专题20 特殊的平行四边形中折叠问题和无刻度作图的八种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（华东师大版）

专题20 特殊的平行四边形中折叠问题和无刻度作图的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、平行四边形中的折叠问题 2 类型二、矩形中的折叠问题 7 类型三、菱形中的折叠问题 14 类型四、正方形中的折叠问题 21 类型五、平行四边形中的无刻度作图 27 类型六、矩形中的无刻度作图 34 类型七、菱形中的无刻度作图 39 类型八、正方形中的无刻度作图 45 压轴能力测评（16题） 50 解题知识必备 1.平行四边形 1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.平行四边形的性质： （1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。 3.平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 2.矩形 1.矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）三个角是直角的四边形是矩形 （3）对角线相等的平行四边形是矩形 3.菱形 1.菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 2.菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2）四边相等的四边形是菱形 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4.正方形 1.正方形的概念、性质 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 2.正方形的判定 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2）有一组邻边相等的矩形是正方形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形 压轴题型讲练 类型一、平行四边形中的折叠问题 例题：（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点E处，若，则的度数为 ． 【变式训练】 1．（2025八年级下·山东·专题练习）如图，在平行四边形中，点分别为边的中点，将平行四边形沿着折叠，点分别落在处，若，则的度数为 ． 2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，在中，，，，点E是上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则的长度为 ． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，，，将沿对角线折叠得到，与交于点F．若F恰好为的中点，求 ；平行四边形的面积为 ． 类型二、矩形中的折叠问题 例题：（24-25九年级上·湖北孝感·期末）如图，有一张矩形纸片，，，点E是的中点．连接，将纸片沿直线折叠，使点B落在点，连接，则（1） ，（2）的长为 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，将矩形纸片沿折叠，使点与边上的点重合．若，，则的长为 ． 2．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，在矩形中，，点E为的中点，点F是边上一点，且．连接，将沿折叠，若点C的对应点P恰好落在上，则a的值为 ． 3．（2025·黑龙江佳木斯·一模）在矩形中，，，点为射线上一动点，将沿折叠使点落在点处，连接.当、、三点共线时，长为 . 4．（2024·贵州·模拟预测）综合与实践：小红在学习了图形的折叠相关知识后，对矩形的折叠进行了探究，已知矩形中，，，为上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． (1)【动手操作】 当点落在边上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形（即的位置，不写作法，保留作图痕迹），此时________________； (2)【问题探究】 如图②，与相交于点，与相交于点，且，求证：； (3)【拓展延伸】 已知为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，求的长． 类型三、菱形中的折叠问题 例题：（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在菱形中，对角线长，，点、在边、上，以直线为折痕折叠，若，则的度数为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，在菱形中，E为边上的一点，将菱形沿折叠后，点A恰好落在边上的F处．若垂直对角线，则 度．    2．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，菱形中，点，分别在，上，将沿折叠后，点的对应点恰好在上，且，若，，则此菱形的边长为 ． 3．（2024·河南信阳·模拟预测）在菱形纸片中，，，点F在边上，将菱形纸片沿直线折叠，点D的对应点为E．当与菱形的边垂直时，的长为 ． 4．（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，在菱形纸片中，． （1） ． （2）点E在边上，将菱形纸片沿折叠，点C对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为 ． 类型四、正方形中的折叠问题 例题：（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形中，点为射线上一个动点．连接，把沿折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时， ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，正方形的边长为3，将正方形折叠，使点D落到边上的点E处，折痕为，若，折痕的长为 ． 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上，将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 3.（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点是正方形的边上一动点(点不与、重合)，连接，将沿翻折，使点落在点处．    (1)当最小时，的值为 ； (2)如图，连接并延长，交的延长线于点，在点的运动过程中，的大小是否变化，若变化，请说明理由；若不变，请求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，试探索、、之间的数量关系． 类型五、平行四边形中的无刻度作图 例题：1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，在菱形中，E为边上的一点，将菱形沿折叠后，点A恰好落在边上的F处．若垂直对角线，则 度．    2．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，菱形中，点，分别在，上，将沿折叠后，点的对应点恰好在上，且，若，，则此菱形的边长为 ． 3．（2024·河南信阳·模拟预测）在菱形纸片中，，，点F在边上，将菱形纸片沿直线折叠，点D的对应点为E．当与菱形的边垂直时，的长为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·江西宜春·期中）如图，已知四边形是平行四边形，点E在上，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）    (1)在图1中，过点E作直线，将平行四边形分成形状、大小相同的两部分； (2)在图2中，若，请作出的平分线． 2．（23-24八年级下·江西吉安·期末）例在中，点E为AB上一点，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法，题目要求画的线画实线，其他的线画虚线）    (1)如图1，E为边上一点，，画出∠D的角平分线； (2)如图2，E为边上一点，，画出∠B的角平分线． 3．（24-25九年级上·甘肃武威·开学考试）四边形是平行四边形，E、F分别是、上的点，连接． (1)如图1，对角线、相交于点O，若经过点O，求证：． (2)在如图2中，仅用无刻度的直尺作线段，使它满足： ①点M、N分别在、上； ②．（不写画法，保留画图痕迹） (3)证明（2）中 类型六、矩形中的无刻度作图 例题：（24-25九年级上·江西吉安·期末）已知四边形是矩形，点是边上的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图①中，过点E作线段，使得，交于点F； (2)如图②中，在线段上找一点，使得，连接． 