期末押题卷（一）-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京版）

期末押题卷（北京版）（一） 八年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：北京版八年级下册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2025·山东济南·一模）未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁·期末）若关于的一元二次方程 有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 3．（24-25九年级上·山东枣庄·期末）某同学用图1的六个全等纸片拼接出图2，图2的外轮廓是正六边形．如果用若干个纸片按照图3所示的方法拼接，外轮廓是正边形图案，那么的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（2025·湖南长沙·一模）年月日，以“走起来就青春”为主题的第一届全国全民健身大赛“湖南（秋季）百公里”从洋湖湿地公园开启，数千名毅行者沿湘江大堤徒步跨越长株潭三城，活动全程近．第一天上午，学生小毅跟随大部队从白鹭广场出发，匀速徒步至巴溪洲广场，休整后再从巴溪洲广场匀速徒步至湘江保利时代．他徒步的路程与其所用时间之间的图象如图所示，则当他徒步小时后（含中途休整时间），他离终点目标的路程为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·江西赣州·阶段练习）为了解公园用地面积（单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地个公园的用地面积，按照，，，，的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法错误的是（   ） A．的值为 B．用地面积在这一组的公园个数最多 C．用地面积在这一组的公园个数最少 D．这个公园中有一半以上的公园用地面积不超过公顷 6．（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 7．（23-24八年级下·北京房山·期末）关于函数和函数，有以下结论： ①当时，的取值范围是；②随x的增大而增大； ③函数的图象与函数的图象的交点一定在第一象限； ④若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则。上述结论正确的是（    ） A．①④ B．②③ C．③④ D．①② 8．（24-25八年级下·重庆大足·阶段练习）如图，正方形纸片中，对角线、交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点A恰好与上的点F重合，展开后折痕分别交、于点E、G，连接，给出下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤；⑥若，则正方形的面积是，其中正确的结论个数为（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分，答案写在答题卡上） 9．（23-24八年级下·北京平谷·期末）某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙两家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传，该平台邀请部分曾在这两家民宿体验过的游客参与调查，得到了这两家民宿的“综合满意度”评分．现从这两家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理，绘制出折线图如下： 设甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的方差分别是，，则 ．（填“”或“”） 10．（24-25八年级下·重庆江北·开学考试）若关于x的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与y轴相交于正半轴，则整数m的值为 ． 11．（24-25九年级下·山西朔州·阶段练习）如图是一张长的矩形铁皮，将其按如图方式分别剪去两个全等的矩形和两个全等的正方形，剩余部分（阴影部分）可制成表面积为的长方体铁盒．若设剪去的小正方形的边长为，则根据题意，可列方程为 ． 12．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）在四边形中，对角线，，顺次连接四边形各边的中点，，，，则所得四边形的形状为 ． 13．（2025·安徽合肥·一模）为了适应新的考试评价改革，需要对学生的原始分进行转换．某班一次数学测试中，全班最高分是95分，最低分是45分．现将全班学生成绩作线性转换，原始分记为，转换后的分数记为，满足，其中．转换后使得最高分为100分，最低分为30分． （1）某同学原始分是80分，则转换后的分数是 ． （2）若全班原始分数的方差是225，则转换后的班级分数的方差是 ． 方差参考公式： 14．（2025·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别交轴于点．以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足照此规律进行下去，则的面积为 ． 