专题强化11：统计与概率解答题【四大题型 培优】-2024-2025学年高一数学必修第二册精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

专题强化11：统计与概率解答题 【题型过关】 题型01：用样本估计总体 1．（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员，广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识.为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示. (1)求值，并求这组数据的分位数（精确到0.1）； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人.抽取结果中来自第2组和第3组中的所有人的年龄的平均数和方差分别为37和27.已知第2组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为30和6，据此估计第3组所有人的年龄的方差. 2．（24-25高一上·辽宁·期末）某校的体育组为了了解本校高一学生的体能状况，随机抽取了名高一学生进行体能测试，将所得评分（百分制）按体育组制定的体能测试评价标准整理，得到频率分布直方图．已知评分在[70，80）中的学生有100人．体能测试评价标准如下表： 测试评分 [0，40） [90，100] 体能等级 E D C B A (1)求的值及频率分布直方图中的值； (2)在抽取的体能等级为的学生中，按照测试评分的分组，分为两层，通过分层抽样抽取出三人进行体能训练．根据以往数据统计，经体能训练后，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，假设经体能训练后的等级转化情况相互独立，求在抽取出的三人中，经体能训练后至少有一人的体能等级转为的概率. 3．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）阜阳三中举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第4组，第1组，第2组的频数依次成等比数列，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ (2)李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． (3)从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自于同一小组的概率． 题型02：古典概型 4．（23-24高一下·福建泉州·期末）盒子中有4个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从盒子中有放回地随机两次摸出小球，每次摸出一个小球． (1)求两次摸到的小球数字之和为偶数的概率； (2)设事件“两次摸到的小球数字之和是质数”，事件“第1次摸到的小球数字为奇数”，事件“第2次摸到的小球数字为奇数”，求． 5．（23-24高一下·甘肃武威·期末）龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克牌中挑出10和K共8张牌（每个数字四个花色：红桃（红色）、方块（红色）、黑桃（黑色）、梅花（黑色））．现从8张牌中依次取出2张，抽到一张红10和一张红K即为成功．现有三种抽取方式，如下表： 方式① 方式② 方式③ 抽取规则 有放回依次抽取 不放回依次抽取 按数字等比例分层抽取 成功概率 (1)分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率； (2)若三种抽取方式小明各进行一次， （i）求这三次抽取中至少有一次成功的概率； （ii）设在三种方式中仅连续两次成功的概率为p，那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关，什么样的顺序使概率p最大？如果无关，请给出简要说明． 6．（23-24高一下·福建厦门·期末）甲每次投篮投进的概率是0.7．连续投篮三次，每次投篮结果互不影响．记事件为“甲至少投进两球” (1)用表示甲第次的投篮结果，则表示试验的样本点．用1表示“投进”，0表示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由； (2)用计算机产生之间的整数随机数，当出现随机数时，表示“投进”，出现7，8，9时表示“未投进”．以每3个随机数为一组，代表甲三次投篮结果，产生20组随机数：062 049 228 933 11774 732 783 078 276 ，利用该模拟试验，估计事件的概率，并判断事件的概率的精确值与估计值是否存在差异，并说明理由． 题型03：互斥、对立、独立事件的概率问题 7．（23-24高一下·广东广州·期末）某企业进入中学参与学校举办的模拟招聘会，设置了笔试、面试两个环节，先笔试后面试，笔试通过了才可以进入面试，面试通过后即可录用，李明参加该企业的模拟招聘. 笔试关：有4道题，应聘者随机从中选择2道，两道题均答对即可通过笔试，否则淘汰不予录用.已知李明能答对其中的3道题； 面试关：有2道题，面试者答对第一道题，则面试通过被企业录用，否则就继续答第二道题，答对第二道题则面试通过被企业录用，否则淘汰不予录用.已知李明答对每道面试题的概率都是，两道题能否答对相互独立. (1)李明笔试关中能答对的3道题记为，，，不能答对的题记为，请写出李明参加笔试关所有可能结果构成的样本空间，并求出李明通过笔试关的概率； (2)求李明被录用的概率. 8．（23-24高一下·吉林延边·期末）举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队两人回答问题正确的概率分别为，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立. (1)求甲队总得分为1分的概率； (2)求两队积分相同的概率. 9．（23-24高一下·福建福州·期末）目前低碳的生活理念流行，越来越多的年轻人加入自行车骑游行列.