【变式训练】 1．（2025·江西·模拟预测）如图，在四边形中，，点E是的中点，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹）： (1)在图1中，作出的垂直平分线； (2)在图2中，作出的垂直平分线． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在矩形中，为的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图①中，求作点，使为的中点； (2)在图②中，求作点，使为的中点． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图1，长方形中，，点E是射线上一个动点，连接，将沿直线翻折得到． (1)若，则的度数是_____________； (2)若， ①在图（2）中用无刻度的直尺和圆规作出点F（不写作法，保留痕迹）． ②求此时线段的长度． (3)设直线与线段交于点G，P、O分别是线段上的两个动点，当的面积为6时，请直接写出的最小值． 类型七、菱形中的无刻度作图 例题：（23-24八年级下·江西赣州·期中）在菱形中，点是的中点，请仅用无刻度的直尺按要求画图． (1)在图中画出的中点； (2)在图中的对角线上取两个点，使． 【变式训练】 1．（2024·江西吉安·一模）如图正六边形．请分别在图1，图2中使用无刻度的直尺按要求作图． (1)在图1中，以为直角边，作一个直角三角形； (2)在图2中，以为边作一个菱形． 2．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，菱形的边上的一点E（不与A，B重合），请仅用无刻度的直尺画图． (1)在菱形的边上找一点F，连接，使（保留画图痕迹）； (2)在菱形的边上找点F，G，使，并作出等腰． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）已知四边形是菱形，为线段上一点．仅用无刻度的直尺完成下列作图： (1)如图1，在上作点，使； (2)如图2，在上作点，使； (3)若，，，则菱形的面积为______． 类型八、正方形中的无刻度作图 例题：（2025·江西·一模）如图，在正方形中，点E是边的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． (1)在图1中，画出以为底边的等腰，且； (2)在图2中，已知F是的中点，请画出以为边的正方形，且． 【变式训练】 1．（2025·江西九江·模拟预测）如图，在正方形中，，分别是，的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一条线段与线段平行且等于线段的长的两倍． (2)在图2中，将线段绕点顺时针旋转，得到线段． 2．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）在正方形中，点是中点，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图①，在边上画一点，使得的中点分别到点D、E的距离相等； (2)如图②，在边上画一点N，使得平分． 3．（23-24九年级上·江西九江·期中）如图正方形，正方形如图，并排放置，G不是中点．请用无刻度直尺完成下列作图．    (1)在图1中作平行四边形； (2)在图2中边上寻找点P，使得． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的点处．若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在菱形中，，点M，N分别在和上，沿将折叠，点A恰好落在边上的点E处．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在正方形纸片中，M，N分别是的中点，将纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕交于点F，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中， 将 沿 的对角线折叠，使点B的对应点落在点E处，且点 B、A、E在一条直线上，交于点F，若，则的长为 ．    6．（23-24八年级下·湖北鄂州·期末）如图，在菱形中，E是上一点，沿折叠，点A恰好落在上的点F处，连接，若，则 ． 7．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，在矩形中，为边的四等分点（），连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与交于点，连接．若，，则 ，点到的距离为 ． 8．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，正方形的边长为，点E是边的中点，点F是边上不与点A、D重合的一个动点，将沿直线折叠，使点A落在点处．当为等腰三角形时，的长为 ． 三、解答题 9．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，分别是边上的点，将沿进行折叠，使点落在边上的点处，点落在外的点处，若，求的度数． 10．（23-24八年级下·河南开封·期末）在，．请仅用无刻度的直尺，按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，点E在边上，且，作的平分线． (2)如图2，点E、F分别在边、上，且 ，连接 ．过点A 作的垂线． 11．（23-24九年级上·江西九江·期末）如图，四边形为矩形，且有．请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．    (1)在图1中求作边的中点； (2)在图2中的边上求作点，使． 12．（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，点C为线段AB上一点且不与A，B两点重合，分别以AC，BC为边向AB的同侧做角为60°的菱形．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图．（保留作图痕迹）． (1)在图1中，连接DF，若AC＝BC，作出线段DF的中点M； (2)在图2中，连接DF，若，作出线段DF的中点N． 13．（23-24八年级下·江西赣州·期末）在正方形中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中，在上作出点O，使； (2)在图②中，点E是上一点，请过点A作线段的平行线，其中点F在上． 14．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在菱形中，分别是边上一点，将菱形沿折叠，当点落在的中点处时，连接． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 15．（24-25八年级上·四川成都·期中）综合与实践课上，老师让同学们以“长方形的折叠”为主题开展数学活动． 如图，长方形中，是射线上一点，将沿折叠后得到． 【初步探究】 如图1，在线段上，过点作的平行线交，的两边于，，若，，求的长； 【深入探究】 如图，在线段的中点上，延长交于点，若，试说明与满足的数量关系； 【拓展延伸】 若，，连接，，当是以为底的等腰三角形时，直接写出的长． 16．（24-25八年级上·江苏南京·期中）数学书第69页数学活动《折纸与证明》中提到：折纸，常常能够为证明一个命题提供思路和方法． 【初步体验】 操作①：取一张矩形纸，将边折叠到边上，折痕为，点的对应点为．（如图1所示） 操作②：将折叠到边上，折痕为，（如图2所示） （1）若与恰好重合，则 ； 【初步探究】 在操作①中，沿剪开，易得一张正方形纸，让我们继续折叠下去… 操作③：把正方形对折后再展开，折痕为； 操作④：点在边上，翻折，使得点落在折痕上的点处，连接，则是等边三角形；（如图3所示） （2）求证：是等边三角形； 【深入探究】 操作⑤：把正方形对折后再展开，折痕为； 操作⑥：将沿翻折到位置，延长交于点，则点是的三等分点．（如图4所示） （3）通过计算证明：点是的三等分点． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题20 特殊的平行四边形中折叠问题和无刻度作图的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、平行四边形中的折叠问题 2 类型二、矩形中的折叠问题 7 类型三、菱形中的折叠问题 14 类型四、正方形中的折叠问题 21 类型五、平行四边形中的无刻度作图 27 类型六、矩形中的无刻度作图 34 类型七、菱形中的无刻度作图 39 类型八、正方形中的无刻度作图 45 压轴能力测评（16题） 50 解题知识必备 1.平行四边形 1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.平行四边形的性质： （1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。 3.平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 2.