7.5 正态分布课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

7.5正态分布 第七章 随机变量及其分步 正态分布 新知探究 探究一： 情境设置 问题：自动流水线包装的食盐,每袋标准质量为400g.由于各种不可控制的因素,任意抽取一袋食盐,它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用X表示这种误差,则X是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中,随机抽取了100袋食盐,获得误差X(单位:g)的观测值如下: 2 新知探究 探究一： 情境设置 (1)如何描述这100个样本误差数据的分布? (2)如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布? 3 新知生成 知识点一 正态分布 1.正态曲线 (1)定义：由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象如图所示，对应的分布密度函数解析式为，，其中，为参数，我们 称𝑓(𝑥) 为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线. (2)误差模型 正态分布是很常见、很重要的连续型随机变量的分布，是刻画误差分布的重要模型，因此也称为误差模型. 4 新知生成 知识点一 正态分布 2.正态分布 (1)定义：若随机变量𝑋的概率分布函数为𝑓(𝑥)，则称随机变量𝑋 服从正态分布，记 为.特别地，当，时，称随机变量服从标准正态分布. (2)期望与方差：若，则 ， . 5 新知生成 知识点一 正态分布 3.正态曲线的性质 (1)曲线在轴的上方，与 轴不相交. (2)曲线是单峰的，关于直线对称. (3)曲线在 处达到峰值 . (4)当𝑥<𝜇 时，曲线上升；当𝑥>𝜇 时，曲线下降.当曲线向左、右两边无限延伸 时，以𝑥 轴为渐近线. (5)当𝜎 一定时，曲线的位置由𝜇 确定，曲线随着𝜇 的变化而沿𝑥 轴平移. (6)当𝜇 一定时，曲线的形状由𝜎 确定.𝜎 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越 分散；𝜎 越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中. 6 一、正态密度函数及正态曲线 例题1 如图,这是一条正态曲线，试根据该图象写出其正态密度函数的解析式，并求出总体随机变量的期望和方差. 【解析】由给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线对称，最大值是 ，所 以.由，得 . 于是正态密度函数的解析式为， ， ，方差 . 7 反思感悟 方法总结 利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住两个实质性特点： 一是图象的对称轴为直线 ， 二是函数的最大值为. 这两点确定以后，相应参数 ，便确定了，代入𝑓(𝑥) 中便可求出相应的解析式. 8 新知运用 跟踪训练1 在正态分布中，当，，则的最大值为_ ___. 【解析】令，则在上单调递增，所以当，即 时，取得最大值，最大值为 . 9 二、正态曲线的性质 P86例 李明上学有时坐公交车,有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到:坐公交车平均用时30min,样本方差为36;骑自行车平均用时34min,样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布. (1)估计X,Y的分布中的参数; (2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线; (3)如果某天有38min可用,李明应选择哪种交通工具?如果某天只有34min可用,又应该选择哪种交通工具?请说明理由. 【解析】(1)随机变量的样本均值为30,样本标准差为6;随机变量的样本均值为34,样本标准差为2.用样本均值估计参数,用样本标准差估计参数,可以得到 (和的分布密度曲线如图7.5-7所示. (3)应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.由图7.5-7可知, .所以,如果有可用,那么骑自行车不迟到的概率大,应选择骑自行车;如果只有可用,那么坐公交车不迟到的概率大,应选择坐公交车. 10 二、正态曲线的性质 例2 某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示（由于人数众多，故成绩分布的直方图可视为正态分布），则由曲线可得下列说法中正确的一项是( ). A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都居中 D.甲、乙、丙三科总体的平均数不相同 【解析】由题中图象可知三科总体的平均数（均值）相等.由正态曲线的性质可知,𝜎 越 大，正态曲线越“矮胖”；𝜎 越小，正态曲线越“高瘦”，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.故选A. A 11 反思感悟 方法总结 由正态曲线的性质可以求参数𝜇 ，𝜎： (1)正态曲线是单峰的，它关于直线𝑥=𝜇 对称，由此性质结合图象求𝜇 ； (2)正态曲线在𝑥=𝜇处达到峰值，由此性质结合图象可求𝜎 ； (3)由𝜎的大小区分曲线的“胖瘦”. 