15．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则．其中正确的序号有 16．（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在矩形中，，为对角线，为的中点，过点作，与交于点，与交于点，为上一点（包含顶点，），则的最大值为 ． 三、解答题（本题共12小题，共68分。其中：17-18题每题4分，19-20题每题6分，21-22题每题5分，23-26题每题6分，27-28题每题7分，答案写在答题卡上） 17．（24-25九年级上·广东佛山·期中）解方程：(1)．(2)． 18．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）某校为了选择初二年级的一名同学去参加环保知识竞赛，对他们进行了5次环保知识测试，已知小明的5次测试成绩分别为96分，90分，87分，87分，90分，小白的5次测试成绩的平均数为90分，方差为，请计算并说明选哪位同学参加比赛比较合适？ 19．（23-24八年级下·宁夏中卫·期末）如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是． (1)将向上平移个单位长度，得到，画出； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出； (3)连接、，则四边形的形状是______，连接，则四边形的形状是______． 20．（23-24八年级下·北京石景山·期末）2024年5月12日是我国第16个防灾减灾日，某校为增强学生的防灾减灾意识，提高防灾减灾能力，开展了相关科普知识竞赛．为了解学生的竞赛情况，从学校200名学生中随机抽取40名学生的成绩（百分制）数据，整理并绘制了如下统计图表： 40名学生成绩的频数分布表（表1） 积分x（分） 频数 频率 3 a 14 m 5 合计 40 根据以上信息，回答下列问题： (1)表1中的值为______，的值为______；(2)补全频数分布直方图，并在图上标出数据；(3)若对成绩不低于分的学生进行奖励，请依据样本数据，估计学校名学生中获得奖励的学生有______名． 21．（23-24八年级下·福建福州·期中）根据要求作图． (1)如图1，平行四边形，点E，F分别在边上，且，连接．请你只用无刻度直尺画出线段的中点O．(2)如图2，平行四边形，点E在边上，请你只用无刻度直尺在边上找一点F，使得四边形为平行四边形．（保留画图痕迹，不必说明理由）． 22．（24-25九年级上·广东汕尾·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)若时，求方程的根；(2)求m的取值范围． 23．（2024八年级下·北京·专题练习）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连结，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求的长．    24．（24-25九年级上·重庆·期中）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，某商场在销售中发现：“弗里热”纪念品的进价为每件25元． 当纪念品售价为每件40元时，每月销售量达到400件． 若纪念品售价每降价1元，销售量就会增加5件．(1)若每件纪念品降价x元时，则平均每月销售这种纪念品 件（用含x的代数式表示）．(2)求当纪念品每降价多少元时，商场可以获利4250元？ 25．（24-25八年级上·广东佛山·期末） 主题 关于如何扭转汽车客运线路亏损的问题 问题情境 随着轨道交通的便利，私家车的普及，网约车的流行，某汽车客运公司的乘客量比以往减少．近期有一条运营线路处于亏损运营状态． 问题探究 （1）公司做了大量的市场调研，将有关数据进行分析整理，发现收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）的关系可近似看作一次函数（图像如图1所示），写出图1中点A和点B的实际意义．    （2）汽车客运公司在调研后邀请了一些乘客代表来研讨扭亏方案．在讨论中，有乘客代表认为，市民出行选择方式增多，客运公司应该改变观念，改善管理，降低运营成本．客运公司行政代表认为，运营成本难以下降，提高票价才能扭亏． 你认为图2和图3两个图示中，反映乘客代表意见的是_______，反映客运公司行政代表意见的是_______．      问题解决 （3）汽车客运公司通过市场调研，发现该线路一周内每天的乘客数量如下表所示： 26．（2025·山东泰安·一模）定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A、． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______．(2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，①求出点坐标；②求出的面积． 27．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动、如图1，小华将矩形纸片折叠，点C落在边上的点F处，折痕为，连接，然后将纸片展开．(1)四边形的形状为______；(2)如图2，点G是上一点，且，连接，平分交于点M，连接，猜想和的数量关系并加以证明； (3)在（2）的条件下，如图3，过点M作，垂足为点 ①求的值；②若，，请直接写出四边形的面积． 