矩形 1.矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）三个角是直角的四边形是矩形 （3）对角线相等的平行四边形是矩形 3.菱形 1.菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 2.菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2）四边相等的四边形是菱形 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4.正方形 1.正方形的概念、性质 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 2.正方形的判定 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2）有一组邻边相等的矩形是正方形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形 压轴题型讲练 类型一、平行四边形中的折叠问题 例题：（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点E处，若，则的度数为 ． 【答案】63 【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据三角形的外角性质可得，根据角的和差可得，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：63． 【变式训练】 1．（2025八年级下·山东·专题练习）如图，在平行四边形中，点分别为边的中点，将平行四边形沿着折叠，点分别落在处，若，则的度数为 ． 【答案】/57度 【知识点】三角形折叠中的角度问题、折叠问题、等边对等角、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，由折叠的性质，，得出，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ∵点分别是的中点， ， 由折叠可得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，在中，，，，点E是上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则的长度为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、含30度角的直角三角形、折叠问题 【分析】作于，过点作于，由 角直角三角形的性质可求，则，证明，那么，而，设，则，则，由折叠可知，，在中，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，作于，过点作于. ∵，， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠可知，，，， ∴，，， ∴， 在和中， ∴; ∴, ∵，, ∴， ∴， 设，则， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理得， 解得， ∴， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，角直角三角形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，，，将沿对角线折叠得到，与交于点F．若F恰好为的中点，求 ；平行四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题、利用平行四边形的性质求解、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及翻折变换，熟知以上知识是解题的关键． 先证明即可得出BF，过点B作于N，过点F作于M，再利用等腰三角形的性质和勾股定理求出，最后用等面积法求出高即可． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 将沿对角线折叠得到， ∴， ∵， ∴， 如图，过点B作于N，过点F作于M， ∴为等腰三角形， ∴ 在中，， ∵， ∴， ∴平行四边形的面积为． 故答案为：，． 类型二、矩形中的折叠问题 例题：（24-25九年级上·湖北孝感·期末）如图，有一张矩形纸片，，，点E是的中点．连接，将纸片沿直线折叠，使点B落在点，连接，则（1） ，（2）的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、三角形折叠中的角度问题 【分析】本题主要考查了矩形、折叠的性质、三角形的内角和定理、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 通过折叠和点E是的中点可得，则、易得；在运用勾股定理可得，进而得到，然后在中运用勾股定理求得即可． 【详解】解：如图：设与相交于点O， ∵将纸片沿直线折叠，使点B落在点，连接，点E是的中点， ∴， ∴，， 又∵三内角之和为， ∴， ∴， ∴， 解得：； 在中，由可得：， ∵， ∴，解得：， ∵将纸片沿直线折叠，使点B落在点，连接， ∴点是点B关于直线的对称点， ∴垂直平分， ∴， 在中，． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，将矩形纸片沿折叠，使点与边上的点重合．若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】矩形与折叠问题、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、勾股定理与折叠问题、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查的知识点是折叠性质、矩形性质、勾股定理、解一元一次方程，解题关键是由折叠性质得到． 由折叠性质得到，设，则，再由矩形性质和勾股定理得到方程后求解即可． 【详解】解：由折叠性质可得， 设，则， 矩形纸片中，， ， 即， 解得． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，在矩形中，，点E为的中点，点F是边上一点，且．连接，将沿折叠，若点C的对应点P恰好落在上，则a的值为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理等知识，根据矩形的性质、折叠的性质可得出，，根据证明，得出，，然后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 在矩形中，， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∵折叠， ∴，，， 又， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 解得（负值舍去）， 故答案为：． 3．（2025·黑龙江佳木斯·一模）在矩形中，，，点为射线上一动点，将沿折叠使点落在点处，连接.当、、三点共线时，长为 . 【答案】或 【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，根据题意分类讨论，结合勾股定理列出方程是解题的关键． 分为点在线段上和点在线段的延长线上两种情况进行分析，结合折叠的性质和矩形的性质得出，，，，，根据勾股定理分别列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：如图：当点在线段上，、、三点共线时， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将沿折叠得到， ∴，， 在中，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴； 如图：当点在线段的延长线上，、、三点共线时， 设，则， 在中，， 在中，， 即， 解得：， ∴； 即当的值为或时，、、三点共线． 故答案为：或． 4．（2024·贵州·模拟预测）综合与实践：小红在学习了图形的折叠相关知识后，对矩形的折叠进行了探究，已知矩形中，，，为上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． (1)【动手操作】 当点落在边上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形（即的位置，不写作法，保留作图痕迹），此时________________； (2)【问题探究】 如图②，与相交于点，与相交于点，且，求证：； (3)【拓展延伸】 已知为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)作图见解析，6； (2)见解析； (3)4或16． 