精品解析：浙江省9+1联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题

2024学年第二学期浙江省9+1高中联盟高二年级期中考试 数学 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3.所有答案必须写在答题卷上，大卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接检验得集合中只有1不满足集合中的条件，从而确定两集合的交集，得到答案. 【详解】， 所以， 故选：C 2. 若复数满足（其中i为虚数单位），则复平面内该复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】设复数，根据复数相等的概念求的值，再根据复数的几何意义确定该复数所对应的点所在的象限. 【详解】设复数，则， 则，即. 所以复数对应的点在第一象限. 故选：A 3. 已知、、是球的球面上三个点，且，球心到平面的距离为1，则球的表面积为（ ）. A. . B. . C. . D. . 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理求解外接圆的半径，即可根据球的性质求解球半径，由表面积公式求解即可. 【详解】设球O的半径为R，为正三角形，设其外接圆的半径为r，则. 因为球心O到平面的距离为1，所以， 从而球O的表面积为. 故选：B. 4. 已知为等比数列的前项和，且，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要. B. 必要不充分. C. 充分必要. D. 既不充分也不必要. 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件与必要条件的定义以及等比数列的前和公式即可得出选项. 【详解】因为，当时，则，所以， 当时，，解得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 已知，，，则，b，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，利用导数探讨单调性建立不等式，再赋值即可比较大小. 【详解】令函数，求导得， 函数在上单调递减，则，即当时，，且， 因此，，即， 所以，b，的大小关系为. 故选：C 6. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点（其中点在第一象限），点到抛物线的准线的距离为，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，根据焦半径公式求出，从而求出的坐标，即可求出直线，联立直线与抛物线方程，求出点坐标，再由焦半径公式计算可得. 【详解】抛物线：的焦点为，准线方程为， 因为点到抛物线的准线的距离为，所以，解得，所以，解得（负值舍去）， 即，所以直线的方程为， 由，解得或，所以， 所以. 故选：D 7. 从0，1，2，3，4，5这6个数中任选2个奇数和1个偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为（ ） A. 36 B. 42 C. 48 D. 54 【答案】C 【解析】 【分析】分三位数中含有0，和不含0两种情况，利用排列组合知识进行求解，相加可得答案. 【详解】若三位数中含有0，则从1,3,5中选2个奇数，有种方法， 0可以放在个位或十位，故组成没有重复数字的三位数个数为， 若三位数中不含有0，从2,4中选一个偶数，从1,3,5中选2个奇数，进行全排列， 有种方法， 综上，共有个没有重复数字的三位数. 故选：C 8. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，边上的高为2，且，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据三角形面积相等得到，再由正弦定理及和差角的正弦公式将化简得到，从而解出的值，进而求出的值，再利用余弦定理求出，即可求出的周长. 详解】 作于，即， 所以， 又因为，所以. 因为，由正弦定理可得， ， 又因为， 所以， 即， 因为，所以， 所以，又因为， 又因为，所以，所以， 所以解得， 将代入可得. 在中，由余弦定理 可得，即， 解得或（舍）. 所以的周长为， 故选：D 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1~8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 事件B与C互斥 D. 事件A与B相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，先写出事件所包含的样本点，再根据古典概型的概率公式计算即可判断；对于B，分别求出，，再根据条件概率的公式计算即可判断；对于C，根据互斥事件的定义判断即可；对于D，根据相互独立事件的概率公式判断即可. 【详解】由题意可知事件，事件，事件， 对于A，因为事件，所以，故A正确； 对于B，因为事件，所以，而， 所以，故B正确； 对于C，因为事件，故事件可以同时发生， 所以事件B与C不互斥，故C错误； 对于D，因为事件，所以， 而，，且， 所以事件A与B相互独立，故D正确. 故选：ABD 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点中心对称 C. 将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象 D. 函数在区间上单调递增 【答案】AB 【解析】 【分析】根据正弦函数的周期即可判断A；根据正弦函数的对称性即可判断B；根据左右平移的原则即可判断C；根据正弦函数的单调性即可判断D. 【详解】对于A，的周期，所以 A 正确； 对于B，因为 ， 所以函数的图象关于点中心对称 ，故B正确； 对于C，将的图象向左平移个单位长度， 得到的图象，故C错误； 对于D中，因为，所以， 所以在上不单调，故D错误. 故选：AB. 11. 已知函数与交于两点，如图截取两函数在之间部分图象得到一条封闭曲线，则（ ） A. 关于直线对称 B. 若点的横坐标为，则 C. 