专题03 排列组合（考点串讲）-【中职专用】2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（高教版2023·拓展模块一下册）

专题03 排列组合 一．计数原理 1. 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.  2. 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法. 基本形式 一般形式 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案， 在第1类方案中有m种不同的方法， 在第2类方案中有n种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m＋n种不同的方法． 完成一件事有n类不同方案， 在第1类方案中有m1种不同的方法， 在第2类方案中有m2种不同的方法， …， 在第n类方案中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤， 做第1步有m种不同的方法， 做第2步有n种不同的方法， 那么完成这件事共 有N＝m×n种不同的方法． 完成一件事需要n个步骤， 做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法， …， 做第n步有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． 二．排列与组合 1. 排列与组合的概念 名称 定义 排列 从个不同元素中取出（）个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从个元素中取出个元素的一个排列 组合 作为一组，叫做从个元素中取出个元素的一个组合 2. 排列数与组合数 （1）排列数： 从个不同元素中取出取出（）个元素的所有不同排列的个数，叫做从个元素中取出个元素的一个排列数，用符号表示 （2）组合数： 从个不同元素中取出（）个元素的所有不同组合的个数，叫做从个元素中取出个元素的一个组合数，用符号表示 3. 排列数、组合数的公式及性质 （1） （2） （3） （4）； 三．二项式定理 1. 二项式定理的有关概念 （1）二项式定理 一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理. （2）二项展开式 公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式. （3）二项式系数与项的系数 二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等. （4）二项展开式的通项 二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用. 2. 二项式系数的性质 ①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等： ②增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减； ③最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. 3. 各二项式系数和 （1）展开式的各二项式系数和：； （2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 题型一、分类加法计数原理 【例1】现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（       ） A．7种 B．9种 C．14种 D．70种 【答案】C 【解析】分为三类：从国画中选，有2种不同的选法; 从油画中选，有5种不同的选法; 从水彩画中选，有7种不同的选法， 根据分类加法计数原理，共有5+2+7= 14(种)不同的选法， 故选：C. 【例2】从甲地出发前往乙地，一天中有4趟汽车、3趟火车和1趟航班可供选择．某人某天要从甲地出发，去乙地旅游，则所有不同走法的种数是（       ） A．16 B．15 C．12 D．8 【答案】D 【解析】根据分类加法计数原理，可知共有4＋3＋1＝8种不同的走法， 故选：D. 【变式1】解1道数学题，有两种方法，有2个人只会用第一种方法，有3个人只会用第二种方法，从这5个人中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（       ） A．4种 B．5种 C．6种 D．9种 【答案】B 【解析】根据分类加法计数原理得：不同的选法共有（种）， 故选：B. 【变式2】一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法有______种． 【答案】37 【解析】一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本， 由分类加法计数原理可知，不同的取法有种， 故答案为：37． 题型二、分步乘法计数原理 【例1】 某大学食堂备有6种荤菜、5种素菜、3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（       ） A．30 B．14 C．33 D．90 【答案】D 【解析】因为备有6种素菜，5种荤菜，3种汤， 所以素菜有6种选法，荤菜有5种选法，汤菜有3种选法， 所以要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐有种， 故选：D. 【例2】在平面直角坐标系中，点的横坐标在集合内取值，纵坐标在集合内取值，则不同的点共有 个． 【答案】4 【解析】根据题意，点的横坐标在集合内取值，有2种情况， 纵坐标在集合内取值，有2种情况，所以不同的点有个， 故答案为：． 【变式1】现有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣配成一套，那么不同的选法种数为（       ） A．7 B．64 C．12 D．