9.2.3 总体集中趋势的估计（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

人教A版2019必修第二册 9.2.3 总体集中趋势的估计 第九章 统计 学习目标 1 2 3 了解平均数、中位数和众数的概念 结合实例，了解平均数、中位数和众数的区别与联系 会通过样本频率分布表或频率分布直方图估计总体的平均数、中位数和众数，培养数学运算、数据分析的核心素养. 复习回顾 为了了解总体的情况，前面我们研究了如何通过样本的分布规律估计总体的分布规律.但有时候，我们可能不太关心总体的分布规律，而更关注总体取值在某一方面的特征. 例如，对于某县今年小麦的收成情况，我们可能会更关注该县今年小麦的总产量或平均每公顷的产量，而不是产量的分布；对于一个国家国民的身高情况，我们可能会更关注身高的平均数或中位数，而不是身高的分布；等等. 新知探究 在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势. 那你是否还记得平均数、中位数、众数的定义是什么吗？这些统计量刻画了数据的什么特点？ 众数： 中位数： 当数据个数是奇数时，处在最中间的数是中位数； 当数据个数是偶数时，最中间两个数的平均数是中位数. （第50百分位数） 平均数： 一组数据中出现次数最多的数. 一组数据按从小到大排序， 反映所有数据的平均水平的数据 下面我们通过具体实例进一步了解这些量的意义，探究它们之间的联系与区别，并根据样本的集中趋势估计总体的集中趋势. 新知探究 注意单位（t） 例1 利用9.2.1节中100户居民用户的月均用水量的调查数据,计算样本数据的平均数和中位数,并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数。 9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.0 2.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5 2.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9 2.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.4 22.4 3.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.0 22.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.9 5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7 5.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3 5.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.8 7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6 解：① 根据已知100户居民用户月均用水量的数据，可得样本平均数为 即100户居民的月均用水量的平均数为8. 79 t. 新知探究 解： ②将样本数据按从小到大排序，结果如下： 1.3 1.3 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 2.1 2.2 2.3 2.3 2.4 2.4 2.6 3.0 3.2 3.2 3.6 3.6 3.7 3.8 4.0 4.1 4.3 4.4 4.6 4.7 4.9 4.9 4.9 5.1 5.1 5.1 5.2 5.3 5.4 5.4 5.5 5.5 5.5 5.5 5.6 5.7 5.7 5.9 6.0 6.0 6.4 6.4 6.8 6.8 7.0 7.1 7.1 7.1 7.5 7.7 7.8 7.8 7.9 8.1 8.6 8.8 9.0 9.5 9.9 10.0 10.1 10.2 10.2 10.5 10.8 11.1 11.2 12.0 12.0 12.4 13.3 13.6 13.6 13.8 13.8 14.0 14.9 15.7 16.0 16.7 16.8 17.0 17.9 18.3 19.4 20.5 21.6 22.2 22.4 24.3 24.5 25.6 28.0 6.8 6.8 由上述数据可得，第50个数和第51个数均为6.8，由中位数的定义，可得，100户居民的月均用水量的中位数是6.8t. 因为数据是抽自全市居民户的简单随机样本，所以我们可以据此估计全市居民用户的月均用水量约为8.79 t，其中位数约为6.8 t，众数是2.0和5.5t. 问题1 设某个居民小区有2000户，你能估计该小区的月用水总量吗？ ③由众数的定义，可得100户居民的月均用水量的众数是 2.0和5.5 t. 新知探究 问题2 小明用统计软件计算了100户居民用水量的平均数和中位数. 但在录入数据时，不小心把一个数据7.7录成了77. 请计算录入数据的平均数和中位数，并与真实的样本平均数和中位数作比较. 哪个量的值变化更大？ 77 8.79t→9.483t 6.8t→6.8t 新知探究 问题3 你能解释出现问题2中现象的原因吗？ 中位数 平均数 （1）平均数有所变化；样本的平均数与每个数据有关，样本中的每一个数据的变化都能引起平均数的变化； （2）中位数只与样本数据中间位置的一个或两个值有关，与其他数据无关，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变. 