【知识点】全等三角形综合问题、矩形与折叠问题、作垂线(尺规作图)、勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查矩形与折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握矩形与折叠的性质，数形结合分析是解题的关键． （1）根据点的对应点在上，可得折线是的垂直平分线，由此可作图，根据矩形的性质，折叠的性质可得，由勾股定理即可求解； （2）由翻折的性质得，，，设，则，，可得，，，，在中，由勾股定理 解得，，由此即可求解； （3）分两种情况：如解图所示，点在线段上时；如解图所示，点在延长线上时；根据矩形、折叠，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：作图如图所示，将沿直线翻折至的位置（点落在点处），点落在边上， ∴即为所求的三角形， ∵折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：6． （2）证明：由翻折的性质得，，， ， 设，则， 在和中， ， ， ，， ， ，， 在中，由勾股定理得，， 解得，即， ∴， ∴， ∴． （3）解：分两种情况： 如解图所示，点在线段上时， 由翻折的性质得，，，， ， , 四边形是矩形， ， ， ， ， ； 如解图所示，点在延长线上时， 由翻折的性质得，，， , 设，则，， ， , 在中，由勾股定理得，， 解得，即， 综上所述，的长为4或16． 类型三、菱形中的折叠问题 例题：（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在菱形中，对角线长，，点、在边、上，以直线为折痕折叠，若，则的度数为 ． 【答案】/30度 【知识点】含30度角的直角三角形、利用菱形的性质求角度、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】此题考查了菱形的性质、折叠的性质以及含30度的直角三角形等知识．首先连接，，相交于点，由在菱形中，对角线长，，可求得，又由以直线为折痕折叠，若，即可求得的度数，继而求得答案．．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，，相交于点， 在菱形中，对角线长，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，在菱形中，E为边上的一点，将菱形沿折叠后，点A恰好落在边上的F处．若垂直对角线，则 度．    【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，利用菱形的性质得到，设，求得，利用平角的性质计算即可求解． 【详解】解：连接，   四边形是菱形， ，， 设， 垂直对角线， ， ， 由折叠的性质知， ， ， ， ， 解得 ， ， 故答案为：72． 2．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，菱形中，点，分别在，上，将沿折叠后，点的对应点恰好在上，且，若，，则此菱形的边长为 ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理，作于，由折叠的性质可得：，证明四边形为矩形，得出，，设，则，，最后再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，作于， ∵四边形是菱形， ∴，， 由折叠的性质可得：， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 3．（2024·河南信阳·模拟预测）在菱形纸片中，，，点F在边上，将菱形纸片沿直线折叠，点D的对应点为E．当与菱形的边垂直时，的长为 ． 【答案】2或 【知识点】利用菱形的性质求线段长、折叠问题、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】分两种情况，当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：分两种情况， ①当时，如图，设 于G，    ∵四边形是菱形， ∴，， ∵于G， ∴， ∴， ∴在中，， 由勾股定理，得， ∵将菱形纸片沿直线折叠，点D的对应点为E， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图，设 于G，过点F作于H，    ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵将菱形纸片沿直线折叠，点D的对应点为E， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理，得 解得：，（舍去）， ∴； 综上，的长为2或． 故答案为：2或． 【点睛】本题考查菱形的性质，轴对称的性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握菱形的性质、轴对称的性质、直角三角形的性质和灵活运用勾股定理是解题的关键． 4．（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，在菱形纸片中，． （1） ． （2）点E在边上，将菱形纸片沿折叠，点C对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为 ． 【答案】 60 75 【知识点】线段垂直平分线的性质、利用菱形的性质求角度、折叠问题 【分析】本题考查菱形的性质，垂直平分线的定义． （1）直接根据菱形的对角相等即可求解； （2）如图，由垂直平分线的定义得到，从而，由菱形的性质得到，从而由折叠有，因此，再根据菱形的对边平行即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴． 故答案为：60 （2）如图， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵在菱形中，， ∴． 故答案为：75 类型四、正方形中的折叠问题 例题：（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形中，点为射线上一个动点．连接，把沿折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时， ． 【答案】或/或 【知识点】线段垂直平分线的性质、根据正方形的性质证明、折叠问题 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、折叠的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，注意分类讨论．分两种情况：当点落在图①的位置时，当点落在图②的位置时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】∵点P在射线上运动，故分两种情况； 当点落在图①的位置时， 为线段的垂直平分线， ， 为正方形， ， ， ． 当点落在图②的位置时 为线段的垂直平分线， ， 为正方形， ， ， ． 故答案为：或． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，正方形的边长为3，将正方形折叠，使点D落到边上的点E处，折痕为，若，折痕的长为 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题、正方形折叠问题 【分析】本题主要考查正方形的性质以及翻折变换，折叠问题其实质是轴对称变换．据折叠可得，，，根据勾股定理求出、的长．继而求出，，最后在中由面积法，根据求出． 【详解】解：设，则， ，， ， 在中，， 即， 解得：，即． ∴ 连接、， 在中，， 由折叠可知：， ∵， ∴， ∴． 故答案为． 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上，将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、坐标与图形综合 【分析】设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出值，即可得答案． 【详解】解：如图，设与轴交于点，， ∵四边形是正方形，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为， ∴，，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为． 故答案为： 【点睛】本题考查折叠性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、坐标与图形及勾股定理，利用勾股定理求出正方形的边长是解题关键． 3.（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点是正方形的边上一动点(点不与、重合)，连接，将沿翻折，使点落在点处．    (1)当最小时，的值为 ； (2)如图，连接并延长，交的延长线于点，在点的运动过程中，的大小是否变化，若变化，请说明理由；若不变，请求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，试探索、、之间的数量关系． 【答案】(1) (2)为，理由见解析 (3) 【分析】（1）当，，三点共线时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可得出答案； （2）过点作于点，则，证出，则可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，则，证明，得出，则可得出结论． 