专题04 随机变量及其分布（考点串讲）-【中职专用】2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（高教版2023·拓展模块一下册）

专题04 随机变量及其分布 一．离散型随机变量及其分布 1．离散型随机变量 （1）随机变量的基本概念 ①随机变量的概念：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量.常用希腊字母、等表示． ②离散型随机变量的概念：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量． ③连续型随机变量的概念：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及其数字特征 (1)离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为 x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列． ξ x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi … 注：分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足：，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： ①，； ②，． (2)离散型随机变量的期望和方差： 一般地，若离散型随机变量X的分布列，如下表所示 X … P … 则称为随机变量X的均值或数学期望，简称期望。 称为随机变量的方差，称为随机变量的标准差． 3．二项分布 (1) 重伯努利试验(次独立重复试验) ①我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. ②将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验. (2) 二项分布 一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()，用表示事件发生的次数，则的分布列为，.如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作． (3) 二项分布的均值与方差 若随机变量服从参数为,的二项分布，即,则, . 二．正态分布 1．正态曲线 正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线显然对于任意，，它的图象在轴的上方．可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”，如图②. 若随机变量的概率密度函数为，则称随机变量服从正态分布，记为，特别地，当，时，称随机变量服从标准正态分布． 2．由的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点 (1) 曲线是单峰的，它关于直线对称； (2)曲线在处达到峰值； (3)当|x|无限增大时，曲线无限接近轴． 3．正态分布的期望与方差 若，则，． 4．正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)；(2)；(3)． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则． 5．利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线对称的，且概率的和为1，故关于直线对称的区间概率相等．如： ①； ②． (2)“”法：利用落在区间内的概率分别是0．6827，0．9545，0．9973求解． 题型一、离散型随机变量 【例1】下列随机变量X不是离散型随机变量的是 （   ） A．某机场候机室中一天的游客数量为X B．某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X C．某水文站观察到一天中长江的水位为X D．某立交桥一天经过的车辆数为X 【例2】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（   ） A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 【变式1】下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置； ③某派出所一天内接到的报警电话次数； ④某同学上学路上离开家的距离． 其中是离散型随机变量的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个球，下列选项中可以用随机变量表示的是（   ） A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球 C．取到白球的个数 D．取到球的个数 题型二、离散型随机变量的分布列 【例1】用表示投掷一枚均匀的骰子所得的点数，利用的分布列求下列事件的概率，其中错误的是（   ） A．掷出的点数是偶数的概率为 B．掷出的点数超过1的概率为 C．掷出的点数大于3而不大于5的概率为 D．的期望为 【例2】已知离散型随机变量的分布列，则等于（   ） 1 2 3 4 A． B． C． D． 【变式1】设X是一个离散随机变量，其分布列为： －1 0 1 则实数的值为 . 【变式2】下表是离散型随机变量X的概率分布，则常数的值是（   ） X 3 4 5 6 P A． B． C． D． 题型三、离散型随机变量的数字特征 【例1】一袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个球，现从中随机取出2个球，用表示取出球的最大编号，则（   ） A．2 B．3 C． D． 【例2】在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8．那么他罚球1次的得分X的均值是多少？ 【例3】已知离散型随机变量的分布如下表： 0 2 P a b 若随机变量的期望值，则 . 【变式1】已知随机变量X的分布列如下所示，则（   ） X 0 1 2 P a A． B． C． D． 【变式2】掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得分，求得分X的均值． 【变式3】袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球． （1）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率； （2）采取不放回抽样方式，从中依次模出两个球，记为摸出两球中白球的个数，求的期望和方差． 题型四、二项分布 【例1】设随机变量，则等于（   ） A． B． C． D． 【例2】掷一枚均匀的硬币4次，出现正面的次数等于反面次数的概率为（   ） A． B． C． D． 