与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感。 8.79t→9.483t 6.8t→6.8t 新知探究 在直方图中，平均数总在“长尾巴”那边 探究1 平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图的三种频率分布直方图形态中，平均数和中位数的大小存在什么关系？ (1)平均数和中位数应该大体上差不多; (2)平均数大于中位数;（右边“拖尾”) (3)平均数小于中位数. （左边“拖尾”) 新知探究 追问 如果一组数据的平均数和中位数相差较大，能说明什么呢？ 如果一组数据的平均数和中位数相差较大，那么可以推断这组数据一定是不对称的. 如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在较大的极端值；反之，说明数据中不存在较大的极端值. 典例分析 例2 某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格. 根据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表所示： 校服规格 155 160 165 170 175 合计 频数 39 64 167 90 26 386 分析：虽然校服规格是用数字表示的，但它们事实上是不同的类别，对于这样的分类数据，用众数作为这组数据的代表比较合适. 如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数中，哪个量比较合适？试讨论用上表中的数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性. 新知探究 解：为了更直观地观察数据的特征，我们用条形图来表示表中的数据。 通过观察条形图可以发现，选择校服规格为“165”的女生频数最高，所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适. 由于全国各地的高一年级女生的身高存在一定的差异，所以用一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理. 众数只利用了出现次数最多的那个值的信息.众数只能告诉我们它比其他值出现的次数多,但并未告诉我们它比别的数值多的程度.因此，众数只能传递数据中的信息的很少的一部分，对极端值也不敏感. 新知探究 问题4 根据平均数、中位数、众数各自的特点，我们应如何选择适合的统计量来表示数据的集中趋势？ (1)对数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述， 可以用 (2)对分类型数据（如校服规格、性别、产品质量等级等）集中趋势的描述，可以用 平均数、中位数 众数 新知探究 探究2 样本的平均数、中位数和众数可以分别作为总体的平均数、中位数和众数的估计，但在某些情况下我们无法获知原始的样本数据． 你能以图9.2-1中频率分布直方图提供的信息为例，给出估计方法吗? 在频率分布直方图中，损失了大量的原始数据，我们无法知道每个组内的数据是如何分布的. 此时，通常假设它们在组内均匀分布. 这样就可以获得样本的平均数、中位数和众数的近似估计，进而估计总体的平均数、中位数和众数. 如何由频率分布直方图估计样本的平均数、中位数和众数？ 新知探究 1. 根据频率分布直方图计算样本平均数： 因为样本平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和. 所以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. 月均用 水量/t 频率 组距 0.02 1.2 4.2 7.2 10.2 13.2 16.2 19.2 22.2 25.2 28.2 0 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.077 0.107 0.043 0.030 0.030 0.017 0.010 0.013 0.007 假设数据在组内均匀分布. 于是平均数的近似值为 ↑小矩形面积（频率） ↓小矩形底边中点横坐标 这个结果与根据原始数据计算的样本平均数8.79相差不大. 新知探究 2. 根据频率分布直方图计算样本中位数： 根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数. 因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等. 月均用水量/t 频率/组距 0.02 1.2 4.2 7.2 10.2 13.2 16.2 19.2 22.2 25.2 28.2 0 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.077 0.107 0.043 0.030 0.030 0.017 0.010 0.013 0.007 ∴中位数落在区间[4.2,7.2)内 设中位数是x ，则 这个结果与根据原始数据求得的中位数6.8相差不大. x-4.2 因此，中位数约为6.71. (0.077+0.107)×3=0.552 新知探究 月均用水量/t 频率/组距 0.02 1.2 4.2 7.2 10.2 13.2 16.2 19.2 22.2 25.2 28.2 0 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.077 0.107 0.043 0.030 0.030 0.017 0.010 0.013 0.007 3. 