7.4.2 超几何分布课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

7.4二项分布与超几何分布 第七章 随机变量及其分步 课时2 超几何分布 新知探究 探究一： 情境设置 已知一箱节能灯共100个，其中有8个次品. 问题1：有放回地随机抽取4个，设抽取的4个节能灯中次品数为𝑋，求随机变量𝑋 的分布列. 问题2：如果采用不放回抽样，那么抽取的4个节能灯中次品数𝑋 是否也服从二项分布？ 2 新知生成 知识点一 超几何分布 一般地，设有𝑁件产品，其中有件次品，从件产品中随机抽取件（不放回）， 用表示取出的件产品中的次品数，则的分布列为， , ,, , . 其中，，，，,,,, . 若随机变量𝑋的分布列具有上式的形式，则称随机变量𝑋 服从超几何分布. 3 一、超几何分布的判断 例题1 (多选题)一箱儿童玩具中有3件正品，2件次品，现从中不放回地任取2件进行检测.记随机变量𝑋 为检测到的正品的件数，则( ). A.服从二项分布 B. C. D. 最有可能的取值为1 【解析】由题意可知，，， ， 则 的分布列为 X服从超几何分布，而不是二项分布，A错误； , B正 确；，C正确；因为最大，所以𝑋 最有可能 的取值为1，D正确.故选BCD . BCD 4 反思感悟 方法总结 判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点： (1)总体是否可分为两类明确的对象； (2)是否为不放回抽样； (3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 5 新知运用 跟踪训练1 (多选题) 一个袋子中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球(取后不放回)，则下列变量服从超几何分布的是( ). A.𝑋 表示取出的最大号码 B.𝑋 表示取出的最小号码 C.𝑋 表示取出的白球个数 D.取出1个黑球记2分，取出1个白球记1分，𝑋 表示取出的4个球的总得分减去4的差值 【解析】根据超几何分布的定义可知,选项A,B中的变量不符合超几何分布的定义，无法 用超几何分布的数学模型计算概率，故A,B错误；选项C中的变量符合超几何分布的定 义，将白球视作甲类物品，黑球视作乙类物品，则可以用超几何分布的数学模型计算 概率，故C正确；选项D中的变量可以对应取出的黑球个数，符合超几何分布的定义， 可以用超几何分布的数学模型计算概率，故D正确.故选CD . CD 6 二、超几何分布概率求解 P78例题4 从50名学生中随机选出5名学生代表,求甲被选中的概率. 【解析】设表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1）,则服从超几何分布,且.因此甲被选中的概率为 7 二、超几何分布概率求解 P78例题5 一批零件共有30个,其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测,求至少有1件不合格的概率. 【解析】设抽取的10个零件中不合格品数为,则服从超几何分布,且的分布列为 至少有1件不合格的概率为 也可以按如下方法求解： 8 二、超几何分布概率求解 例题2 某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平 相当，从参加集训的学生中随机抽取3名男生和3名女生组成代表队. (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4名参赛，设𝑋 表示参赛的男生人数， 求𝑋 的分布列. 【解析】(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6名.代表队中的学生全从B中学抽取（等价于A中学没有学生入选代表队）的概率为 . 因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为 . (2) 根据题意知， 的所有可能取值为1,2,3. ， ， ， 所以 的分布列为 1 2 3 9 反思感悟 方法总结 求超几何分布的分布列的步骤 10 新知运用 跟踪训练2 不透明的袋子中装有6个红球，3个黄球，这些球除颜色外其他完全相同.从 袋子中随机取出4个小球. (1)求取出的红球个数大于黄球个数的概率； (2)记取出的红球个数为𝑋，求𝑋 的分布列. 【解析】(1) 袋子中装有6个红球，3个黄球，现从中任意取出4个小球，基本事件总数 ，其中红球个数大于黄球个数的基本事件个数 ，故红球个数大于黄球个数的概率 . (2) 若变量为取出的4个小球中红球的个数，则 的所有可能取值为1，2，3，4， ， ， ， . 故 的分布列为 1 2 3 4 11 新知探究 探究二：超几何分布的期望 情境设置 2024年度某企业共需要学徒制培训200人，培训结束后进行考核，现对考核取得相应岗位证书进行统计，统计情况如下表： 问题1：现从这200人中采用分层随机抽样的方式选出10人组成学习技能经验交流团， 则交流团中取得技师类（包括技师和高级技师）岗位证书的人数是多少？ 问题2：再从问题1选出的10人交流团中任意抽出3人作为代表发言，记这3人中技师类 的人数为𝑋，求随机变量𝑋 的分布列和数学期望. 问题3：问题2中计算𝑋 的期望比较复杂，我们知道服从二项分布的期望可以用简洁的 公式求解，服从超几何分布是否有相关的公式呢？ 岗位证书 初级工 中级工 高级工 技师 高级技师 人数 20 60 60 40 20 12 新知生成 知识点二 超几何分布的期望 超几何分布的期望 (𝑝为𝑁 件产品的次品率). 13 三、超几何分布的期望 例3 某厂家生产了两批同种规格的芯片，第一批占60%，次品率为6% ；第二批占40%，次品率为5% .为确保质量，现在将两批芯片混合，工作人员从中抽样检查. (1)从混合的芯片中任取1片，求这个芯片是合格品的概率； (2)若在两批产品中采取分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为15的样本，再从 样本中抽取3片芯片，求这3片芯片含第二批芯片数𝑋 的分布列和数学期望. 