2025年九年级数学中考三轮冲刺训练高频考点：新定义函数压轴题

2025年九年级数学中考三轮冲刺训练高频考点：

新定义函数压轴题

 

 

1．在同一平面直角坐标系中，已知x轴上有两点和，过这两点分别作垂线与某函数图象分别交于点C和点D，当有最小值时，此时和称为该函数的“虫洞”，的最小值称为该函数的“虫洞距离”．

(1)如图1为正比例函数的图象，和是其“虫洞”．当时，根据题意可知，，则；当时，，，则；当时，，，则．由上述分析，请你直接写出正比例函数的“虫洞距离”为 ；

(2)如图2，是函数的图象，和是其“虫洞”，

①求函数的“虫洞距离”；

②如图3，函数和函数位于同一个平面直角坐标系，若两个函数的“虫洞距离”相等，求t的值．

2．定义：函数图象上的点的纵坐标与横坐标的差叫做点的“双减差”，图象上所有点的“双减差”中最小值称为函数图象的“幸福值”如：抛物线上有点，则点的“双减差”为12；而抛物线上所有点的“双减差” ，即该抛物线的“幸福值”为 ．根据定义，解答下列问题：

(1)已知函数图象上点的横坐标，求点的“双减差”的值；

(2)若直线的“幸福值”为，求的值；

(3)设抛物线顶点的横坐标为，且该抛物线的顶点在直线，当时，抛物线的“幸福值”是5，求该抛物线的解析式．

3．定义：若一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图像的“等值点”．例如，点是函数的图像的“等值点”．

(1)请判断函数的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；

(2)设函数，的图像的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为时，求的值；

(3)已知函数（为常数）有两个“等值点”．存在函数（异于），若对于任意的自变量，都有点与点到点的距离相等；当时，都有成立，请结合图像求的取值范围．

4．定义：经过函数图像上的一点作x轴的平行线，将平行线上方的图像沿平行线向下翻折形成新的函数图像，

我们把满足这种情况的函数图像称为经过这一点的“折叠函数”．

【基本应用】

(1)如图，点、、均在直线l上．

  

①请使用无刻度的直尺和圆规作出经过点C的“折叠函数”与x轴的交点D（异于点A）；

②求出经过点A、C、D的二次函数表达式；

(2)在（1）的条件下，点为二次函数图像上一动点，若经过点P的“折叠函数”与x轴至少有3个交点，求a的取值范围．

【创新应用】

(3)如果反比例函数的图像上有一点，则经过点M的“折叠函数”与x轴的交点坐标为________．

5．定义：如图1，点P为平分线上一点，的两边分别与射线交于M，N两点，若绕点P旋转时始终满足，则称是的“梦之角”．

(1)如图1，已知，点P为平分线上一点，的两边分别与射线交于M，N两点，且．求证：是的“梦之角”；

(2)如图2，已知，，若是的“梦之角”，连接，用含的式子分别表示的度数和的面积；

(3)如图3，C是函数图象上的一个动点，过点C的直线分别交x轴和y轴于点A，B两点，且满足，的“梦之角”为，请直接写出的长及相应点P的坐标．

6．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，则称这样的函数为分段函数，函数就是分段函数，我们把这个分段函数图像记为图象G．

(1)当时，在平面直角坐标系中，画出图象G；

(2)当时，结合图像G，回答下面问题：

①当函数值时，求自变量x的值；

②若和在图象G，且，则b的取值范围是___________．

(3)当时，，求m的取值范围．

(4)线段端点坐标分别为，，当图象G与线段AB有一个公共点时，则m的取值范围是___________．

7．设二次函数的图像的顶点分别为当

且开口方向相同时，则称是的“反倍顶二次函数”．

(1)请写出二次函数的一个“反倍顶二次函数”；

(2)已知关于x的二次函数和二次函数，若函数恰是的“反倍顶二次函数”，求n的值．

8．在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点．

    

(1)请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法；

(2)如果点在函数的图象上，求点的坐标；

(3)将点称为点的“待定关联点”（其中，）．如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含n的代数式表示点的坐标．

9．我们定义【a，b，c】为函数的“特征数”，如：函数的“特征数”是【2，-3，5】，函数y=x+2的“特征数”是【0，1，2】，函数y=-2x的“特征数”是【0，-2，0】．

(1)若一个函数的特征数是【1，-4，1】，将此函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是______．

(2)将“特征数”是【0，-，-1】的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是______．