28．（23-24八年级下·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，对于点和图形，给出如下定义：如果图形上存在点，使得，那么称点为图形的“拉手点”．已知点，． (1)在点，，中，线段的“拉手点”是______； (2)若直线上存在线段的“拉手点”，求的取值范围；(3)是边长为的正方形的对角线的交点，若正方形上存在线段的“拉手点”，直接写出的取值范围． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末押题卷（北京版）（一） 八年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：北京版八年级下册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2025·山东济南·一模）未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A，不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； B，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C，不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； D，是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；故选D． 2．（24-25九年级上·辽宁·期末）若关于的一元二次方程 有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，且，解得且，故选：． 3．（24-25九年级上·山东枣庄·期末）某同学用图1的六个全等纸片拼接出图2，图2的外轮廓是正六边形．如果用若干个纸片按照图3所示的方法拼接，外轮廓是正边形图案，那么的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形，解题关键是熟练掌握正多边形的每个内角的求法和外角和．先根据正六边形的每个内角是，求出，再求出，从而求出图3中正多边形每个内角的度数，从而求出每个外角的度数，最后根据多边形外角和为，列出算式求出即可． 【详解】解：正六边形每个内角是，，， 图3中正多边形的每个内角为，，故选：C． 4．（2025·湖南长沙·一模）年月日，以“走起来就青春”为主题的第一届全国全民健身大赛“湖南（秋季）百公里”从洋湖湿地公园开启，数千名毅行者沿湘江大堤徒步跨越长株潭三城，活动全程近．第一天上午，学生小毅跟随大部队从白鹭广场出发，匀速徒步至巴溪洲广场，休整后再从巴溪洲广场匀速徒步至湘江保利时代．他徒步的路程与其所用时间之间的图象如图所示，则当他徒步小时后（含中途休整时间），他离终点目标的路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由函数图象可得，小毅从巴溪洲广场匀速徒步至湘江保利时代的速度为， ∴他徒步小时后（含中途休整时间）的路程为， ∴他离终点目标的路程为，故选：． 5．（24-25九年级下·江西赣州·阶段练习）为了解公园用地面积（单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地个公园的用地面积，按照，，，，的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法错误的是（   ） A．的值为 B．用地面积在这一组的公园个数最多 C．用地面积在这一组的公园个数最少 D．这个公园中有一半以上的公园用地面积不超过公顷 【答案】C 【详解】解：A、由题意可得：，故A说法正确，不符合题意； B、用地面积在这一组的公园个数有个，数量最多，故B说法正确，不符合题意； C、用地面积在这一组的公园个数最少，故C说法不正确，符合题意； D、这个公园中有个公园用地面积不超过公顷，超过一半，故D说法正确，不符合题意；故选：C． 6．（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：四边形是平行四边形，，，，，， ，，， 的平分线和的平分线交于上一点， ，， ，，， ，，， ，；故选：C． 7．（23-24八年级下·北京房山·期末）关于函数和函数，有以下结论： ①当时，的取值范围是；②随x的增大而增大； ③函数的图象与函数的图象的交点一定在第一象限； ④若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则。上述结论正确的是（    ） A．①④ B．②③ C．③④ D．①② 【答案】A 【详解】解：①当时，，当时，，而一次函数，y随x的增大而增大，所以，所以①正确；②一次函数，y随x的增大而减小，因此②不正确； ③联立，解得，则函数的图象与函数的图象的交点坐标为，当时，，此时交点在第四象限，所以③不正确； ④若点在函数图象上，在函数图象上，则， ，即，，当时，，即，因此④正确．综上所述，正确的结论有①④．故选A． 8．（24-25八年级下·重庆大足·阶段练习）如图，正方形纸片中，对角线、交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点A恰好与上的点F重合，展开后折痕分别交、于点E、G，连接，给出下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤；⑥若，则正方形的面积是，其中正确的结论个数为（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：四边形是正方形，∴， 由折叠的性质可得：，故①正确． 