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费元（不足一小时的部分按一小时计算）.有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过小时还车的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人租车时间超过2小时，且不超过3小时的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (3)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率 题型04：统计与概率综合应用 10．（24-25高一上·江西抚州·期末）临川二中两名优秀学子小明、小华同学独立地参加中国科技大学少科班的入学面试，入学面试时共有道题目，答对道题则通过面试（前道题都答对或都答错，第道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为、、，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立．记“小明只回答道题就结束面试”为事件，记“小华道题都回答且通过面试”为事件． (1)求事件发生的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 11．（24-25高一下·江西景德镇·期中）在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，某校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值．若根据这次成绩，学校建议成绩排名前的学生选报物理，成绩排名后的学生选报历史，某同学想选报物理，请问他的物理成绩应不低于多少分较为合适？（小数点后保留一位） (2)现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试．考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高到低依次有A＋，A，B三个等级，若两个模块成绩均为A＋，则直接参加；若一个模块成绩为A＋，另一个模块成绩为A，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；乙在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；甲、乙在实验操作中通过的概率分别为，．求甲、乙至少有一个人能参加物理竞赛的概率． 12．（24-25高一上·江西赣州·期末）赣州市是我国当今保存最完好的北宋城，有“江南宋城”之誉，是客家先民中原南迁的第一站，世称“客家摇篮”，被命名为“国家历史文化名城”、“中国优秀旅游城市”.目前，赣州市形成了“红色故都、客家摇篮、江南宋城、生态家园、世界橙乡、堪舆圣地”六大旅游品牌年国庆假期，赣州旅游再次火爆“出圈”.据统计，10月1日至7日，全市共接待游客万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，并将收集到的游客满意度分值数据满分100分分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值，并估计100名游客满意度分值的中位数结果保留整数 (2)用分层随机抽样的方法从中抽取5个人，再从这5个人中随机抽两人进行深入访谈，求2人满意度分值在同一区间的概率; (3)已知满意度分值在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差 【专题强化】 1（24-25高一上·江西九江·期末）4月23日是世界读书日，首届全民阅读大会在北京开幕.习近平总书记希望孩子们养成阅读习惯，快速阅读，健康成长；希望全社会都参与到阅读中来，形成爱读书，读好书，善读书的浓厚氛围.某研究机构为了解当地中学生的阅读情况，通过随机抽样调查了200位中学生，对这些中学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，将这些学生每天阅读的时间分成五段：（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值，并估计这200位学生每天阅读的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）； (2)现在从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天阅读的时间所在区间不同的概率. 2．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖励2分、奖励0分、罚2分、罚4分．假设评定为等级为A，B，C的概率分别是，，． (1)若某射击选手射击一次，求其被罚分的概率； (2)若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为0分的概率． 3．（23-24高一下·贵州黔西·期末）2023年8月5日-9日，首届贵州科技节在贵阳召开，为了了解活动成效，从参会人员中随机抽取50人进行调查并统计其满意度评分（分数均在内），将所得分数分成5组：，，，，，制成频率分布直方图如图所示，其中满意度评分在的参会人数为18． (1)求频率分布直方图中a，b的值； (2)从抽取的50名参会人员中满意度评分在及的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求这2人中恰有1人的满意度评分在的概率． 4．（23-24高一下·江苏常州·期末）甲和乙进行多轮答题比赛，每轮由甲和乙各回答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求两人在两轮比赛中都答对的概率； (2)求两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率； (3)求两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率. 5.