81 【答案】C 【解析】由题意，有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤， 从中四件不同款式的上衣中，任选一件有种选法， 从中三件不同颜色的长裤中，任选一件有种选法， 根据分步计数原理，可得共有种不同的选法， 故选：C. 【变式2】加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有 种. 【答案】 【解析】每道工序为一步，共分3步，根据分步计数原理可得，共有种， 故答案为：. 题型三、计数原理综合 【例1】 李芳有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则不同的选择方式有(　　) A．24种 B．10种 C．9种 D．14种 【答案】D 【分析】分类讨论利用分步乘法和分类加法计数原理计算即可. 【解析】分两类： 第一类：选衬衣加裙子，共有种选法； 第二类：选连衣裙，共有种选法， 根据分类加法计数原理共有种选法. 故选： 【变式1】中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠､牛､虎､兔､龙､蛇､马､羊､猴､鸡､狗､猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛､马，乙同学喜欢牛､狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（    ） A．90种 B．80种 C．60种 D．50种 【答案】D 【分析】根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论，求出确定乙，丙的选择方法，即可得每种情况的选法数目，由分类加法计数原理，即可求出答案. 【解析】根据题意，分2种情况讨论： ①若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种，此时有种不同的选法： ②若甲选择马，此时乙的选择有3种，丙的选择有10种，此时有种不同的选法： 则共有种选法. 故选：D. 题型四、排列问题 【例1】 现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是（       ） A．20 B．90 C．120 D．240 【答案】C 【解析】共有种不同的选派方案, 故选：C. 【例2】安排5名志愿者完成三项工作，其中项工作需3人，两项工作都只需一人，则不同的安排方式共有______种. 【答案】20 【解析】项工作安排3人有，然后安排有， 则所安排的方式共种， 故答案为：20. 【变式1】用数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字，并且比2000大的四位数共有（       ） A．66个 B．72个 C．55个 D．60个 【答案】B 【解析】首位是2，3,4的四位数都比2000大，所以共有个， 故选：B. 【变式2】由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是 . 【答案】48 【解析】第一步先从非零的四个数中选择一个作为百位数字，有种选法， 再从剩余的四个数中选择两个排在十位和个位上，有种选法， 由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是. 故答案为：48. 题型五、组合问题 【例1】现有6名男医生、5名女医生，从中选出3名男医生、2名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（       ） A．150种 B．180种 C．200种 D．462种 【答案】C 【解析】先从6名男医生中选出3名男医生， 再从5名女医生中选出2名女医生， 根据分步乘法计数原理可得，不同的选法共有种， 故选：C. 【例2】某医院计划从3名医生和4名护士中任选3人参与某地的防疫工作，则至少有1名医生被选中的选法共有（       ） A．31种 B．33种 C．34种 D．35种 【答案】A 【解析】至少有1名医生被选中的选法共有种， 故选：A． 【变式1】某校选修课种类丰富多彩，极大拓展了学生的视野，现有A类选修课4门，B类选修课3门，小张同学打算从中选择三门，若要求两类课程各至少选1门，则不同的选法种数为________. 【答案】30 【解析】由题意，小张同学从中选择三门，要求两类课程各至少选1门， 则可以选A类2门B类1门，也可以选A类1门B类2门， 所以不同的选法种数共有， 故答案为：30. 【变式2】在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽取3件，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法的种数为 . 【答案】 【解析】“没有次品”的抽法种数为：, 至少有一件是次品的抽法的种数为：， 故答案为：. 题型六、排列组合综合 【例1】五一小长假期间，旅游公司决定从6辆旅游大巴A､B､C､D､E､F中选出4辆分别开往紫蒙湖､美林谷､黄岗梁､乌兰布统四个景区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这6辆大巴中A､B不去乌兰布统，则不同的选择方案共有（    ） A．360 B．240 C．216 D．168 【答案】B 【分析】优先考虑去乌兰布统，再把剩下的三个景区各安排一辆大巴前往，利用分步计算原理得解. 【解析】这6辆旅游大巴，A､B不去乌兰布统，则不同的选择方案共有种. 故选：B. 【例2】安排5名志愿者完成三项工作，其中项工作需3人，两项工作都只需一人，则不同的安排方式共有（    ） A．10种 B．120种 C．60种 D．20种 【答案】D 【分析】先安排项工作的3人，再安排两项工作的2人，然后利用乘法原理可得结果. 【解析】从5名志愿者中任选人完成项工作，有种， 剩余名志愿者完成两项工作，有种， 故不同的安排方式共有种. 故选：D 【变式1】用这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的偶数共有（    ） A．120个 B．72个 C．60个 D．48个 【答案】D 【分析】利用分步乘法计数原理可得答案. 