【详解】（1）解：∵将沿翻折， ∴，，， ∵，即， ∴当，，三点共线时，有最小值， 此时， 如图，设， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；    （2）为． 理由如下： 过点作于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿翻折，使点落在点处， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴；    （3）． 理由如下： 过点作，交的延长线于点，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即．    类型五、平行四边形中的无刻度作图 例题：1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，在菱形中，E为边上的一点，将菱形沿折叠后，点A恰好落在边上的F处．若垂直对角线，则 度．    【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，利用菱形的性质得到，设，求得，利用平角的性质计算即可求解． 【详解】解：连接，   四边形是菱形， ，， 设， 垂直对角线， ， ， 由折叠的性质知， ， ， ， ， 解得 ， ， 故答案为：72． 2．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，菱形中，点，分别在，上，将沿折叠后，点的对应点恰好在上，且，若，，则此菱形的边长为 ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理，作于，由折叠的性质可得：，证明四边形为矩形，得出，，设，则，，最后再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，作于， ∵四边形是菱形， ∴，， 由折叠的性质可得：， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 3．（2024·河南信阳·模拟预测）在菱形纸片中，，，点F在边上，将菱形纸片沿直线折叠，点D的对应点为E．当与菱形的边垂直时，的长为 ． 【答案】2或 【知识点】利用菱形的性质求线段长、折叠问题、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】分两种情况，当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：分两种情况， ①当时，如图，设 于G，    ∵四边形是菱形， ∴，， ∵于G， ∴， ∴， ∴在中，， 由勾股定理，得， ∵将菱形纸片沿直线折叠，点D的对应点为E， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图，设 于G，过点F作于H，    ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵将菱形纸片沿直线折叠，点D的对应点为E， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理，得 解得：，（舍去）， ∴； 综上，的长为2或． 故答案为：2或． 【点睛】本题考查菱形的性质，轴对称的性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握菱形的性质、轴对称的性质、直角三角形的性质和灵活运用勾股定理是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·江西宜春·期中）如图，已知四边形是平行四边形，点E在上，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）    (1)在图1中，过点E作直线，将平行四边形分成形状、大小相同的两部分； (2)在图2中，若，请作出的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】无刻度直尺作图、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）作的对角线，，交于点，作直线交于点，直线即为所作； （2）作射线即可得的平分线． 【详解】（1）如图1，直线即为所作    （2）如图2，射线即为所作    【点睛】本题主要考查作图—基本作图，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 2．（23-24八年级下·江西吉安·期末）例在中，点E为AB上一点，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法，题目要求画的线画实线，其他的线画虚线）    (1)如图1，E为边上一点，，画出∠D的角平分线； (2)如图2，E为边上一点，，画出∠B的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用平行四边形的性质求解、等边对等角 【分析】（1）连接，由得，结合平行线的性质可得，进而可得平分，即即为所求； （2）连接交于点O，连接并延长交点F，连接，为所求． 【详解】（1）解：如图：即为所求．    （2）解：如图：即为所求．    【点睛】本题考查作图一复杂作图、平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键． 3．（24-25九年级上·甘肃武威·开学考试）四边形是平行四边形，E、F分别是、上的点，连接． (1)如图1，对角线、相交于点O，若经过点O，求证：． (2)在如图2中，仅用无刻度的直尺作线段，使它满足： ①点M、N分别在、上； ②．（不写画法，保留画图痕迹） (3)证明（2）中 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明、证明四边形是平行四边形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质． （1）证明即可； （2）利用（1）的结论进行作图即可； （3）由（1）的方法可证，则，同理可证，则，则四边形为平行四边形，即可得到到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：如图，即为所求作的线段； （3）由（1）的方法可证， ∴， 同理可证， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴． 类型六、矩形中的无刻度作图 例题：（24-25九年级上·江西吉安·期末）已知四边形是矩形，点是边上的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图①中，过点E作线段，使得，交于点F； (2)如图②中，在线段上找一点，使得，连接． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【知识点】矩形性质理解 【分析】本题考查作图-复杂作图、矩形的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）连接对角线和，交于点O，连接并延长交于点F，线段即为所求； （2）连接对角线和，交于点P，连接并延长交于点G，连接． 【详解】（1）解：线段即为所求， （2）解：点即为所求， 【变式训练】 1．（2025·江西·模拟预测）如图，在四边形中，，点E是的中点，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹）： (1)在图1中，作出的垂直平分线； (2)在图2中，作出的垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、根据矩形的性质与判定求线段长、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了无刻度尺作图、垂直平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图：连接相交于点F，连接相交于点G，过作直线即为所求； （2）如图：连接相交于点N，连接交于点H，连接并延长交于M，过作直线即为所求． 【详解】（1）解：如图：直线即为所求； （2）解：如图：直线即为所求； 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在矩形中，为的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图①中，求作点，使为的中点； (2)在图②中，求作点，使为的中点． 【答案】(1) (2) 【知识点】重心的概念、矩形性质理解、两点确定一条直线 【解析】略 3．