根据频率分布直方图计算样本众数： 根据众数定义得，在样本数据中出现次数最多数据就是众数. 因此在频率分布直方图中，我们常常把最高矩形的中点的横坐标作为众数的估计值. 因此，众数约为5.7. 众数常用在描述分类型数据中，众数5.7让我们知道月均用水量在区间[4.2，7.2)的居民用户最多. 这个信息具有实际意义. 归纳小结 ——找众数、中位数、平均数 众 数： 由频率分布直方图估计总体的集中趋势 中位数： 平均数： 【小结】 最高矩形的中点 中位数左边的直方图面积和右边的直方图面积相等 每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和 新知探究 问题5 以上我们讨论了平均数、中位数和众数在刻画一组数据的集中趋势时的各自特点，并研究了用样本的特征量估计总体特征量的方法. 那么这种方法有什么不足？ 这些特征量有时会被利用而产生误导. 问题6 假设你到人力市场去找工作，有一个企业老板告诉你，“我们企业员工的年平均收入是20万元”. 你如何理解这句话？ 可能这个公司的工资水平普遍较高，也就是员工收入的中位数、众数与平均数差不多； 可能是绝大多数员工的年收入较低，而少数员工的年收入很高；在这种情况下，年收入的平均数就比中位数大得多. 尽管在后一种情况下，用中位数或众数比用平均数更合理些，但这个企业的老板为了招揽员工，却用了平均数. 所以，我们要强调“用数据说话”，但同时又要防止被数据误导.这就需要掌握更多的统计知识和方法. 新知探究 平均数、中位数、众数各自的含义、特点及优缺点 平均数 中位数 众数 在频率分布直方图中的含义 特点 优点 缺点 每个小矩形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 与每一个数据有关，任何一个数的改变都会引起它的改变 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标 只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，并未利用其他数据 最高矩形底边中点的横坐标 只利用了出现次数最多的那个值的信息 受极端数据的影响较大. 代表了样本数据更多的信息. 只能表达样本数据中的少量信息. 容易计算，不受少数几个极端值的影响. 学以致用 教材P209 1. 根据表9.2-2中的数据，估计该市2015年全年空气质量指数的平均数、中位数和第80百分位数.(注:已知该市属于“严重污染”等级的空气质量指数不超过400) 空气质量等级(空气质量指数(AQD) 频数 频率 优(AQI≤50) 83 22.8% 良(50<AQI≤100) 121 33.2% 轻度污染(100< AQI≤150) 68 18.6% 中度污染(150<AQI≤200) 49 13.4% 重度污染(200< AQI≤300) 30 8.2% 严重污染(AQI> 300) 14 3.8% 合计 365 100% 平均数的估计值为 25×22.8%+75×33.2%+125×18.6%+175×13.4%+250×8.2%+350×3.8%≈111. 由表格数据可知，中位数在50~100之间，其估计值为 由表格数据可知，空气质量指数在0~150的频率为0.746，0~200的频率为0.88. 所以第80百分位数在150~200之间，其估计值为 学以致用 教材P209 2. 假设你是某市一名交通部门的工作人员，你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额. 已知国家对本市一条新公路的建设投资为2000万元人民币，对另外25个公路项目的投资是20~100万元，这26个投资金额的中位数是25万元，平均数是100万元，众数是20万元. 请你根据上面的信息给市长写一份简要的报告. 解：因为一条公路建设投资2000万元，属极端情况，大多数投资项目在20万元至100万元之间，此时平均数难以正确客观反映各项目投资的实际分布状况，不宜选用. 而众数20万元只说明投资20万元的项目最多，不能反映其他项目的投资数额. 中位数对极端值不敏感，能回避极端数额的影响. 所以25万元比较客观，故选中位数25万元作为平均投资金额. 学以致用 教材P209 3. 某校举行演讲比赛，10 位评委对两位选手的评分如下： 甲 7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 8.2 8.3 8.4 9.9 乙 7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 8.3 8.3 8.5 8.5 选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8个评分的平均数. 那么，这两个选手的最后得分是多少? 若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分，两位选手的排名有变化吗? 你认为哪种评分办法更好? 为什么? 解：去掉一个最低分和一个最高分后的平均数分别为 若不去掉一个最低分和一个最高分的平均数分别为 所以甲、乙的最后得分分别为8分和8.06分. 此时，甲、乙两位选手的排名发生了变化. 相比较而言第一种评分办法更合理，因为去掉一个最低分和一个最高分以后能够防止被数据中的极端值误导，使平均数能更加准确地反映数据信息. 