第十章《概率》同步单元必刷卷（基础卷）-2024-2025学年高一数学必修第二册精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

第十章《概率》同步单元必刷卷（基础卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知甲组共20人，乙组共30人，现按比例采用分层随机抽样的方法从这两组中共抽取5人参加升国旗仪式，在被抽取的这5人中随机抽取2人担任旗手，则被抽取的这2人中至少有1人是甲组的概率为（   ） A． B． C． D． 2．在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖，还有50张奖券，其中共有5张写有“中奖”字样，假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，（1）甲中奖而且乙也中奖的概率；（2）甲没中奖而且乙中奖的概率，（1）和（2）的值分别等于（   ） A．； B．； C．； D．； 3．某研究所进行新型作物种植实验，已知在第一次的试种中，种植300株植物，存活180株，由此估计，若试种2000株该植物，则可存活（   ） A．1000株 B．1200株 C．1500株 D．1800株 4．春季流感爆发期间，某学校通过在校门口并排设立三个红外体温检测点作为预防手段，进入学校的人员只需要在任意一个检测点检测体温即可进入校园，假设每个人在进入学校时选择每个检测点的概率相同，现有三男三女六位学生通过体温检测点进入学校，则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的概率为（    ） A． B． C． D． 5．有一组样本数据为，3，7，8，9，11，在其中添加一个数构成一组新的样本数据，若，则新旧样本数据的下四分位数相等的概率为（   ） A． B． C． D． 6．已知甲袋里只有红球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里这三种球都有.现从这四个袋子中随机抽取一个袋子，设事件为“所抽袋子里有红球”，事件为“所抽袋子里有白球”，事件为“所抽袋子里有黑球”，则下列说法正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互对立 D．事件与事件相互独立 7．下列命题中正确的是（    ） A．有一批产品的次品率为0.05，则从中任意取出200件产品中必有10件是次品 B．抛100次硬币，结果51次出现正面，则出现正面的概率是0.51 C．随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率 D．掷骰子100次，得点数为6的结果有20次，则出现6点的频率为0.2 8．对于一个古典概型的样本空间和事件A、B、C、D，用表示事件中的样本点个数.若，，则（    ） A．与不互斥 B．与不对立 C．与互斥 D．与相互独立 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某家商场举行抽奖活动，小聪､小明两人共同前去抽奖，设事件“两人都中奖”；“两人都没中奖”；“恰有一人中奖”；“至少一人没中奖”.下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知甲罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙罐中有四个相同的小球，标号为1，4，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于6”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件不是对立事件 C．事件发生的概率为 D．事件与事件是相互独立事件 11．高中某学校对一次高三联考物理成绩进行统计分析，随机抽取100名学生成绩得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，同时计划从样本中随机抽取个体进行随访，若从样本随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是（    ）    A．学生成绩众数估计为75分 B．考生成绩的第75百分位成绩估计为80分 C．在内随机抽取一名学生访谈，则甲被抽取的概率为0.01 D．从和内各抽1名学生，抽2名学生调研，又从他们中任取2人进行评估测试，则这2人来自不同组的概率为0.13 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．将一颗骰子连掷两次，则第一次点数小于3且第二次点数大于3的概率为 13．如图，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为，这个电路是通路的概率是 ． 14．为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗?（2）在过路口时你是否闯过红灯?要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地作了回答.结果被调查的1200人（学号从1至1200）中有366人回答了“是”.由此可以估计这1200人中闯过红灯的人数是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．某控制器中有一个易损部件，现统计了30个该部件的使用寿命，结果如下（单位：小时）； 710  721  603  615  760  742  841  591  590  721  718  750  760  713  709 681  736  654  722  732  722  715  726  699  755  751  709  733  705  700 （1）估计该部件的使用寿命达到一个月及以上的概率（一个月按30天计算）； （2）为了保证该控制器能稳定工作，将若干个同样的部件按下图连接在一起组成集成块，每一个部件是否能正常工作互不影响.