2025年九年级数学中考三轮冲刺训练-平行四边形与特殊平行四边形的存在性问题

2025年九年级数学中考三轮冲刺训练-平行四边形与特殊平行四边形的存在性问题

1．如图1，在正方形中，点是延长线上一点，连接．点在线段上，过点作的垂线分别交于M、N．

  

(1)求证：；

(2)如图2，当点是中点时，连接交于，连接．写出和的数量关系，并证明．

2．如图，四边形是矩形．

(1)在图1中作对角线的垂直平分线，分别交于点，垂足为点（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）

(2)在（1）中，连接和，求证：四边形是菱形；

(3)如图2，点在矩形的边上，且，延长到点，使，连接．若，，则四边形的面积为多少？

3．如图-1，在平行四边形中，过点作，垂足分别为点交于点、．

(1)若，求的度数；

(2)如图-2，若四边形是菱形，延长，相交于点．

①求证：；

②当时，求证：．

4．已知四边形是平行四边形，，点是边上一个动点，连接，沿将翻折至（如图1），所在的直线与交于点．

(1)当点落在上时（如图2），判断四边形的形状，并证明；

(2)当点与点重合时，求的长；

(3)当取最大值时，求此时的长．

5．已知在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点B的对称点F在边上．

(1)如图1，若，求的长．

(2)如图2，过点B作，交于点H，G．求证：．

(3)如图3，在（2）条件下，连接，求证：四边形是菱形．

(4)如图4，在（2）、（3）条件下，作平分，交于点M，请直接写出线段之间的数量关系．

6．如图，在中，，的垂直平分线交于D，交于E，F在上，并且．

(1)求证：四边形是平行四边形；

(2)当满足什么条件时，四边形是菱形？请回答并证明你的结论．

7．如图，在边长为1的正方形中，点N在线段上，点M在线段的延长线上，且，线段交于点P．

(1)求证：；

(2)求证：；

(3)当时，求的长．

8．如图，中，对角线交于点O，点E在边上，延长交于点F，连接，与互余．

(1)求证：四边形是菱形；

(2)再选择添加以下条件中的一个且只添加一个，能使菱形为正方形的是______（填序号），并请加以证明．

①；②；③，，．

9．如图，在四边形中，，交于点，已知，．

(1)求证：四边形是平行四边形；

(2)若平分，判断四边形的形状，并说明理由．