12 新知运用 跟踪训练2 (多选题)设随机变量 ，则( ). A.正态曲线关于直线 对称 B.正态曲线随着 的变化而上下波动 C.设随机变量，则 D.正态曲线与 轴之间的区域的面积为1 【解析】由正态曲线的性质知，A，D正确； 正态曲线随着𝜇 的变化而沿着𝑥 轴平移，B错误； 设随机变量，则，所以，C错误.故选 . AD 13 三、正态分布的概率计算 例3 已知随机变量 服从正态分布，且，则 ( ). A. B. C. D. 【解析】由，及， ，计算可得 ，故 . C 14 新知运用 跟踪训练3 某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量𝑌 （单位：克）服从正态分布 𝑁(600,4) ，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个 数约为( ). A.296 B.293 C.252 D.246 【解析】由题意得, ， ， ， 所以被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为293. B 15 新知探究 探究二：3原则 情境设置 问题1：若某工厂生产的圆柱形零件的外直径𝜀～𝑁(4,0.25) ，则该圆柱形零件外直径的均值、标准差分别是多少？ 问题2：某工厂生产的圆柱形零件的外直径𝜀～𝑁(4,0.25)，若零件的外直径在[3.5,4.5] 内的为一等品.试问1 000件这种零件中约有多少件一等品？ 16 新知生成 知识点二 3𝝈原则 1.正态变量在三个特殊区间内取值的概率如图，正态分布随机变量𝑋在区间[𝜇−𝜎,𝜇+𝜎](𝜎>0) 上取值的概率为阴影部分的面积. 特别地， (1)𝑃(𝜇−𝜎≤𝑋≤𝜇+𝜎)≈0.682 7 ； (2)𝑃(𝜇−2𝜎≤𝑋≤𝜇+2𝜎)≈0.954 5 ； (3)𝑃(𝜇−3𝜎≤𝑋≤𝜇+3𝜎)≈0.997 3 . 17 新知生成 知识点二 3𝝈原则 2. 3𝜎原则 随机变量𝑋在区间[𝜇−𝜎,𝜇+𝜎]，[𝜇−2𝜎,𝜇+2𝜎]，[𝜇−3𝜎,𝜇+3𝜎] 上取值的概率分别 约为68.27%，95.45%，99.73%. 随机变量𝑋在区间[𝜇−3𝜎,𝜇+3𝜎] 以外取值的概率大约只有0.27% ，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，是小概率事件. 因此，在实际应用中，通常认为服从正态分布𝑁(𝜇, )的随机变量𝑋只取[𝜇−3𝜎,𝜇+3𝜎] 中的值，并称之为3𝜎原则. 18 四、 3𝜎原则 例4 设 ，试求： (1)𝑃(−1≤𝜉≤3)； (2)𝑃(3<𝜉≤5)； (3)𝑃(𝜉>5) . 【解析】因为，所以， . ( . (2) 因为 ， 所以 . (3 . 19 反思感悟 方法总结 求随机变量𝑋在某个区间内取值的概率的方法 (1)利用𝑋落在区间[𝜇−𝜎,𝜇+𝜎]，[𝜇−2𝜎,𝜇+2𝜎]，[𝜇−3𝜎,𝜇+3𝜎]内的概率分别约是0.682 7，0.954 5,0.997 3求解. (2)充分利用正态曲线的对称性及正态曲线与𝑥轴之间的区域面积为1的性质求解： ①熟记正态曲线关于直线𝑥=𝜇对称，从而关于𝑥=𝜇对称的两区间概率相等； ②𝑃(𝑋≤𝑎)=1−𝑃(𝑋>𝑎)，𝑃(𝑋≤𝜇−𝑎)=𝑃(𝑋≥𝜇+𝑎). 20 新知运用 跟踪训练4 有一批精密零件，其尺寸𝑋(单位：mm)服从正态分布𝑁(20,4) .若这批零件共有 5 000个，试求： (1)这批零件中尺寸在18 mm～22 mm 的零件所占的百分比. (2)若规定尺寸在24 mm～26 mm 的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？ 【解析】(1)，，，， ， 尺寸在的零件所占的百分比大约是 . (2，，， ， 尺寸在的零件所占的百分比大约是 ，而尺寸在的零件所占的 百分比大约是 ， 尺寸在的零件所占的百分比大约是 ， 尺寸在的零件大约有 （个）. 这批零件中不合格的零件大约有107个. 21 随堂检测 1. 以下关于正态密度曲线的说法中，正确的个数是( ). ①曲线都在𝑥轴的上方，左右两侧与𝑥轴无限接近，最终可与𝑥 轴相交； ②曲线关于直线𝑥=𝜇 对称； ③曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状； ④曲线与𝑥 轴之间的区域的面积为1. A.1 B.2 C.3 D.4 2. 已知正态密度函数 ，则( ). A.， B.， C.， D.， 3.设随机变量𝜉 服从正态分布𝑁(2,9)，若𝑃(𝜉>𝑐+1)=𝑃(𝜉<𝑐−1)，则𝑐= ___. C C 2 22 随堂检测 4.若,则位于区域内的概率是多少? 5.某市高二年级男生的身高(单位：)近似服从正态分布,随机选择一名本市高二年级的男生,求下列事件的概率: (1; (2); (3). 23 随堂检测 6.某批待出口的水果罐头，每罐净重𝑋（单位：g）服从正态分布 ，求： (1)随机抽取1罐水果罐头，其净重超过184.5 g 的概率； (2)随机抽取1罐水果罐头，其净重在179 g与189 g 之间的概率. （参考数据：𝑍∽ 𝑁(0,1)，𝑃(𝑍≤0.2)≈0.579 3,��(𝑍≤2)≈0.977 2 ） 【解析】(1).故随机抽取1罐水果罐头，其净重超过的概率约是 . (2) . 故随机抽取1罐水果罐头，其净重在与之间的概率约为 . 24 课堂小结 1.知识清单： (1)正态曲线； (2) 3𝜎原则. 25 $$