对比和时，哪个能保证集成块使用寿命达到一个月及以上的概率超过0.8？ 16．甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求甲连续打四局比赛的概率； (2)求在前四局中甲轮空两局的概率； (3)求第四局甲轮空的概率. 17．2022年9月市新冠肺炎疫情发生后，“疫”声令下，省内各大市区纷纷闻讯而动，约5000名医务工作者积极驰援该市，为抗疫工作注入坚实而温暖的力量，各方力量扭成一股绳，合力书写了守望相助的抗疫故事.现从各市支援市某地区的500名医务工作者中随机抽取50名，将这50人的年龄按照这3个区间绘制如图所示的频率分布直方图.    (1)根据频率分布直方图，估计这50名医务工作者的平均年龄（同一组数据用该组区间的中点值代表）； (2)现需要对居民隔离的居民进行单管核酸检测，防疫指挥部决定在两区间段医务工作者中按分层随机抽样方法抽取5人.假设5人已经选定，现要从这5人中选择2人到某户进行检测，求选中的两人来自同一年龄段的概率. 18．多项选择题是标准化考试中常见题型，从，，，四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中至少有两个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. (1)甲同学有一道多项选择题不会做，他随机选择至少两个选项，求他猜对本题得5分的概率； (2)现有2道多项选择题，根据训练经验，每道题乙同学得5分的概率为，得2分的概率为；丙同学得5分的概率为，得2分的概率为.乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙比丙总分刚好多得5分的概率. 19．某校为促进学生对消防知识及火场自救知识的学习，组织了《消防知识及火场自救知识》竞赛活动，对所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为，，，，）． (1)根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；（每组数据用所在区间的中点值作代表） (2)按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人成绩都在内的概率； (3)从竞赛成绩在内的学生中选取甲、乙人，组队参加全市中学生消防知识答题比赛，每轮由两人各答一题，甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲、乙两人在两轮答题比赛中共答对题的概率． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章《概率》同步单元必刷卷（基础卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知甲组共20人，乙组共30人，现按比例采用分层随机抽样的方法从这两组中共抽取5人参加升国旗仪式，在被抽取的这5人中随机抽取2人担任旗手，则被抽取的这2人中至少有1人是甲组的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分层抽样求出甲组和乙组抽取人数，利用列举法得到这5人中随机抽取2人担任旗手的总情况数和至少有1人是甲组的情况数，得到概率. 【详解】根据题意，按比例采用分层随机抽样的方法从甲组中抽取人，记为A，B； 从乙组中抽取人，记为a，b，c． 在被抽取的这5人中随机抽取2人担任旗手的总情况有，，，， ，，，，，，共10种， 其中被抽取的这2人中至少有1人是甲组的情况有7种， 分别为，，，，，，， 故所求概率为． 故选：B 2．在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖，还有50张奖券，其中共有5张写有“中奖”字样，假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，（1）甲中奖而且乙也中奖的概率；（2）甲没中奖而且乙中奖的概率，（1）和（2）的值分别等于（   ） A．； B．； C．； D．； 【答案】C 【分析】根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式，即可求解. 【详解】由有50张奖券，共有5张写有“中奖”字样，假设抽完的奖券不放回，甲抽完后乙再抽， 设事件“甲中奖而且乙也中奖”，则； 设事件“甲没中奖而且乙中奖”，则. 故选：C. 3．某研究所进行新型作物种植实验，已知在第一次的试种中，种植300株植物，存活180株，由此估计，若试种2000株该植物，则可存活（   ） A．1000株 B．1200株 C．1500株 D．1800株 【答案】B 【分析】由题意求出存活率后列式求解即可. 【详解】第一次试种植物的存活率为， 故若第一次试种2000株，则可存活2000×0.6=1200株. 故选：B 4．春季流感爆发期间，某学校通过在校门口并排设立三个红外体温检测点作为预防手段，进入学校的人员只需要在任意一个检测点检测体温即可进入校园，假设每个人在进入学校时选择每个检测点的概率相同，现有三男三女六位学生通过体温检测点进入学校，则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分三种情况讨论，利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】由题知，每个人进入学校时选择每个检测点的概率都相等， 则三男三女六位学生通过体温检测点进入学校，共有种不同的结果， 若每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等， 则①每个检测点均为一男一女通过，共有 ②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女， 共有种不同的结果；种不同的结果； ③六人均在同一个检测点通过，共有种不同的结果. 