（24-25高一下·北京·期中）2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象．为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试．根据测试成绩，将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示． (1)求该样本的第75百分位数； (2)试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)； (3)该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在各一人的概率． 6．（23-24高一下·福建三明·期末）目前羽毛球混双世界排名第一，第三，第四分别是中国的“雅思组合，韩国的肉丁组合”，中国的“凤凰组合. 据统计，每场比赛雅思组合战胜肉丁组合的概率为 ，“凤凰组合”战胜肉丁组合的概率为，同一赛事的每场比赛结果互不影响.已知三个组合参加单循环赛（参加比赛的组合均能相遇一次），“雅思组合，“凤凰组合”同时战胜“肉丁组合”的概率为 ，有一个组合战胜“肉丁组合”的概率为 . (1)求 和 的值； (2)三个组合参加双循环赛（参加比赛的组合均能相遇两次），求雅思组合比“凤凰组合战胜肉丁组合的次数多的概率. 7．（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）2023 年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持.下图是该地 120 家中小 微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图 ：    (1)确定 的值，并估计这 120 家中小微企业的专项贷款金额的中位数（结果保留整数） ； (2)按专项贷款金额进行分层抽样，从这 120 家中小微企业中随机抽取 20 家，记专项贷款金额在 内应抽取的中小微企业数为. ①求的值 ； ②从这家中小微企业中随机抽取 3 家，求这 3 家中小微企业的专项贷款金额都在内的概率. 8．（23-24高一下·吉林白城·期末）某公司为了解用户对其产品的满意度，从两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： 地区：62  73  81  92  95  85  74  64  53  76 78  86  95  66  97  78  88  82  76  89 地区：73  83  62  51  91  46  53  73  64  82 93  48  65  81  74  56  54  76  65  79 (1)根据两组数据自选一个统计量，并在此基础上对数据进行分析； (2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件：“地区用户的满意度等级高于地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求的概率． 9．（23-24高一下·安徽六安·期末）2023年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“哈尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，六安文旅也在各大平台发布了六安的宣传片：六安瓜片、舒城小兰花、固镇大白鹅等等出现在大众视野现为进一步发展六安文旅，提升六安经济，在5月份对来六安旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中. (1)试估计游客满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和第60百分位数. (2)六安文旅6月份继续对来六安旅游的游客发起满意度调查现知6月1日-6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为85，方差为74：6月8日-6月14日调查的6万份数据中满意度的平均值为95，方差为69.由这些数据计算6月1日—6月14日的总样本的平均数与方差. 10．（23-24高一下·新疆·期末）为普及防火救灾知识，某学校组织防火救灾知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手在第一轮比赛胜出后才能进入第二轮比赛.若其在两轮比赛中均胜出，则赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为；在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为，甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响， (1)比较甲､乙两人谁赢得比赛的概率大； (2)求甲赢得比赛且乙没赢得比赛的概率. 11．（23-24高一下·吉林长春·期末）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流． (1)应抽取小吃类商家多少家？ (2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示． ①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数； ②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数． 12．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.拉萨市某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求a，b的值； (2)估计这次竞赛成绩的众数，中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，……，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 13．