由折叠的性质可得：，， ∴，，，故②错误． ，∴，与同高，，∴，故③错误． ∵，，∴， ∵，∴，，，， ∵，，∴，四边形是菱形，故④正确． ∴，∴，∴．故⑤正确． 四边形是菱形，，．，，是等腰直角三角形． ，，解得，∴，， ∴，∴，∴，故⑥错误． 其中正确结论的序号是：①④⑤，共三个．故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分，答案写在答题卡上） 9．（23-24八年级下·北京平谷·期末）某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙两家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传，该平台邀请部分曾在这两家民宿体验过的游客参与调查，得到了这两家民宿的“综合满意度”评分．现从这两家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理，绘制出折线图如下： 设甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的方差分别是，，则 ．（填“”或“”） 【答案】 【详解】解：由折线统计图可知，甲的数据波动比乙的数据波动大，即．故答案为：． 10．（24-25八年级下·重庆江北·开学考试）若关于x的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与y轴相交于正半轴，则整数m的值为 ． 【答案】1 【详解】解：∵点A和点B在的图象上，且当时，， ∴y随x的增大而增大，∴，解得：， 又∵一次函数与y轴交于点，且直线与y轴相交于正半轴， ∴，∴，∴整数m的值为．故答案为：． 11．（24-25九年级下·山西朔州·阶段练习）如图是一张长的矩形铁皮，将其按如图方式分别剪去两个全等的矩形和两个全等的正方形，剩余部分（阴影部分）可制成表面积为的长方体铁盒．若设剪去的小正方形的边长为，则根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：在组成铁盒的长方体中，四个长方形的长为，宽为，两个小正方形的边长均为，∵长方体铁盒的表面积为， ∴可列方程为，故答案为：． 12．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）在四边形中，对角线，，顺次连接四边形各边的中点，，，，则所得四边形的形状为 ． 【答案】正方形 【详解】解：如图所示： 在中，，分别是，的中点，∴是的中位线， ∴，同理，，． ∵，∴，∴四边形是菱形， 设与交于点，与交于点， 在中，，分别是，的中点，∴，同理， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴四边形是正方形．故答案为：正方形． 13．（2025·安徽合肥·一模）为了适应新的考试评价改革，需要对学生的原始分进行转换．某班一次数学测试中，全班最高分是95分，最低分是45分．现将全班学生成绩作线性转换，原始分记为，转换后的分数记为，满足，其中．转换后使得最高分为100分，最低分为30分． （1）某同学原始分是80分，则转换后的分数是 ． （2）若全班原始分数的方差是225，则转换后的班级分数的方差是 ． 方差参考公式： 【答案】 79 441 【详解】解：（1）由转换分规则， 得，解得，∴， 当时，； （2）∵，，，…，． ． ∴ ． 14．（2025·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别交轴于点．以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足照此规律进行下去，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵直线：与y轴交于点A，∴， 直线：与y轴交于点B，∴，，， ∵，∴，又∵过点C作分别交直线与于点、， ，， 又∵过点作分别交直线与于点，， ，， 以此类推，， ，…， ， 则，故答案为：． 15．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则．其中正确的序号有 【答案】①②④ 【详解】解：①若，则方程有一个根为：，即方程有实数根，∴，故①正确； ②若方程有两个不相等的实根，则：，， ∴方程必有两个不相等的实根，故②正确； ③若是方程的一个根，则：，， 当时：；当时，不一定等于 0 ，故③错误； ④若是一元二次方程的根，则：， ∴，∴，故④正确；综上，正确的是①②④ 16．（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在矩形中，，为对角线，为的中点，过点作，与交于点，与交于点，为上一点（包含顶点，），则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，，， 在矩形中，， ，，， ，， 当三点共线（点与点）时，的值最大，即， ，，， 在中，，，， 的最大值为，故答案为：． 三、解答题（本题共12小题，共68分。其中：17-18题每题4分，19-20题每题6分，21-22题每题5分，23-26题每题6分，27-28题每题7分，答案写在答题卡上） 17．