则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的概率为. 故选：B. 5．有一组样本数据为，3，7，8，9，11，在其中添加一个数构成一组新的样本数据，若，则新旧样本数据的下四分位数相等的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出原始数据的下四分位数为3，再重新求得新的一组数据的下四分位数，求出满足题意的所有的取值，即可求得相应概率. 【详解】易知样本数据共6个，，因此样本数据的下四分位数为第2个数，即3； 添加一个数构成一组新的样本数据共有7个数，，因此新数据的下四分位数为第2个数，也得为3； 所以添加的数大于等于3即可满足题意，即可以为； 在中任选一个作为共有6种选择， 因此所求概率. 故选：C 6．已知甲袋里只有红球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里这三种球都有.现从这四个袋子中随机抽取一个袋子，设事件为“所抽袋子里有红球”，事件为“所抽袋子里有白球”，事件为“所抽袋子里有黑球”，则下列说法正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互对立 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【分析】根据要写条件，利用互斥事件、对立事件和相互独立的定义，逐一判断选项即可. 【详解】对于A，事件和事件可以同时发生，即抽取丁袋，事件与事件不互斥，A错误； 对于B，，，，事件与事件相互独立，B正确； 对于C，事件与事件可以同时发生，即抽取丁袋，事件与事件不对立，C错误； 对于D，，，，事件与事件不独立，D错误. 故选：B 7．下列命题中正确的是（    ） A．有一批产品的次品率为0.05，则从中任意取出200件产品中必有10件是次品 B．抛100次硬币，结果51次出现正面，则出现正面的概率是0.51 C．随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率 D．掷骰子100次，得点数为6的结果有20次，则出现6点的频率为0.2 【答案】D 【分析】根据频率与概率的区别，概率的定义和性质进行判断． 【详解】对于A，实验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动， 并不是一个确定的值，一批产品次品率为0.05， 则从中任取200件，次品的件数在10件左右，而不一定是10件，A错误； 对于B，100次并不是无穷多次， 只能说明这100次试验出现正面朝上的频率为，故B错误； 对于C，根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，C错误； 对于D，频率估计概率，频率为出现的次数与重复试验的次数的比值， 抛掷骰子100次，得点数是6的结果有20次，则出现1点的频率是，D正确. 故选：D. 8．对于一个古典概型的样本空间和事件A、B、C、D，用表示事件中的样本点个数.若，，则（    ） A．与不互斥 B．与不对立 C．与互斥 D．与相互独立 【答案】D 【分析】根据互斥、对立、相互独立事件的概率公式进行判断. 【详解】由题意可得：，，，，，，. 因为，所以与互斥，故A错误； 因为，所以与对立，故B错误； 因为与对立，所以,，所以与不互斥，故C错误； 因为，所以与相互独立，故D正确. 故选：D 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某家商场举行抽奖活动，小聪､小明两人共同前去抽奖，设事件“两人都中奖”；“两人都没中奖”；“恰有一人中奖”；“至少一人没中奖”.下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据四个事件，再结合交事件和并事件的定义和事件的包含关系逐一判断即可. 【详解】对于A，事件为“至多一人中奖”，即“至少一人没中奖”， 所以，故A正确； 对于B，事件表示两人都中奖且恰有一人中奖，没有这样的事件， 所以，故B错误； 对于C，至少一人没中奖包括恰有一人中奖和两人都没中奖两种情况， 所以，故C正确； 对于D，由C选项可知，所以，故D正确. 故选：ACD. 10．已知甲罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙罐中有四个相同的小球，标号为1，4，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于6”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件不是对立事件 C．事件发生的概率为 D．事件与事件是相互独立事件 【答案】ABC 【分析】由两球编号写出事件所含有的基本事件，同时得出所有的基本事件，然后根据互斥事件、对立事件的定义判断AB，求出的概率判断C，由公式判断D． 【详解】甲罐中小球编号在前，乙罐中小球编号在后，表示一个基本事件， 事件含有的基本事件有：，共12个，事件含有的基本事件有：，共7个，两者不可能同时发生，它们互斥，A正确； 基本事件发生时，事件均不发生，不对立，B正确； 事件中含有19个基本事件，由以上分析知共有基本事件20个，因此，C正确； ，，，不相互独立，D错． 故选：ABC． 11．高中某学校对一次高三联考物理成绩进行统计分析，随机抽取100名学生成绩得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，同时计划从样本中随机抽取个体进行随访，若从样本随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是（    ）    A．