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图1，长方形中，，点E是射线上一个动点，连接，将沿直线翻折得到． (1)若，则的度数是_____________； (2)若， ①在图（2）中用无刻度的直尺和圆规作出点F（不写作法，保留痕迹）． ②求此时线段的长度． (3)设直线与线段交于点G，P、O分别是线段上的两个动点，当的面积为6时，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)①见解析；②或15 (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、作垂线(尺规作图)、折叠问题 【分析】（1）根据矩形的性质得，由折叠可得，进而可以解决问题； （2）①作的垂直平分线，以点A为圆心，的长为半径作弧分别交的垂直平分线于点，即为所求； ②由①作图过程和翻折的性质，设，分为当F在下方时和当F在上方时，两种情况分别求解即可解决问题； （3）作于点，由，平分，得，所以，所以的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，最小即为的值，此时与重合，与重合，与重合，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ， ， 由折叠可知：， 故答案为：； （2）解：①如图2，点即为所求； ②当F在下方时，如图， 由①作图可知：四边形是矩形， ，， ， ， ， 由折叠可知：， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 线段的长度为； 当F在上方时，如图， 由①作图可知：四边形是矩形， ，， ， ， ， 由折叠可知：， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 线段的长度为15； 综上所述，或15； （3）解：如图3，作于点， 的面积为6， ， ， ， 、分别是线段、上的两个动点， 时，最短， ，平分， ， ， 的最小值即为的最小值， 当，，三点共线时，最小即为的值， 此时与重合，与重合，与重合， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义和性质，垂线段最短、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键． 类型七、菱形中的无刻度作图 例题：（23-24八年级下·江西赣州·期中）在菱形中，点是的中点，请仅用无刻度的直尺按要求画图． (1)在图中画出的中点； (2)在图中的对角线上取两个点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用菱形的性质求线段长、无刻度直尺作图 【分析】本题考查了菱形的性质和无刻度的直尺按要求画图，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接交于点，然后连接，延长交于点，则点即为所求； （）连接交于点，然后连接，延长交于点，连接交于点，连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求． 【变式训练】 1．（2024·江西吉安·一模）如图正六边形．请分别在图1，图2中使用无刻度的直尺按要求作图． (1)在图1中，以为直角边，作一个直角三角形； (2)在图2中，以为边作一个菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】正多边形的内角问题、证明四边形是菱形 【分析】题目主要考查正多边形的性及直角三角形，菱形的性质，熟练掌握基本的知识点进行作图是解题关键 （1）连接，根据题意，得出，再由各角之间的关系即可证明； （2）连接，根据正六边形的性质得出，然后利用菱形的判定即可证明 【详解】（1）解：如图所示，为直角三角形， ∵正六边形， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形； （2）如图所示，四边形为菱形， ∵正六边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 2．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，菱形的边上的一点E（不与A，B重合），请仅用无刻度的直尺画图． (1)在菱形的边上找一点F，连接，使（保留画图痕迹）； (2)在菱形的边上找点F，G，使，并作出等腰． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、利用菱形的性质证明、全等三角形综合问题 【分析】本题考查作图复杂作图，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接交交于点，连接，延长交于点，此时；或连接交于点，连接，延长交于点F，连接，则； （2）根据解析（1）中的作图，找出点F、G，然后连接、、，则是等腰三角形． 【详解】（1）解：点F即为所求作的点，此时，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 点F即为所求作的点，此时，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． （2）解：即为所求作的三角形，如图所示： 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）已知四边形是菱形，为线段上一点．仅用无刻度的直尺完成下列作图： (1)如图1，在上作点，使； (2)如图2，在上作点，使； (3)若，，，则菱形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用菱形的性质求线段长、二次根式的乘法、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定： （1）如图所示，连接交于F，连接并延长交于E，点E即为所求； （2）如图所示，连接交于O，连接并延长交于F，点F即为所求； （3）过点D作于H，求出，得到，则，证明是等腰直角三角形，得到，由菱形的性质得到，则． 【详解】（1）解：如图所示，连接交于F，连接并延长交于E，点E即为所求； 易证明，则，则， 易证明，则； （2）解：如图所示，连接交于O，连接并延长交于F，点F即为所求； 易证明，则， 易证明四边形是平行四边形，可得，则 （3）解：如图所示，过点D作于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 故答案为；． 类型八、正方形中的无刻度作图 例题：（2025·江西·一模）如图，在正方形中，点E是边的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． (1)在图1中，画出以为底边的等腰，且； (2)在图2中，已知F是的中点，请画出以为边的正方形，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】正方形性质理解、无刻度直尺作图 【分析】本题主要考查了正方形的性质，无刻度直尺画图，掌握正方形的性质成为解题的关键． （1）如图（1）连接相交于O，连接并延长交与F，连接即可完成作图； （2）如图（2）连接相交于O，连接并延长交与H，连接并延长交与G，连接即可完成作图； 【详解】（1）解：如图（1）：等腰即为所求． ∵是正方形的对称轴， ∴， ∵，， ∴． ∴等腰即为所求． （2）解：如图（2）：正方形即为所求． ∵，， ∴，即正方形即为所求． 【变式训练】 1．（2025·江西九江·模拟预测）如图，在正方形中，，分别是，的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一条线段与线段平行且等于线段的长的两倍． (2)在图2中，将线段绕点顺时针旋转，得到线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据正方形的性质证明、与三角形中位线有关的求解问题、画旋转图形 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的中位线定理，旋转的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，由，分别是，的中点，可得是的中位线，得到； （2）连接、交于点，再连接，交于点，最后连接，即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求所作； （2）如图，线段即为所求， 四边形是正方形， ，，，是、的中点， ，分别是，的中点， 是的中位线， ，， ， ，分别是，的中点， ， 是的中点， 是的中位线， ，， ， ，， 即线段即为所求． 2．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）在正方形中，点是中点，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图①，在边上画一点，使得的中点分别到点D、E的距离相等； (2)如图②，在边上画一点N，使得平分． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、根据正方形的性质证明、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查作图—复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接，，，与的交点为O，作直线交的垂直平分线于点，连接，延长交一点M，线段即为所求； （2）连接，作，在思想上截取线段，使得，连接交一点N，连接，点N即为所求（作，可以证明，可得结论）． 