上的点到直线距离的最大值为 D. 是上互异的两点，分别过作的切线，斜率记为，，若，称为的一组关联点，则的关联点有无数组 【答案】BCD 【解析】 【分析】由反函数的性质即可判断A,D；通过赋值法即可判断B；由点到直线的距离公式及导数求函数单调性即可判断C. 【详解】对于A，由函数，得， 故函数与函数互为反函数， 所以封闭曲线关于直线对称，故A错误； 对于B，当时，， 当时，， 所以， 即点的横坐标为，且，故B正确； 对于C，设函数上一点，即， 则点到直线的距离为 ， 令，则， 令，解得， 令，解得， 所以函数在单调递增，在单调递减， 所以， 故，故C正确； 对于D，因为封闭曲线关于直线对称， 所以对任意点，存在对称点，满足， 故由对称性导致存在无数对关联点，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中的常数项为______. 【答案】8 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】展开式的通项公式为，， 令，所以的展开式中的常数项为， 故答案为：8. 13. 已知点，直线被圆所截得弦的中点为N，则的最大值是________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定点的轨迹为圆，再根据圆外一点到圆上的点的距离的最值的求法确定的最大值. 【详解】如图： 因为直线过点， 设直线与圆相交于两点，为中点，则. 当点重合时，在中，为中点，所以. 所以弦的中点在以为圆心，1为半径的圆上，易知点也在该圆上. 所以. 故答案为： 14. 若三次函数有三个相异且成等差的零点，则a的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】求定义域，求导，根据零点个数得到，解得，设的三个相异的零点为，，故，，，，化简得到，因为，所以，解得，将其代入得，，又，故，解得. 【详解】定义域为R， ，时，恒成立， 故在R上单调递增，不会有三个零点，舍去， 故，解得， 设的三个相异的零点为，，故， 又①，②，③， 式子①-②得， 即， 故， 因为，所以④， 式子③-②得， 即， 故， 因为，所以⑤， 式子④-⑤得， 即， 因为，所以， 因为，所以，解得， 将其代入②得，， 即，， 又，故，又，解得. 故答案为： 四、解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点M为的中点，连接. （1）求三棱锥的体积； （2）求异面直线与所成的角的余弦值. 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）过点M作，可得为三棱锥高，进而利用棱锥体积公式计算三棱锥的体积； （2）设，连接，可知（或其补角）即为异面直线与所成的角,然后利用线面垂直判定定理和性质可得，进而计算各边长度，最后利用余弦定理计算即可. 【小问1详解】 过点M作， ∵平面，∴平面， 即为三棱锥的高. 又∵点M为中点，∴ 又底面为矩形，可知 ∴三棱锥的体积. 【小问2详解】 设，∵底面为矩形，∴为线段中点. 连接，∵点M为的中点，∴. 则（或其补角）即为异面直线与所成的角. ∵底面，平面, ∴, 又∵，, ∴,, 又∵点M为的中点，∴， ∵底面，平面,∴, 又∵底面为矩形，∴, 又∵平面,, ∴平面, 又∵平面,∴,为直角， 又∵, ∴, 在中，，，， 所以. 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 16. D公司开发了两款AI图像检测模型（分别记为甲模型、乙模型），用于检测图像中的特定目标.已知甲模型在单张图像中检测到目标的概率为，乙模型在单张图像中检测到目标的概率为.假设每张图像在同一模型中的检测结果相互独立，现用甲、乙模型分别独立地检测3张图像，记甲模型检测到目标的图像张数为X，乙模型检测到目标的图像张数为Y. （1）写出随机变量X的分布列、均值及方差. （2）求事件“”的概率. 【答案】（1）分布列见解析，，. （2） 【解析】 【分析】（1），得到分布列，利用二项分布求期望公式和方差公式求出答案； （2）可分为四种情况，，，和，得到相应的概率，相加可得概率. 【小问1详解】 由题可知随机变量服从二项分布：， ，， ，， 所以随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 均值为，； 【小问2详解】 由题可知“”的情况可分为四类： ①时，， ②时，， ③时，， ④时，， 所以. 17. 已知，. （1）令，讨论的单调性和极值； （2）若时，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数的单调性及极值情况； （2）变形得到，在时恒成立，令，求导，由于，故，所以，下面证明时，恒成立，放缩得，令，；求导，得到其单调性，，证明出结论. 【小问1详解】 ，定义域为， ，； ①时，恒成立，在上单调递增，没有极值； ②时，令，则，；解得， 令，则，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 故极大值为，无极小值； 【小问2详解】 ，恒成立；即，在时恒成立； 令，； ∵，∴即，； 下面证明：时，恒成立. ∵； 令，； ； ∴在单调递减； 又∵，∴； ∴恒成立，证毕. 所以的取值范围为. 18. 已知双曲线的顶点与椭圆：的左右顶点，重合，且离心率为. （1）求双曲线的标准方程. （2）过双曲线上一点（位于第一象限）作切线，分别与轴，轴交于两点，与椭圆交于两点. （i）若点的横坐标成等差数列，求直线的斜率. （ii）已知的面积为，求点的坐标. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）或. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线离心率及左右顶点即可求解； （2）（i）设：，切点，联立直线与双曲线，求出，再根据点的横坐标成等差数列，即，最后计算即可； （ii）设，，联立切线：与椭圆，根据弦长公式求及点到直线的距离，最后由求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，椭圆左右顶点，分别为，， 而双曲线的顶点与，重合. 