（23-24高一下·福建福州·期末）我省实行“”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高二年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，A等级排名占比，赋分分数区间是86～100；B等级排名占比，赋分分数区间是71～85；C等级排名占比，赋分分数区间是56～70；D等级排名占比，赋分分数区间是41～55；E等级排名占比，赋分分数区间是30～40；现从全年级的生物成绩中随机取100学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示： (1)求图中a的值，并求抽取的这100名学生的原始成绩的众数和中位数（结果为准确值）； (2)用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级）；（结果保留整数） (3)若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰有一人原始成绩在内的概率． 14．（23-24高一下·吉林·期末）某高校强基计划考试分“笔试”和“面试”两部分，每部分考试成绩记“合格”或“不合格”两部分考试成绩均“合格”者则考试“通过”，并给予录取.现甲、乙两人都参加此高校的强基计划考试，甲、乙在笔试中成绩“合格”的概率分别为，，在面试中成绩“合格”的概率分别为，，且每人在笔试和面试成绩是否“合格”是相互独立的. (1)甲、乙两人谁被录取的可能性大，并说明理由； (2)求甲、乙两人中至少有一人被录取的概率. 15．（23-24高一下·云南楚雄·期末）某工厂计划对该工厂生产的某类产品进行深加工，以推进该类产品的升级．该工厂随机抽取某生产线上一段时间内生产的100件产品，对其质量（单位：g）进行统计，并将样本数据分为六组，得到如下频率分布直方图．    (1)试估计样本数据的分位数； (2)从样本数据在内的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品作为产品深加工方案制定的分析样例，再从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品作为深加工的标准样例，求标准样例中恰有1件产品的质量在内的概率； (3)若规定质量在内的产品为优等品，用频率估计概率，从该生产线上随机抽取2件产品，求抽取到的产品中至少有1件优等品的概率． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化11：统计与概率解答题 【题型过关】 题型01：用样本估计总体 1．（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员，广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识.为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示. (1)求值，并求这组数据的分位数（精确到0.1）； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人.抽取结果中来自第2组和第3组中的所有人的年龄的平均数和方差分别为37和27.已知第2组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为30和6，据此估计第3组所有人的年龄的方差. 【答案】(1)， (2)6 【分析】（1）根据频率之和为列方程求得，根据百分位数的求法求得这组数据的分位数. （2）根据第2组和第3组的所有人的年龄的方差列方程，化简求得第3组所有人的年龄的方差. 【详解】（1）由表中数据可得，解得， 设第40百分位数为， 因为前2组频率 前3组频率，所以位于第三组：内 即. （2）由题意得，第2组和第3组的频率分别为， 故第2组和第3组所抽取的人数分别为 设第2组的宣传使者的年龄平均数分为，方差为，第2组人数3人， 设第3组的宣传使者的年龄平均数为，方差为， 第3组人数7人第2组和第3组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为， 则，求得， 即第3组所有宣传使者的年龄平均数为40， .解得， 即第3组所有宣传使者的年龄方差为6. 2．（24-25高一上·辽宁·期末）某校的体育组为了了解本校高一学生的体能状况，随机抽取了名高一学生进行体能测试，将所得评分（百分制）按体育组制定的体能测试评价标准整理，得到频率分布直方图．已知评分在[70，80）中的学生有100人．体能测试评价标准如下表： 测试评分 [0，40） [90，100] 体能等级 E D C B A (1)求的值及频率分布直方图中的值； (2)在抽取的体能等级为的学生中，按照测试评分的分组，分为两层，通过分层抽样抽取出三人进行体能训练．根据以往数据统计，经体能训练后，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，假设经体能训练后的等级转化情况相互独立，求在抽取出的三人中，经体能训练后至少有一人的体能等级转为的概率. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）利用公式求n的值，利用矩形的面积和为1求的值； （2）设事件“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”，利用对立事件的概率公式求解； 【详解】（1）由已知条件可得，又因为每组的小矩形的面积之和为1. 所以，解得. （2）由（1）可知：， 所以调查评分在中的人数是调查评分在中人数的， 若按分层抽样抽取3人，则调查评分在中有1人，在中有2人， 设事件“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”. 因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立， 所以， 所以， 故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率为· 3．