（24-25九年级上·广东佛山·期中）解方程：(1)．(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴或 解得： （2）解： ∴ ∴ ∴或 解得： 18．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）某校为了选择初二年级的一名同学去参加环保知识竞赛，对他们进行了5次环保知识测试，已知小明的5次测试成绩分别为96分，90分，87分，87分，90分，小白的5次测试成绩的平均数为90分，方差为，请计算并说明选哪位同学参加比赛比较合适？ 【答案】小白参加比赛比较合适，理由见解析 【详解】解：小明成绩的平均数为（分）， 小明成绩的方差为， 因为小明和小白成绩的平均数相等，且小白成绩的方差小于小明成绩的方差， 所以选小白参加比赛比较合适． 19．（23-24八年级下·宁夏中卫·期末）如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是． (1)将向上平移个单位长度，得到，画出； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出； (3)连接、，则四边形的形状是______，连接，则四边形的形状是______． 【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析；(3)平行四边形，平行四边形． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：∵，，∴四边形是平行四边形， ∵，，∴四边形是平行四边形，故答案为：平行四边形，平行四边形． 20．（23-24八年级下·北京石景山·期末）2024年5月12日是我国第16个防灾减灾日，某校为增强学生的防灾减灾意识，提高防灾减灾能力，开展了相关科普知识竞赛．为了解学生的竞赛情况，从学校200名学生中随机抽取40名学生的成绩（百分制）数据，整理并绘制了如下统计图表： 40名学生成绩的频数分布表（表1） 积分x（分） 频数 频率 3 a 14 m 5 合计 40 根据以上信息，回答下列问题： (1)表1中的值为______，的值为______；(2)补全频数分布直方图，并在图上标出数据；(3)若对成绩不低于分的学生进行奖励，请依据样本数据，估计学校名学生中获得奖励的学生有______名． 【答案】(1)6，；(2)见解析；(3)85 【详解】（1）解： ，故答案为：，； （2）解：对应的频数为，补全频数分布直方图如图： （3）解：（人，∴估计学校名学生中获得奖励的学生有名．故答案为：． 21．（23-24八年级下·福建福州·期中）根据要求作图． (1)如图1，平行四边形，点E，F分别在边上，且，连接．请你只用无刻度直尺画出线段的中点O．(2)如图2，平行四边形，点E在边上，请你只用无刻度直尺在边上找一点F，使得四边形为平行四边形．（保留画图痕迹，不必说明理由）． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：如图点O即为所求， ∵平行四边形，∴，∴， ∵，∴，∴； （2）如图点F即为所求， ∵平行四边形，∴，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴四边形为平行四边形． 22．（24-25九年级上·广东汕尾·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)若时，求方程的根；(2)求m的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：把代入方程得，解得； （2）解：根据题意得，解得． 23．（2024八年级下·北京·专题练习）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连结，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求的长．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：四边形是菱形，，， ，，，，四边形是平行四边形， ，四边形是矩形． （2）解：四边形是菱形，， ，是等边三角形，， 在中，，，，， 四边形是矩形，，， 在中，，答：的长为． 24．（24-25九年级上·重庆·期中）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，某商场在销售中发现：“弗里热”纪念品的进价为每件25元． 当纪念品售价为每件40元时，每月销售量达到400件． 若纪念品售价每降价1元，销售量就会增加5件． (1)若每件纪念品降价x元时，则平均每月销售这种纪念品 件（用含x的代数式表示）． (2)求当纪念品每降价多少元时，商场可以获利4250元？ 【答案】(1)(2)当商品降价5元时，商场可以获利4250元 【详解】（1）解：若每件纪念品降价x元时，则平均每月销售这种纪念品件．故答案为：． （2）解：商场可以获利， 当商场可以获利4250元时，则：， 整理得：，解得：或（不合题意舍弃）． 答：当商品降价5元时，商场可以获利4250元． 25．（24-25八年级上·广东佛山·期末） 主题 关于如何扭转汽车客运线路亏损的问题 问题情境 随着轨道交通的便利，私家车的普及，网约车的流行，某汽车客运公司的乘客量比以往减少．近期有一条运营线路处于亏损运营状态． 