故可设双曲线的标准方程为，此时； 由得，即. 因此双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 （i）由题意可得，切线斜率存在， 不妨设：，切点， 联立方程：，整理可得：， 由于与双曲线相切： 因此，即， 经化简可得：（*） 此时，，且，， 若点的横坐标成等差数列， 则，即， 若，则根据（*）式可得，， 此时为双曲线的渐近线，不可能为切线， 故，解得， 所以（切点在第一象限） （ii）不妨设，，此时切线：与椭圆联立： ，整理得：（※） （※）式中，恒成立， 此时， 解得，或，， 则的坐标为或. 19. 无穷整数数列满足，对任意的，记为数列中小于k的项的个数，称数列是数列的“联盟数列”. （1）若数列有前9项分别为1，1，2，4，5，7，7，9，9，写出数列的“联盟数列”的前七项； （2）若数列的“联盟数列”为，数列的“联盟数列”为， （i）证明：； （ii）记，，证明：. 【答案】（1），，，，，， （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“联盟数列”的概念求解. （2）（i）根据“联盟数列”的概念和性质进行证明； （ii）结合（i）的结论，分析数列，各项的构成，结合不等式的基本性质，进行证明. 【小问1详解】 设数列的“联盟数列”为，根据“联盟数列”的概念，可得： ，，，，，，； 【小问2详解】 （i）表示数列中小于的项的个数，表示数列中小于的项的个数， 显然，因此， 设联盟数列中的任意一项， 则由“联盟数列”的定义可知，， 这表明在数列中，，， 又因为，则 所以. （ii）在数列中，有个0，个1，个2，…...，个，剩下的项为. 所以 当时， 令，，则 那么，则 所以 当时，，此时由（i）可知，的“联盟数列”是，交换和的位置，重复上述讨论即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期浙江省9+1高中联盟高二年级期中考试 数学 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3.所有答案必须写在答题卷上，大卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 若复数满足（其中i为虚数单位），则复平面内该复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知、、是球的球面上三个点，且，球心到平面的距离为1，则球的表面积为（ ）. A. . B. . C. . D. . 4. 已知为等比数列的前项和，且，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要. B. 必要不充分. C. 充分必要. D. 既不充分也不必要. 5. 已知，，，则，b，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点（其中点在第一象限），点到抛物线的准线的距离为，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 7. 从0，1，2，3，4，5这6个数中任选2个奇数和1个偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为（ ） A. 36 B. 42 C. 48 D. 54 8. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，边上的高为2，且，则的周长为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1~8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 事件B与C互斥 D. 事件A与B相互独立 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A B. 函数图象关于点中心对称 C. 将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象 D. 函数在区间上单调递增 11. 已知函数与交于两点，如图截取两函数在之间部分图象得到一条封闭曲线，则（ ） A. 关于直线对称 B. 若点的横坐标为，则 C. 上的点到直线距离的最大值为 D. 是上互异的两点，分别过作的切线，斜率记为，，若，称为的一组关联点，则的关联点有无数组 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中的常数项为______. 13. 已知点，直线被圆所截得弦的中点为N，则的最大值是________. 14. 若三次函数有三个相异且成等差的零点，则a的取值范围为________. 四、解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点M为的中点，连接. （1）求三棱锥的体积； （2）求异面直线与所成的角的余弦值. 16. D公司开发了两款AI图像检测模型（分别记为甲模型、乙模型），用于检测图像中的特定目标.已知甲模型在单张图像中检测到目标的概率为，乙模型在单张图像中检测到目标的概率为.假设每张图像在同一模型中的检测结果相互独立，现用甲、乙模型分别独立地检测3张图像，记甲模型检测到目标的图像张数为X，乙模型检测到目标的图像张数为Y. （1）写出随机变量X的分布列、均值及方差. （2）求事件“”的概率. 17. 已知，. （1）令，讨论的单调性和极值； （2）若时，不等式恒成立，求的取值范围. 18. 已知双曲线的顶点与椭圆：的左右顶点，重合，且离心率为. （1）求双曲线的标准方程. （2）过双曲线上一点（位于第一象限）作切线，分别与轴，轴交于两点，与椭圆交于两点. （i）若点横坐标成等差数列，求直线的斜率. （ii）已知的面积为，求点的坐标. 19. 无穷整数数列满足，对任意的，记为数列中小于k的项的个数，称数列是数列的“联盟数列”. （1）若数列有前9项分别为1，1，2，4，5，7，7，9，9，写出数列的“联盟数列”的前七项； （2）若数列的“联盟数列”为，数列的“联盟数列”为， （i）证明：； （ii）记，，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$