学生成绩众数估计为75分 B．考生成绩的第75百分位成绩估计为80分 C．在内随机抽取一名学生访谈，则甲被抽取的概率为0.01 D．从和内各抽1名学生，抽2名学生调研，又从他们中任取2人进行评估测试，则这2人来自不同组的概率为0.13 【答案】AB 【分析】根据频率分布直方图估计出众数，第75百分位数可判断AB；利用频率估计概率，古典概型等知识可判断CD. 【详解】由频率分布直方图得，成绩在的频率最高，所以估计成绩的众数为75分，故A正确； 因为，所以估计第75百分位成绩为80分，故B正确； 因为成绩在内的人数为，所以随机抽取一名学生访谈，甲被抽取的概率为，故C错误； 记从抽取的1名学生为a，从抽取的1名学生为b，从抽取的2名学生为c,d,则从这4人中抽取2人，所有的可能结果为 ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种， 其中不同组的有ab，ac，ad，bc，bd，共5种， 所以这2人来自不同组的概率为，故D错误； 故选：AB. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．将一颗骰子连掷两次，则第一次点数小于3且第二次点数大于3的概率为 【答案】 【分析】根据题意，先求得基本事件的总数为，利用列举法得到所求事件包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，将一颗骰子连掷两次，共有个基本事件， 设事件“第一次点数小于3且第二次点数大于3的事件”， 则事件包含：，共有6种情况， 所以第一次点数小于3且第二次点数大于3的概率为. 故答案为：. 13．如图，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为，这个电路是通路的概率是 ． 【答案】/0.375 【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式及相互独立事件的概率公式计算即得. 【详解】元件都不正常的概率， 则元件至少有一个正常工作的概率为， 而电路是通路，即元件正常工作，元件至少有一个正常工作同时发生， 所以这个电路是通路的概率. 故答案为： 14．为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗?（2）在过路口时你是否闯过红灯?要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地作了回答.结果被调查的1200人（学号从1至1200）中有366人回答了“是”.由此可以估计这1200人中闯过红灯的人数是 . 【答案】132 【分析】在准备的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，由此可知第一个问题被问到600次，在被问到的600人中300人学号是奇数，比300人多出来的人数就是闯过红灯的人数，可以求出该组样本的频率，最后利用样本频率估计总体的方法即可求解. 【详解】被调查的1200人中，在准备回答的两个问题中每一个问题被问到的概率相同， 所以第一个问题可能被问600次，因为被问的600人中有300人学号是奇数，而有366人回答了“是”， 所以估计有66人闯过红灯，在600人中有66人闯过红灯，频率为， 用样本频率估计总体，从而估计这1200人中闯过红灯的人数为人. 故答案为：132. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．某控制器中有一个易损部件，现统计了30个该部件的使用寿命，结果如下（单位：小时）； 710  721  603  615  760  742  841  591  590  721  718  750  760  713  709 681  736  654  722  732  722  715  726  699  755  751  709  733  705  700 （1）估计该部件的使用寿命达到一个月及以上的概率（一个月按30天计算）； （2）为了保证该控制器能稳定工作，将若干个同样的部件按下图连接在一起组成集成块，每一个部件是否能正常工作互不影响.对比和时，哪个能保证集成块使用寿命达到一个月及以上的概率超过0.8？ 【答案】（1）；（2） 【解析】(1)一个月30×24=720(小时),样本中满足使用寿命在720小时及以上的部件数为15个,由此能求出所求概率的估计值; (2)要保证集成块使用寿命达到一个月及以上,即要保证集成块中至少有一个部件的使用寿命达到一个月及以上,利用列举法能求出n=3时满足要求. 【详解】(1)一天24小时,一个月(小时), 样本中满足使用寿命在720小时及以上的部件数为15个, 所以该部件的使用寿命达到一个月及以上的概率的估计值为; (2)要保证集成块使用寿命达到一个月及以上, 即要保证集成块中至少有一个部件的使用寿命达到一个月及以上, 记表示一个部件的使用寿命达到一个月及以上,表示一个部件的使用寿命不能达到一个月及以上. 当时,所有可能结果有4种:,,,, 满足要求的结果有3种,所以; 当时,所有可能结果有8种:,,,,,,,, 满足要求的结果有7种,所以; 综上所述,时满足要求. 【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型､列举法等基础知识,难度不大. 16．甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求甲连续打四局比赛的概率； (2)求在前四局中甲轮空两局的概率； (3)求第四局甲轮空的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意知甲前三局都要打胜，计算可得甲连续打四局比赛的概率； （2）甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，计算即可； （3）分析可得甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，计算即可. 