【解析】(1) 设事件为“任取1片芯片是合格品”，事件为“芯片取自第一批”，事件 为“芯片取自第二批”，则，且，互斥.由全概率公式可知 . (2) 由题意可知，用分层随机抽样的方法抽取的第一批芯片数是 ，第二批芯片数是 . X可能的取值为0，1，2，3,则 ， ， ， , 所以 . 0 1 2 3 14 反思感悟 方法总结 超几何分布中，只要知道𝑀，𝑁，𝑛就可以利用公式求出𝑋取不同𝑘 值时的概率𝑃(𝑋=𝑘)，从而求出𝑋 的分布列、期望，利用公式时注意期望公式中各量的意义. 15 新知运用 跟踪训练3 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自 数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学 中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）. (1)求选出的3名同学来自互不相同的学院的概率； (2)设𝑋为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量𝑋 的分布列及数学期望. 【解析】(1) 设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件 ，则 ，所以选出的3名同学来自互不相同的学院的概率为 . (2)依据条件，随机变量𝑋服从超几何分布，其中𝑁=10，𝑀=4，𝑛=3 ，且随机 变量𝑋 的可能取值为0，1，2，3， 则 ， 所以随机变量𝑋 的分布列是 所以 . 0 1 2 3 16 新知生成 知识点三 二项分布和超几何分布 二项分布与超几何分布的关系 在𝑛次试验中，某事件𝐴发生的次数𝑋 可能服从超几何分布或二项分布. 区别 ①当这𝑛次试验是𝑛重伯努利试验时(如有放回摸球)，𝑋 服从二项分布； ②当这𝑛次试验不是𝑛重伯努利试验时(如不放回摸球)，𝑋 服从超几何分布 联系 在不放回的𝑛次试验中，如果总体数量𝑁很大，而试验次数𝑛 很小，那么此时超 几何分布可近似为二项分布 17 四、二项分布与超几何分布 例4 已知条件①采用不放回抽取；②采用有放回抽取.请在上述两个条件中任选一个， 补充在下面问题中横线上并作答，选两个条件作答的以条件①评分. 问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若______， 从这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为𝑋，求随机变量𝑋 的分布 列和数学期望. 【解析】若选①，由题意知，随机变量 的所有可能取值为0，1，2，3, ，， ， , . 若选②，由题意知，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，且, ， ， ， ， ， . 18 反思感悟 方法总结 超几何分布需要知道总体容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”.超几何分布的概率计算是古典概型问题，二项分布的概率计算是相互独立事件的概率问题. 19 新知运用 跟踪训练4 某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得 到的数据如下： (1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果 是礼品果的概率. (2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考. 方案1：不分类卖出，售价为20元/kg . 方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下. (3)用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机 抽取3个，𝑋表示抽取的是精品果的数量，求𝑋 的分布列及数学期望. 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 售价/（元/ ） 16 18 22 24 20 随堂检测 1. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量𝜉 表示所选的3人中女生 的人数，则𝑃(𝜉≤1)= ( ). A. B. C. D. 2.(多选题)中秋节又称祭月节、仲秋节、拜月节、团圆节等，是中国民间的传统节日.中秋节自古便有祭月、赏月、吃月饼等民俗活动，流传至今，经久不息.一个食盒中装有大小相同的五仁月饼6个，豆沙月饼4个，小明同学从中一次性任取4个月饼，设取出的4个月饼中豆沙月饼的个数为𝑋 ，则( ). A. B.随机变量𝑋 服从二项分布 C.随机变量𝑋服从超几何分布 D. 3.某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某项活动，用𝑋 表 示所选的4人中团员的人数，则𝑃(𝑋=3)= ___. ACD D 21 随堂检测 4.一个口袋内有𝑛(𝑛>3)个大小相同的球，其中有3个红球和(𝑛−3) 个白球.已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为 .若不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数𝑋的数学期望𝐸(𝑋) . 【解析】 从口袋中随机取出1个球是红球的概率为 ， ，得， 个球中有2个白球. 是不放回抽样，易知 服从超几何分布，即从5个大小相同的球（其中3个红球和2个 白球）中，随机抽取3个球， . 22 课堂小结 1.知识清单： (1)超几何； (2)超几何分布的期望； (3)二项分布和超几何分布. 23 $$