【解析】由题可知，不同的偶数共有个. 故选：D. 【变式2】小张接到4项工作，要在下周一、周二、周三这3天中完成，每天至少完成1项，且周一只能完成其中1项工作，则不同的安排方式有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】C 【分析】先按照周一，再安排其他两天，利用分步计数原理及排列组合知识进行求解； 【解析】先从4项工作中选1项安排在周一完成，再从剩下的工作中选2项安排在周二或周三，所以不同的安排方式有种． 故选：C. 题型七、二项式展开式的通项 【例1】若的展开式有9项，则自然数的值为（       ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解析】因为的展开式共有项，所以，所以， 故选：B． 【例2】在的展开式中，常数项为（       ） A．80 B． C．160 D． 【答案】D 【解析】由于互为倒数，故常数项为第4项， 即常数项为， 故选：D. 【变式1】已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式的第5项是（       ） A．6 B．15 C． D． 【答案】D 【解析】由题意得：，解得：， 则展开式的通项公式为， 第五项是， 故选：D. 【变式2】的展开式中系数最大的项是（       ） A．第5项 B．第6项 C．第5项、第6项 D．第6项、第7项 【答案】B 【解析】由的展开式的通项为， 知展开式中系数最大的项即二项式系数最大的项，即最大， 所以，即第6项的系数最大， 故选：B. 题型八、二项式系数及系数 【例1】已知的展开式中含的项的系数为（       ） A．30 B．-30 C．25 D．-25 【答案】A 【解析】展开式的第项为， 令，得，故展开式中含的项的系数为， 故选：A． 【例2】若的展开式中各项系数的和为256，则的值为（       ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【解析】设， 令得，解得， 故选：D. 【变式1】已知，则（       ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】令，得，① 令，得，② 两式相加，得， 令得：， ， 故选：B. 【变式2】】已知的展开式中各二项式系数之和为128，则展开式中的常数项为 ． 【答案】7 【解析】由题意得，得， 所以展开式的通项， 由，得，所以展开式的常数项是， 故答案为：7. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 排列组合 一．计数原理 1. 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.  2. 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法. 基本形式 一般形式 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案， 在第1类方案中有m种不同的方法， 在第2类方案中有n种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m＋n种不同的方法． 完成一件事有n类不同方案， 在第1类方案中有m1种不同的方法， 在第2类方案中有m2种不同的方法， …， 在第n类方案中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤， 做第1步有m种不同的方法， 做第2步有n种不同的方法， 那么完成这件事共 有N＝m×n种不同的方法． 完成一件事需要n个步骤， 做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法， …， 做第n步有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． 二．排列与组合 1. 排列与组合的概念 名称 定义 排列 从个不同元素中取出（）个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从个元素中取出个元素的一个排列 组合 作为一组，叫做从个元素中取出个元素的一个组合 2. 排列数与组合数 （1）排列数： 从个不同元素中取出取出（）个元素的所有不同排列的个数，叫做从个元素中取出个元素的一个排列数，用符号表示 （2）组合数： 从个不同元素中取出（）个元素的所有不同组合的个数，叫做从个元素中取出个元素的一个组合数，用符号表示 3. 排列数、组合数的公式及性质 （1） （2） （3） （4）； 三．二项式定理 1. 二项式定理的有关概念 （1）二项式定理 一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理. （2）二项展开式 公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式. （3）二项式系数与项的系数 二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等. （4）二项展开式的通项 二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用. 2. 二项式系数的性质 ①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等： ②增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减； ③最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. 3. 各二项式系数和 （1）展开式的各二项式系数和：； （2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 题型一、分类加法计数原理 【例1】现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（       ） A．7种 B．9种 C．14种 D．