2025年九年级数学中考复习三角函数综合考前冲刺训练

2025年九年级数学中考复习

三角函数综合考前冲刺训练

 

 

1．如图，中，，，D是边的中点，连结．

  

(1)已知，求的长；

(2)求的值．

2．小明准备利用无人机测量建筑物的高度．如图所示，小明先将观测点选在建筑物对面的楼房的楼上一点A，利用无人机先测得建筑物的顶端M的俯角为，又遥控无人机沿与地面保持平行方向由点A飞行米到达点B处，此时测得该建筑物底端N的俯角为，又测得点H的俯角为，已知与均垂直地面，垂足分别为N，H（点A，B，M，N，H在同一平面内）．

(1)求的长；

(2)求建筑物的高度．（结果精确到1米）（参考数据：，，，，，，，，）

3．【问题背景】

某数学兴趣小组将矩形纸片折叠，使点与对角线上的点重合，并进行了如下研究．

【问题探究】

（1）如图1，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点的对应点为点，折痕为，判断四边形的形状，并说明理由；

（2）如图2，将矩形纸片折叠，使点与对角线的中点重合，折痕为，交于点，此时，点恰好与点重合，若对角线的长为，求折痕的长；

【问题拓展】

（3）将矩形纸片折叠，使点与对角线的三等分点重合，折痕为，此时，直线与直线相交于

点，若对角线的长为，，请直接写出折痕的长．

4．如图，中，，，为点在射线上，点在射线上，，将线段绕点逆时针旋转，点落在点处，连接．

(1)求证四边形是平行四边形；

(2)设，四边形的面积是，关于的函数图像如图所示，点是函数图像上一点

① ；

②过点在上方作线段，使得，且（尺规作图）；

③连接，说明点是定点；

④点在点左侧的函数图像上，点在点右侧的函数图像上，且直线与轴构成的锐角的正切值是，求的值．

5．如图，，点射线上，且满足，

  

(1)尺规作图：作的平分线，交射线于点；（保留作图痕迹，不要求写出具体做法）

(2)连接，判断四边形的形状，并说明理由；

(3)已知于点，连接交于点，连接．若，请直接写出的长．

6．已知：中，．

操作发现：

如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接、，设旋转角为，的面积为，的面积为，当 °时，与全等，此时与的数量关系是 ．

猜想论证：

当绕点顺时针旋转得到如图1所示的位置时，试猜想上述与的数量关系是否成立，若成立，请为加以证明；若不成立，请说明理由．

类比探究：

如图2，若等腰直角三角形，， 将绕点旋转，连接、，若，设的面积为，的面积为，试求与比值．

拓展提升：

如图3，若等腰直角三角形，， 将绕点旋转，连接、，若，，则的最大值为 ．

7．如图，在中，，，．点D是中点．点P从点A出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点C运动，连结，取的中点E，连结，P，Q两点同时出发，设点P运动的时间为t秒．（）

(1)求线段的长．

(2)当点Q在上运动时，求的值；

(3)当DE与的直角边平行时，求的长．

(4)若点P从点C沿CA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，其它条件不变，当点Q在上运动，与一边垂直时，直接写出t的值．

8．科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）．

9．如图，点C在为直径的圆O上，连接，的角平分线交于点E，交圆O于点P．G是上一点，且，连接并延长交的延长线于点F，连接．

(1)求证：；

(2)若，，求的面积．

(3)设，，求y关于x的函数表达式．

10．如图1，在四边形中，，，是边上一点，线段的垂直平分线分别交，于点