【详解】（1）如图①中，线段即为所求； （2）如图②中，点N即为所求． 3．（23-24九年级上·江西九江·期中）如图正方形，正方形如图，并排放置，G不是中点．请用无刻度直尺完成下列作图．    (1)在图1中作平行四边形； (2)在图2中边上寻找点P，使得． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【知识点】根据正方形的性质证明、无刻度直尺作图、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查无刻度直尺作图． （1）连接，连接并延长交的延长线与点，则平行四边形即为所求； （2）在（1）的基础上，连接，交与点，连接并延长，交于点，则点即为所求． 熟练掌握正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，平行四边形即为所求；    由图可知：， ∴四边形为平行四边形； （2）如图：点即为所求；    由图可知：为平行四边形的对角线的交点， ∴， 又， ∴， ∴． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的点处．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、矩形与折叠问题 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，三角形内角和定理，先由矩形的性质得到，再由折叠的性质求出的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质是本题的关键．由平行四边形的性质可得，由三角形的内角和定理可求的度数，由折叠的性质可求． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 由折叠的性质可得． 故选B． 3．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在菱形中，，点M，N分别在和上，沿将折叠，点A恰好落在边上的点E处．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、勾股定理与折叠问题、利用菱形的性质求线段长 【分析】作，根据菱形的性质得，其中，然后设，可表示，根据勾股定理得，进而得出接下来根据勾股定理列出方程，求出解即可得出答案． 【详解】如图所示，过点M作，交的延长线于点F， ∵四边形是菱形，且， ∴，其中． 在中，，设， ∴， 根据勾股定理，得． ∴， 根据折叠得， 在中，， 即， 解得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 4．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在正方形纸片中，M，N分别是的中点，将纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕交于点F，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质证明、折叠问题 【分析】先证明是矩形，再推出是的垂直平分线，求出，再利用勾股定理求出，得到，设，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∵M，N分别是的中点， ∴，， ∴是矩形， ∴，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查折叠的性质、矩形的判定与性质、正方形的性质，翻折变换的性质，适时利用勾股定理是解答此类问题的关键． 二、填空题 5．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中， 将 沿 的对角线折叠，使点B的对应点落在点E处，且点 B、A、E在一条直线上，交于点F，若，则的长为 ．    【答案】 【知识点】三线合一、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】由折叠的性质可得出，由三线合一的性质可得出，由平行四边形的性质可得出，由三角形内角和定理可得出，再证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得出2，最后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：由题意知折叠得到 ∴ ， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴2，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形三线合一的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定以及性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． 6．（23-24八年级下·湖北鄂州·期末）如图，在菱形中，E是上一点，沿折叠，点A恰好落在上的点F处，连接，若，则 ． 【答案】/100度 【知识点】利用菱形的性质求角度、折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换，菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的对角线平分每一组对角是解题的关键．根据菱形的性质得到，根据折叠的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵沿折叠，点A恰好落在上的点F处， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，在矩形中，为边的四等分点（），连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与交于点，连接．若，，则 ，点到的距离为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，由四边形是矩形，得，，，，再由折叠性质和勾股定理求出，过作于点，由折叠性质和勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 由折叠性质可知：，，， ∴， ∴， ∵为边的四等分点（）， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， 如图，过作于点， ∴， ∵， ∴， 由折叠性质可知：，， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 由勾股定理得：，， ∴，解得：， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， 故答案为：，． 8．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，正方形的边长为，点E是边的中点，点F是边上不与点A、D重合的一个动点，将沿直线折叠，使点A落在点处．当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、等腰三角形的定义 【分析】本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解答本题的关键是学会用分类讨论的首先思考问题．首先证明，只要分两种情形讨论即可：当时，连接．构建方程即可；当点F在中点时，满足条件． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形的边长为，点E是边的中点， ∴， 由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∴， 当时，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点三点共线， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 如图，当点F为的中点时， 由折叠的性质得：． ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 即垂直平分， ∵四边形是正方形， ∴垂直平分， ∴，此时为等腰三角形，满足条件， 此时； 综上所述，的长为或． 故答案为：或 三、解答题 9．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，分别是边上的点，将沿进行折叠，使点落在边上的点处，点落在外的点处，若，求的度数． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题考查了根据折叠性质求解，平行四边形性质，三角形内角和，根据三角形内角和先求的度数，由折叠性质可知，再结合平行四边形性质即可求出结果． 【详解】解：， ． 由折叠性质可知， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ． 