【详解】（1）若甲连续打四局，根据比赛规则可知甲前三局都要打胜， 所以甲连续打四局比赛的概率； （2）在前四局中甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空， 故在前四局中甲轮空两局的概率； （3）甲第四轮空有两种情况： 第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空， 第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空， 第1种情况的概率；第2种情况的概率； 由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲轮空的概率为. 17．2022年9月市新冠肺炎疫情发生后，“疫”声令下，省内各大市区纷纷闻讯而动，约5000名医务工作者积极驰援该市，为抗疫工作注入坚实而温暖的力量，各方力量扭成一股绳，合力书写了守望相助的抗疫故事.现从各市支援市某地区的500名医务工作者中随机抽取50名，将这50人的年龄按照这3个区间绘制如图所示的频率分布直方图.    (1)根据频率分布直方图，估计这50名医务工作者的平均年龄（同一组数据用该组区间的中点值代表）； (2)现需要对居民隔离的居民进行单管核酸检测，防疫指挥部决定在两区间段医务工作者中按分层随机抽样方法抽取5人.假设5人已经选定，现要从这5人中选择2人到某户进行检测，求选中的两人来自同一年龄段的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干中平均值的定义直接计算即可；（2）根据分层抽样先确定两个区间抽取的人数，然后将抽取的人进行编号，根据列举法列出两人来自同一年龄段的事件与所有可能的事件，根据古典概型的概率公式求解. 【详解】（1）依题意，医务工作者的平均年龄为： （2）根据直方图可得，在区间中的两段人数比例为， 根据分层抽样，在中分别抽取人和人， 将里抽取的人数编号为：，将里抽取的人数编号为：， 于是人抽取人所有可能的事件为：，有种， 抽取的人来自同一年龄段的事件为：，有种， 根据古典概型的计算公式，两人来自同一年龄段的概率为 18．多项选择题是标准化考试中常见题型，从，，，四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中至少有两个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. (1)甲同学有一道多项选择题不会做，他随机选择至少两个选项，求他猜对本题得5分的概率； (2)现有2道多项选择题，根据训练经验，每道题乙同学得5分的概率为，得2分的概率为；丙同学得5分的概率为，得2分的概率为.乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙比丙总分刚好多得5分的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出样本空间基本事件总数，由古典概型概率计算公式即可求解. （2）由互斥加法以及独立乘法公式即可求解. 【详解】（1）甲同学所有可能的选择答案有11种： ，其中正确选项只有一个， 样本空间, 共11个基本事件， 所以他猜对本题得5分的概率为. （2）由题意得乙得0分的概率为，丙得0分的概率为， 乙比丙刚好多得5分的情况包含： 事件：乙得10分，丙得5分，则； 事件：乙得7分，丙得2分，则； 事件：乙得5分，丙得0分，则； 所以乙比丙总分刚好多得5分的概率. 19．某校为促进学生对消防知识及火场自救知识的学习，组织了《消防知识及火场自救知识》竞赛活动，对所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为，，，，）． (1)根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；（每组数据用所在区间的中点值作代表） (2)按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人成绩都在内的概率； (3)从竞赛成绩在内的学生中选取甲、乙人，组队参加全市中学生消防知识答题比赛，每轮由两人各答一题，甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲、乙两人在两轮答题比赛中共答对题的概率． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）先根据矩形面积之和为计算，再利用频率分布直方图均值公式计算； （2）先根据比例得出两个区间内各抽取人数，再列出样本空间以及事件“这人成绩都在内”所包含的样本点，最后按照古典概型计算其概率即可； （3）先计算甲、乙在两轮比赛中答对题，题的概率，再利用互斥事件和独立事件的概率公式计算. 【详解】（1）由题知，解得， 估计本次竞赛的平均成绩为 ． （2）因成绩在、内的学生人数之比为， 则从成绩在内的学生中抽取人，设为， 从成绩在内的学生中抽取人，设为， 设事件“从这人中随机抽取人，这人成绩都在内”， 则样本空间， 则， 事件包含的基本事件有，有， 则， 故从这人中随机抽取人，这人成绩都在内的概率为. （3）设，分别表示事件甲在两轮答题中答对题，题，，分别表示事件乙在两轮答题中答对题，题， 则，， ，， 设“两轮活动甲、乙共答对题”，则， 又与互斥，与，与分别相互独立， 则， 因此，甲、乙在两轮答题比赛中共答对题的概率为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$