【解答】 同位角有2对：∠1和. 和 内错角有4对:∠3和∠6,∠4和 和 和 同旁内角有7对：∠1和 和 和 ∠3和∠7,∠4和∠5,∠4和 和 题型二 平行公理及其推论 方法技巧 (1)平行公理体现了平行线的存在性和唯一性，平行公理的推论体现了平行线的传递性，它们都可以作为以后推理的依据. (2)平行公理中强调“经过直线外一点”，而垂线性质中只要求“经过一点”，不限定点是否在直线上. 【例2】 下列说法中正确的是( B ). A.过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C.因为 所以 D.一条直线的平行线只有一条 【分析】 平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，而垂线性质中的“过一点”的“点”既可以在直线上，也可以在直线外，要注意二者的区别. 【解答】 选B. 题型三 平行线的判定——两步导角证平行 方法技巧 1.已知角相等导角证平行. 2.通过角的数量关系证平行. 3.通过同角(等角)的余角相等，对顶角相等，角平分线得等角，再证平行. 【例3】 如图，已知CD平分. ，试判断AC与DE 的位置关系，并说明理由. 【分析】 直接利用角平分线的定义结合已知得出∠ACD=∠2，即可得出答案. 【解答】 AC∥DE.理由:∵CD平分∠ACB,∴∠1=∠ACD. ∵∠1=∠2,∴∠ACD=∠2,∴AC∥DE. 题型四 平行线的判定方法+平行公理推论证平行 【例4】 如图, ，试说明： 【分析】 由同旁内角互补及内错角相等，可以推出 再由平行公理的推论推出AD∥EF. 【解答】 ∵∠A+∠B=180°, ∴AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行). ∵∠EFC=∠DCG,∴EF∥BC (内错角相等,两直线平行). ∴AD∥EF(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行). 题型五 作辅助线证折线中的平行关系 方法技巧 有些平行线的证明，无法直接导出相等角，此时考虑连线或作平行线转化角. 【例5】 如图，在长方形ABCD中，点E在BA 的延长线上，点F在BC 的延长线上，AM平分 CN平分∠DCF. (1)直接写出图中∠ABC的所有同位角； (2)求证:AM∥CN. 【分析】 (1)注意有多个同位角，利用F型定同位角； (2)可以用多种方法证明. 【解答】 (1)∠ABC的同位角有 (2)方法一:作∠ADC的平分线DH,易证。 ∴AM∥HD,HD∥CN(内错角相等,两直线平行). ∴AM∥CN(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行). 方法二：作∠ABC的平分线BG，同上面一样的方法进行证明； 方法三:连接AC,∵∠ADC=90°,∴∠DAC+∠ACD=90°. 易证 针对练习1 1.一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的方向与角度可能是( A ) A.第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B.第一次向右拐 第二次向左拐 C.第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D.第一次向左拐 第二次向左拐 2.平面上有2018条直线，若 ，那么 和a2018的位置关系是 a₁⊥a2018 3.如图,直线AB,CD被直线EF 所截, 那么 ，请说明理由. 【解答】 ∵∠MND=∠CNF(对顶角相等), ∠CNF=∠BME(已知), (等量代换). ∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行). 又∵∠1=∠2(已知), ∴∠1+∠BME=∠2+∠MND(等式性质), 即∠EMP=∠MNQ. ∴MP∥NQ(同位角相等，两直线平行). 4.如图,直线 EF 与直线AB,CD分别相交于点M,N,直线 PT 经过点M, ∠QND,∠AMT=∠QND. (1)求证:MP∥NQ;(2)AB∥CD. 【解答】 (1)∵∠AMT=∠PMB(对顶角相等),∠AMT=∠QND, ∴∠PMB=∠QND(等式性质或等量代换). ∵∠MQN=∠BMQ+∠QND,∴∠MQN=∠BMQ+∠PMB=∠PMQ. ∴MP∥NQ(内错角相等两直线平行). (2)作∠GQN=∠QND.∵∠MQN=∠BMQ+∠QND=∠MQG+∠GQN, ∴∠BMQ=∠MQG.∴AB∥GQ.又∠GQN=∠QND, ∴GQ∥CD.又AB∥GQ,∴AB∥CD. 5.在长方形ABCD中. (1)如图1,若CD=3,BD=5,BC=4,AE⊥BD于点E,P是BD 上一动点,连接CP,当CP为何值时,CP∥AE? 说明理由; (2)如图2,若∠ADB=20°,P为BC 上一动点,将三角形ABP 沿AP 翻折到三角形AEP 位置,当∠BAP等于多少度时AE∥BD? 说明理由. 【解答】(1)当CP⊥BD时, 理由如下： ∵AE⊥BD,CP⊥BD,∴∠AED=∠CPB=90°.∴CP∥AE. 三角形ABD的面积为 (2)设∠BAP=x,则∠EAP=∠BAP=x. 当∠EAD=∠ADB=20°时,AE∥BD,此时∠DAP=∠PAE-∠EAD=x-20°, 又∠BAD=∠BAP+∠DAP=x+x-20°=90°,∴x=55°, 故当∠BAP=55°时,AE∥BD. 学科网（北京）股份有限公司 $$