10．（23-24八年级下·河南开封·期末）在，．请仅用无刻度的直尺，按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，点E在边上，且，作的平分线． (2)如图2，点E、F分别在边、上，且 ，连接 ．过点A 作的垂线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、平行四边形性质和判定的应用、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】（1）连接，即可作答； （2）连接、，与交于点O，连接，并延长交于N，连接，即为所求． 【详解】（1）如图，连接， 即为所求， 证明∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）连接、，与交于点O，连接，并延长交于N，连接，如图， 即为所求． 证明：连接，并延长交于M，连接、、， 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可证明：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查复杂作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 11．（23-24九年级上·江西九江·期末）如图，四边形为矩形，且有．请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．    (1)在图1中求作边的中点； (2)在图2中的边上求作点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质和判定： （1）连接，过的交点与点E作直线，交于点F，即可； （2）方法一：连接，并延长交于点P，连接交于点H，即可；方法二：连接，交于点Q，连接，并延长交于点H，即可； 【详解】（1）解：如图，点P即为所求；    （2）解：如图，点H即为所求．    12．（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，点C为线段AB上一点且不与A，B两点重合，分别以AC，BC为边向AB的同侧做角为60°的菱形．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图．（保留作图痕迹）． (1)在图1中，连接DF，若AC＝BC，作出线段DF的中点M； (2)在图2中，连接DF，若，作出线段DF的中点N． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等三角形综合问题、平行四边形性质和判定的应用、利用菱形的性质证明 【分析】（1）连接AF、BD，相交于点O，连接CO并延长，交DF于点M，根据两菱形边长相等，角度相等，可证，，得到OA=OB，OF=OD，通过C为AB中点可得OC⊥AB，OM⊥DF，根据等腰三角形三线合一，即M是DF中点； （2）连接AD、BF，并延长相交于点H，连接CH、DF，相交于点N，根据菱形是60°角可知AD∥CF，BF∥CD，所以四边形DCFH是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分，所以点N即是DF中点． 【详解】（1）如图1中，点M即为所求． （2）如图2中，点N即为所求． 【点睛】本题考查作图，熟练利用菱形的性质和平行四边形的性质是解题关键，本题中第（2）小题方法同样适用于第（1）小题． 13．（23-24八年级下·江西赣州·期末）在正方形中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中，在上作出点O，使； (2)在图②中，点E是上一点，请过点A作线段的平行线，其中点F在上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、无刻度直尺作图 【分析】（1）根据正方形的性质作图即可； （2）延长交于点G，连接并延长交于点F，连接、，即可求解． 【详解】（1）解：如图点O即为所求； ∵四边形是正方形， ∴； （2）解：如图，即为所求； 延长交于点G，连接并延长交于点F，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查无刻度尺作图、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定及对顶角相等，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 14．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在菱形中，分别是边上一点，将菱形沿折叠，当点落在的中点处时，连接． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据三线合一证明、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明、折叠问题 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握相关结论即可． （1）连接．可推出是等边三角形，根据是的中点，推出即可求证； （2）由题意得．推出；设，则．根据，即可求解； 【详解】（1）证明：如答图，连接． 四边形是菱形，， 是等边三角形． 是的中点， ，即， ， 即是直角三角形． （2）解：由（1）可知，是等边三角形，是的中点． ． 在中，由勾股定理可得 翻折至， ． 设，则． 在中，， 即， 解得， 即． 15．（24-25八年级上·四川成都·期中）综合与实践课上，老师让同学们以“长方形的折叠”为主题开展数学活动． 如图，长方形中，是射线上一点，将沿折叠后得到． 【初步探究】 如图1，在线段上，过点作的平行线交，的两边于，，若，，求的长； 【深入探究】 如图，在线段的中点上，延长交于点，若，试说明与满足的数量关系； 【拓展延伸】 若，，连接，，当是以为底的等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】 本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形和折叠，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）如图1，由折叠得：，，先由勾股定理得，则，设，则，最后根据勾股定理列方程解答即可； （2）如图，连接，设，则，，证明，则，根据勾股定理列方程可得，从而可以解答； （3）设，分两种情况：①当点在线段上时，，如图，过点作于，交于，②当点在线段的延长线上时，，过点作于，交于，则，根据勾股定理即可解答． 【详解】 解：（1）如图1，由折叠得：，， ∵四边形是长方形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， ， ； （2）如图，连接， 是的中点， ， 设，则，， 由折叠得：，， ， ，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ； （3）设， 分两种情况： ①当点P在线段上时，， 如图3，过点作于，交于， ， ， ，， ， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ； ②当点在线段的延长线上时，如图，，过点作于，交于，则， 同理得：， ， ， ， ， ， ； 综上，的长为或． 16．（24-25八年级上·江苏南京·期中）数学书第69页数学活动《折纸与证明》中提到：折纸，常常能够为证明一个命题提供思路和方法． 【初步体验】 操作①：取一张矩形纸，将边折叠到边上，折痕为，点的对应点为．（如图1所示） 操作②：将折叠到边上，折痕为，（如图2所示） （1）若与恰好重合，则 ； 【初步探究】 在操作①中，沿剪开，易得一张正方形纸，让我们继续折叠下去… 操作③：把正方形对折后再展开，折痕为； 操作④：点在边上，翻折，使得点落在折痕上的点处，连接，则是等边三角形；（如图3所示） （2）求证：是等边三角形； 【深入探究】 操作⑤：把正方形对折后再展开，折痕为； 操作⑥：将沿翻折到位置，延长交于点，则点是的三等分点．（如图4所示） （3）通过计算证明：点是的三等分点． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】（1）勾股定理求得，根据折叠可得，即可求解； （2）根据折叠的性质可得，，即可得证； （3）连接，证明，得出，设正方形的边长为，，则，进而在中，勾股定理求得，即可得证． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形 ∴ ∵折叠， ∴， ∴四边形是正方形 ∴ ∴， ∵ ∴， （2）∵点在边上，翻折，使得点落在折痕上的点处， ∴， ∵把正方形对折后再展开，折痕为； ∴ ∴ ∴是等边三角形； （3）证明：设正方形的边长为， 根据折叠可得，， 则， 连接，如图所示， 在中， ∴， ∴ 设，则， 在中， ∴ 解得：， ∴，即点是的三等分点． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$