【例3】某射手每次射击击中目标的概率为0.8，共进行10次射击，求(精确到0.01)： （1）恰有8次击中目标的概率； （2）至少有8次击中目标的概率. 【变式1】已知随机变量服从二项分布，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】一批产品的一等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的一等品件数，则 . 【变式3】某射手射击5次，每次命中的概率为0.6，求下列事件的概率: （1）5次中有3次中靶； （2）5次中至少有3次中靶. 题型五、正态分布 【例1】设随机变量，且，则（   ） A．0.75 B．0.5 C．0.3 D．0.25 【例2】若随机变量，且，则等于（   ） A．0.1587 B．0.3413 C．0.6827 D．0.8413 【变式1】已知随机变量服从正态分布，则（   ） A．0.16 B．0.34 C．0.66 D．0.84 【变式2】已知随机变量服从正态分布, 且, 则（   ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 随机变量及其分布 一．离散型随机变量及其分布 1．离散型随机变量 （1）随机变量的基本概念 ①随机变量的概念：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量.常用希腊字母、等表示． ②离散型随机变量的概念：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量． ③连续型随机变量的概念：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及其数字特征 (1)离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为 x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列． ξ x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi … 注：分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足：，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： ①，； ②，． (2)离散型随机变量的期望和方差： 一般地，若离散型随机变量X的分布列，如下表所示 X … P … 则称为随机变量X的均值或数学期望，简称期望。 称为随机变量的方差，称为随机变量的标准差． 3．二项分布 (1) 重伯努利试验(次独立重复试验) ①我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. ②将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验. (2) 二项分布 一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()，用表示事件发生的次数，则的分布列为，.如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作． (3) 二项分布的均值与方差 若随机变量服从参数为,的二项分布，即,则, . 二．正态分布 1．正态曲线 正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线显然对于任意，，它的图象在轴的上方．可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”，如图②. 若随机变量的概率密度函数为，则称随机变量服从正态分布，记为，特别地，当，时，称随机变量服从标准正态分布． 2．由的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点 (1) 曲线是单峰的，它关于直线对称； (2)曲线在处达到峰值； (3)当|x|无限增大时，曲线无限接近轴． 3．正态分布的期望与方差 若，则，． 4．正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)；(2)；(3)． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则． 5．利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线对称的，且概率的和为1，故关于直线对称的区间概率相等．如： ①； ②． (2)“”法：利用落在区间内的概率分别是0．6827，0．9545，0．9973求解． 题型一、离散型随机变量 【例1】下列随机变量X不是离散型随机变量的是 （   ） A．某机场候机室中一天的游客数量为X B．某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X C．某水文站观察到一天中长江的水位为X D．某立交桥一天经过的车辆数为X 【答案】C 【解析】A、B、D中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量； C中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故其不是离散型随机变量. 故选：C. 【例2】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（   ） A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 【答案】D 【解析】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分， 所以有两种情况， 即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次． 故选：D． 【变式1】下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置； ③某派出所一天内接到的报警电话次数； ④某同学上学路上离开家的距离． 其中是离散型随机变量的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量； 对于②，沿轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量； 对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量； 对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量，所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③． 故选：B． 