能力提升 题型一 样本数据中的平均数、中位数和众数 例题 1.(1) 如果你是鞋店经理，你最关心的是哪种号码的鞋销量最大，那么平均数、 众数和中位数这三个数据对你来说最重要的是______. (2) 某次体检中，6位同学的身高(单位:米)分别为 ， ， ， ， ，则这组数据的中位数是_____. (3) 若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分分别为90，94，87，96，93， 89，91，92，则这组数据的中位数与平均数的和为_____. 众数 1.76 [解析] 位同学的身高(单位:米)从小到大排列为 位于中间的两个数值为 ， ， 这组数据的中位数是 . [解析](3) 这组数据由小到大排列为87，89，90，91，92，93，94，96， 中位数是 ，平均数是 . 这组数据的中位数与平均数的和为183. 183 能力提升 题型一 样本数据中的平均数、中位数和众数 例题 2. 某篮球运动员练习投篮，共20组，每组50次，每组命中球数如下表： 命中球数 46 47 48 49 50 频数 2 4 4 6 4 则这组数据的中位数和众数分别为( ) A. 48，4 B. ，4 C. 48，49 D. ，49 D [解析] 由题意知，中位数是第10个与第11个数据的平均数， 即 ， 众数为出现次数最多的数据，即49. 方法总结 样本数据中的平均数、中位数和众数的计算 能力提升 1.求样本数据的中位数和众数时，都要把数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，中位数仅与数据的排列位置有关，个别数据的变动可能对中位数没有影响，确定众数的关键是统计数据出现的频数，频数最多的就是众数. 2.平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响较大;中位数是样本数据所占频率的等分线，不受极端值的影响;众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征. 3.当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值;反之，说明数据中存在许多较小的极端值. 能力提升 题型二 频率分布直方图中的平均数、中位数和众数 例题 3. 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示. (1)求这次测试中数学成绩的众数； (2)求这次测试中数学成绩的中位数（结果保留一位小数）； [解析] 由题图知， 这次测试中数学成绩的众数为 (分). [解析] 设中位数为 ，由于前三个小矩形的面积之和为 ，第四个小矩形的面积为 ， ，因此 ， 解得 .故这次测试中数学成绩的中位数为73.3分. 能力提升 题型二 频率分布直方图中的平均数、中位数和众数 例题 3. 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示. (3)求这次测试中数学成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. [解析] 这次测试中数学成绩的平均数为 （分）. 方法总结 众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 能力提升 众数 众数是最高小长方形底边的中点所对应的横坐标 中位数 ①在频率分布直方图中，中位数左边和右边的小长方形的面 积的和相等，由此可以估计中位数的值，但是有偏差； ②中位数表示样本数据所占频率的等分线 平均数 ①平均数等于每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横 坐标之和； ②平均数是频率分布直方图的重心，是频率分布直方图的平 衡点 能力提升 题型三 用样本的集中趋势估计总体 例题 4. 某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成绩统计如表所示. 分数 50 60 70 80 90 100 人 数 甲班 1 6 12 11 15 5 乙班 3 5 15 3 13 11 选用平均数、众数与中位数评估这两个班的成绩. [解析] 甲班成绩的平均数是 （分）， 乙班成绩的平均数是 （分）， 从平均数看成绩较好的班是乙班. 甲班成绩的众数为 90分，乙班成绩的众数为70分，从众数看成绩较好的班是甲班. 由题表可知，甲班的第25个和第26个成绩都是80分，所以中位数是80分.同理,乙班成绩的中位数也是 80分，但是甲班成绩在中位数以上（含中位数）的学生有31人，占全班学生的 ，乙班成绩在中 位数以上(含中位数)的学生有27人，占全班学生的 ，所以从中位数看成绩较好的班是甲班.综合平 均数、众数与中位数可知成绩较好的是甲班. 课堂小结 把一组数据按大小顺序排列，处在最中间的一个数据(或两个数据的平均数); 从频率分布直方图中估计中位数左右两边的直方图的面积相等. 一组数据中重复出现次数最多的数; 从频率分布直方图中估计众数是最高的矩形的中点. 1、众数 2、中位数 3、平均数 如果有n个数据x1, x2,…, xn，那么这n个数的平均数 从频率分布直方图中估计平均数，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中的横坐标之和. 总体的各种数字特征都可以由两种途径来估计： ①直接利用样本数据； ②由频率分布直方图来估计 两者可能不同 主讲： 人教A版2019必修第二册 感谢聆听 $$