70种 【例2】从甲地出发前往乙地，一天中有4趟汽车、3趟火车和1趟航班可供选择．某人某天要从甲地出发，去乙地旅游，则所有不同走法的种数是（       ） A．16 B．15 C．12 D．8 【变式1】解1道数学题，有两种方法，有2个人只会用第一种方法，有3个人只会用第二种方法，从这5个人中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（       ） A．4种 B．5种 C．6种 D．9种 【变式2】一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法有______种． 题型二、分步乘法计数原理 【例1】 某大学食堂备有6种荤菜、5种素菜、3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（       ） A．30 B．14 C．33 D．90 【例2】在平面直角坐标系中，点的横坐标在集合内取值，纵坐标在集合内取值，则不同的点共有 个． 【变式1】现有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣配成一套，那么不同的选法种数为（       ） A．7 B．64 C．12 D．81 【变式2】加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有 种. 题型三、计数原理综合 【例1】 李芳有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则不同的选择方式有(　　) A．24种 B．10种 C．9种 D．14种 【变式1】中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠､牛､虎､兔､龙､蛇､马､羊､猴､鸡､狗､猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛､马，乙同学喜欢牛､狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（    ） A．90种 B．80种 C．60种 D．50种 题型四、排列问题 【例1】 现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是（       ） A．20 B．90 C．120 D．240 【例2】安排5名志愿者完成三项工作，其中项工作需3人，两项工作都只需一人，则不同的安排方式共有______种. 【变式1】用数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字，并且比2000大的四位数共有（       ） A．66个 B．72个 C．55个 D．60个 【变式2】由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是 . 题型五、组合问题 【例1】现有6名男医生、5名女医生，从中选出3名男医生、2名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（       ） A．150种 B．180种 C．200种 D．462种 【例2】某医院计划从3名医生和4名护士中任选3人参与某地的防疫工作，则至少有1名医生被选中的选法共有（       ） A．31种 B．33种 C．34种 D．35种 【变式1】某校选修课种类丰富多彩，极大拓展了学生的视野，现有A类选修课4门，B类选修课3门，小张同学打算从中选择三门，若要求两类课程各至少选1门，则不同的选法种数为________. 【变式2】在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽取3件，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法的种数为 . 题型六、排列组合综合 【例1】五一小长假期间，旅游公司决定从6辆旅游大巴A､B､C､D､E､F中选出4辆分别开往紫蒙湖､美林谷､黄岗梁､乌兰布统四个景区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这6辆大巴中A､B不去乌兰布统，则不同的选择方案共有（    ） A．360 B．240 C．216 D．168 【例2】安排5名志愿者完成三项工作，其中项工作需3人，两项工作都只需一人，则不同的安排方式共有（    ） A．10种 B．120种 C．60种 D．20种 【变式1】用这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的偶数共有（    ） A．120个 B．72个 C．60个 D．48个 【变式2】小张接到4项工作，要在下周一、周二、周三这3天中完成，每天至少完成1项，且周一只能完成其中1项工作，则不同的安排方式有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 题型七、二项式展开式的通项 【例1】若的展开式有9项，则自然数的值为（       ） A．7 B．8 C．9 D．10 【例2】在的展开式中，常数项为（       ） A．80 B． C．160 D． 【变式1】已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式的第5项是（       ） A．6 B．15 C． D． 【变式2】的展开式中系数最大的项是（       ） A．第5项 B．第6项 C．第5项、第6项 D．第6项、第7项 题型八、二项式系数及系数 【例1】已知的展开式中含的项的系数为（       ） A．30 B．-30 C．25 D．-25 【例2】若的展开式中各项系数的和为256，则的值为（       ） A．10 B．8 C．6 D．4 【变式1】已知，则（       ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】】已知的展开式中各二项式系数之和为128，则展开式中的常数项为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$