【变式2】袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个球，下列选项中可以用随机变量表示的是（   ） A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球 C．取到白球的个数 D．取到球的个数 【答案】C 【解析】选项A，B是随机事件； 选项D是定值2； 选项C可能的取值为0，1，2，可以用随机变量表示． 故选：C． 题型二、离散型随机变量的分布列 【例1】用表示投掷一枚均匀的骰子所得的点数，利用的分布列求下列事件的概率，其中错误的是（   ） A．掷出的点数是偶数的概率为 B．掷出的点数超过1的概率为 C．掷出的点数大于3而不大于5的概率为 D．的期望为 【答案】C 【解析】的值可以为1、2、3、4、5、6，取每一个值的概率都相等，X的分布列为： X 1 2 3 4 5 6 P X为偶数的情况由3种，其概率为，故A正确； X超过1的有5种，其概率为，故B正确； X大于3不大于5的有4、5两种，其概率为，故C错误； X期望值为，故D正确， 故选：C. 【例2】已知离散型随机变量的分布列，则等于（   ） 1 2 3 4 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 故选：A. 【变式1】设X是一个离散随机变量，其分布列为： －1 0 1 则实数的值为 . 【答案】 【解析】由离散型随机变量分布列的性质，知， 故，因为， 解得. 故答案为：. 【变式2】下表是离散型随机变量X的概率分布，则常数的值是（   ） X 3 4 5 6 P A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，解得， 故选：C. 题型三、离散型随机变量的数字特征 【例1】一袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个球，现从中随机取出2个球，用表示取出球的最大编号，则（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【解析】由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4. 且，，. 因此X的分布列为： X 2 3 4 P 则， 故选：C. 【例2】在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8．那么他罚球1次的得分X的均值是多少？ 【答案】0.8 【解析】因为，， 所以． 即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8． 【例3】已知离散型随机变量的分布如下表： 0 2 P a b 若随机变量的期望值，则 . 【答案】11 【解析】由表中数据得：，解得， 又，， 所以， 所以， 故答案为：11． 【变式1】已知随机变量X的分布列如下所示，则（   ） X 0 1 2 P a A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由分布列的性质得， ∴， 故选：D. 【变式2】掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得分，求得分X的均值． 【答案】0 【解析】根据题意，得分，， ，， 故． 即得分X的均值为0. 【变式3】袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球． （1）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率； （2）采取不放回抽样方式，从中依次模出两个球，记为摸出两球中白球的个数，求的期望和方差． 【答案】(1)；(2)， 【解析】解：（1）记“摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不同”为事件A， 摸出一球是白球的概率为，摸出一球是黑球的概率为， 由互斥事件和相互独立事件的概率公式得到． （2）由题意知，的可能取值为0，1，2， 当时，表示摸出两球中白球的个数为0， 当时，表示摸出两球中白球的个数为1， 当时，表示摸出两球中白球的个数为2， ∴， ． 即摸出白球个数ξ的期望和方差分别是，． 题型四、二项分布 【例1】设随机变量，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵， ∴； 故选：A. 【例2】掷一枚均匀的硬币4次，出现正面的次数等于反面次数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】出现正面的次数等于反面次数的概率为； 故选：A. 【例3】某射手每次射击击中目标的概率为0.8，共进行10次射击，求(精确到0.01)： （1）恰有8次击中目标的概率； （2）至少有8次击中目标的概率. 【答案】；（2）. 【解析】（1）∵某射手每次射击击中目标的概率是， 则这名射手在10次射击中恰有8次击中目标的概率为：••． （2）至少有8次击中目标的概率为：••••． 【变式1】已知随机变量服从二项分布，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为随机变量服从二项分布， 所以. 故选：A. 【变式2】一批产品的一等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的一等品件数，则 . 【答案】9 【解析】由题意可知，该事件满足独立重复试验，是二项分布模型，其中，，， 则． 故答案为：． 【变式3】某射手射击5次，每次命中的概率为0.6，求下列事件的概率: （1）5次中有3次中靶； （2）5次中至少有3次中靶. 【答案】见解析 【解析】射击手每次射击看作一次随机试验，每次有两个可能的结果：出现中靶或不中靶，出现中靶的概率为0.6，因此5次测量可看作是5次独立重复试验 ，如果用X表示出现中靶的次数，则X服从 n=3，p=0.6的二项分布，那么 （1）5次中有3次中靶的概率为 （2）5次中至少有3次中靶 题型五、正态分布 【例1】设随机变量，且，则（   ） A．0.75 B．0.5 C．0.3 D．0.25 【答案】D 【解析】随机变量，显然，而， 所以. 故选：D 【例2】若随机变量，且，则等于（   ） A．0.1587 B．0.3413 C．0.6827 D．0.8413 【答案】D 【解析】由，可知该正态密度曲线的对称轴为直线， 所以； 故选：D. 【变式1】已知随机变量服从正态分布，则（   ） A．0.16 B．0.34 C．0.66 D．0.84 【答案】A 【解析】因为随机变量服从正态分布，则， 所以，又， 则 所以． 故选：A. 【变式2】已知随机变量服从正态分布, 且, 则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知，， 由于，所以， 因此，， 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$