问题探究 （1）公司做了大量的市场调研，将有关数据进行分析整理，发现收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）的关系可近似看作一次函数（图像如图1所示），写出图1中点A和点B的实际意义．    （2）汽车客运公司在调研后邀请了一些乘客代表来研讨扭亏方案．在讨论中，有乘客代表认为，市民出行选择方式增多，客运公司应该改变观念，改善管理，降低运营成本．客运公司行政代表认为，运营成本难以下降，提高票价才能扭亏． 你认为图2和图3两个图示中，反映乘客代表意见的是_______，反映客运公司行政代表意见的是_______．      问题解决 （3）汽车客运公司通过市场调研，发现该线路一周内每天的乘客数量如下表所示： 【答案】（1）点的实际意义是客运公司的运营成本为1万元，点的实际意义是乘客有1.5万人时客运公司利润为0元；（2）图3，图2；（3）方案3更有利于汽车客运公司扭转亏损，理由见解析 【详解】解：（1）点的实际意义是客运公司的运营成本为1万元，点的实际意义是乘客有1.5万人时客运公司利润为0元； （2）观察图像可知，反映乘客代表意见的是图3，反映客运公司行政代表意见的是图2； 故答案为：图3，图2； （3）该线路一周内乘客数量为（万人），每天乘客数量平均为（万人），设原来与的函数关系式为，把，代入， 得，解得，原来与的函数关系式为； 方案1：票价不变，将运营成本降低到0.8万元，此时与的函数关系式为， 令得，客运公司平均每天利润为万元； 方案2：运营成本不变，提高票价使每万人收支差额提高到0.8万元，此时， 令得，客运公司平均每天利润为0.04万元； 方案3：将运营成本降低到0.9万元，同时提高票价，使每万人收支差额提高到0.75万元，此时， 令得，客运公司每天平均利润为0.075万元； ，方案3更有利于汽车客运公司扭转亏损． 26．（2025·山东泰安·一模）定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A、． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______．(2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，①求出点坐标；②求出的面积． 【答案】(1)，(2)①；② 【详解】（1）解： 由新定义知，的解析式 ， 把点C的坐标代入上式，得，解得，故答案为：，； （2）解：①∵一次函数图像上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ∴点D是两个函数的交点，联立解析式，得，解得，即点； ②由，得；由，得； ∴、，∴，∴． 27．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动、如图1，小华将矩形纸片折叠，点C落在边上的点F处，折痕为，连接，然后将纸片展开． (1)四边形的形状为______；(2)如图2，点G是上一点，且，连接，平分交于点M，连接，猜想和的数量关系并加以证明； (3)在（2）的条件下，如图3，过点M作，垂足为点 ①求的值；②若，，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)正方形(2)，证明见解析(3)①2；② 【详解】（1）解：四边形的形状为正方形， 理由：四边形是矩形，，， 将矩形纸片折叠，点C落在边上的点F处，折痕为， ，，，， ，，四边形是菱形， ，四边形是正方形，故答案为：正方形； （2）解：，证明：如图，连接，四边形是矩形，，， 由折叠，得，，， ，，， ，， ，， 平分，又，， ，，； （3）解：①证明：如图，过点M作于点H，作于点P，过点E作于点 ，四边形是矩形， ，，∴ 又，，，， ，，， ，平分，，， ，，； ②由（2）知是等腰直角三角形， ，，，，， 平分，，，， ，，， ，，， ，四边形的面积 28．（23-24八年级下·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，对于点和图形，给出如下定义：如果图形上存在点，使得，那么称点为图形的“拉手点”．已知点，． (1)在点，，中，线段的“拉手点”是______； (2)若直线上存在线段的“拉手点”，求的取值范围；(3)是边长为的正方形的对角线的交点，若正方形上存在线段的“拉手点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：如图， 所以，在点，，中，线段的“拉手点”是,故答案为：； （2）解：如图，当直线在点B上方时，延长交直线于点C，设直线与y轴交于点D，与x轴交于点N， ∵，．∴∴，∴， ∵在直线中，∴ ∵∴∴此时点B到直线的距离是， ∴，则，过点B作， 则，直线与线段有“拉手点”，∴； 当往下平移也满足条件，即 假设点满足，则符合直线上存在线段的“拉手点”∴∴ ∴直线上存在线段的“拉手点”，则的取值范围为 （3）解：当线段在正方形内部时，如图， 当正方形的边平行于坐标轴，且经过点时，正方形的边长最长，∴此时a的最大值为； 当线段在正方形外部时，过点O作于点G，在上截取，以点D为正方形的一个顶点，点O为对角线的交点作正方形，此时正方形的边长最小，如图所示： ∵，，∴，∵，∴，∴， ∴此时正方形的边长即a的最小值为， ∴当正方形上存在线段的“拉手点”，的取值范围为：． 12 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$