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）阜阳三中举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第4组，第1组，第2组的频数依次成等比数列，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ (2)李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． (3)从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自于同一小组的概率． 【答案】(1)78分 (2)平均数90，方差 (3) 【分析】（1）利用百分位数的定义求解； （2）利用平均数和方差的定义求解； （3）利用古典概型的概率公式求解． 【详解】（1）由题意知，第4组，第1组，第2组的小长方形的高也成等比数列， 所以， 解得， 又， 解得， 所以，， 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 设第80百分位数为， 则， 解得， 所以晋级分数线划为78分合理； （2）因为， 所以， 所以， 所以， 剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：， 方差：； （3）由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取2人和4人．分别记为，和，，，， 则所有的抽样有：，共15个样本点， “抽到的两位同学来自于同一小组”， 则，共7个样本点， 所以． 题型02：古典概型 4．（23-24高一下·福建泉州·期末）盒子中有4个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从盒子中有放回地随机两次摸出小球，每次摸出一个小球． (1)求两次摸到的小球数字之和为偶数的概率； (2)设事件“两次摸到的小球数字之和是质数”，事件“第1次摸到的小球数字为奇数”，事件“第2次摸到的小球数字为奇数”，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：利用列举法，列出从盒中有放回依次随机摸出两个小球，再找出两次摸到的小球数字之和为偶数的情况，然后利用古典概型的概率公式求解，解法二：根据分步乘法原理和分类加法原理结合古典概型的概率公式求解； （2）解法一：列举出事件的所有情况，再利用古典概型的概率公式求出，然后根据互斥事件和独立事件的概率公式求解；解法二：列举出，，，从而可列举出，再利用古典概型的概率公式求解. 【详解】（1）解法一：从盒中有放回依次随机摸出两个小球的样本空间是 ， 所以，共有16个样本点． 记事件“两次摸到的小球数字之和为偶数”， 则， 所以，共有8个样本点． 因为样本空间的每个样本点具有等可能性， 所以， 即两次摸出的小球数字之和为偶数的概率为． 解法二：记事件“两次摸到的小球数字之和为偶数”． 每一次从盒中摸出小球，小球的数字都有概率相同的4种可能， 故有放回地摸两次，两次的小球数字相加情况共有种可能， 1，2，3，4中共有2个偶数和2个奇数， 事件发生有种可能（2次都摸到偶数和2次都摸到奇数）， 因为上述各种情况发生的可能性都相同，所以． （2）解法一：因为，则， ， ， 所以，则， 因为事件不会同时发生，所以两两互斥， 所以， 又因为， 所以 即可得． 解法二：因为， ， ， ， ， 可以得到， ， ， 所以， 共有8个样本点， 即． 5．（23-24高一下·甘肃武威·期末）龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克牌中挑出10和K共8张牌（每个数字四个花色：红桃（红色）、方块（红色）、黑桃（黑色）、梅花（黑色））．现从8张牌中依次取出2张，抽到一张红10和一张红K即为成功．现有三种抽取方式，如下表： 方式① 方式② 方式③ 抽取规则 有放回依次抽取 不放回依次抽取 按数字等比例分层抽取 成功概率 (1)分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率； (2)若三种抽取方式小明各进行一次， （i）求这三次抽取中至少有一次成功的概率； （ii）设在三种方式中仅连续两次成功的概率为p，那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关，什么样的顺序使概率p最大？如果无关，请给出简要说明． 【答案】(1)，，． (2)（i）；（ii）此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大 【分析】（1）运用列举法，结合古典概型求解概率即可； （2）（i）运用对立事件概率性质求解即可；（ii）求出各自的概率再比较即可． 【详解】（1）设方式①的样本空间为，方式②的样本空间为，方式③的样本空间为， 则，，， 设事件，，，，，，，，， 故，，． （2）（i）记三次抽取至少有一次成功为事件B， 则． （ii）有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大． 若按①②③的顺序，， 同理，求出①③②、②①③、②③①、③①②、③②①顺序下的概率分别为，，，，， 故此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大 6．（23-24高一下·福建厦门·期末）甲每次投篮投进的概率是0.7．连续投篮三次，每次投篮结果互不影响．记事件为“甲至少投进两球” (1)用表示甲第次的投篮结果，则表示试验的样本点．用1表示“投进”，0表示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由； (2)用计算机产生之间的整数随机数，当出现随机数时，表示“投进”，出现7，8，9时表示“未投进”．以每3个随机数为一组，代表甲三次投篮结果，产生20组随机数：062 049 228 933 11774 732 783 078 276 ，利用该模拟试验，估计事件的概率，并判断事件的概率的精确值与估计值是否存在差异，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)，有差异；理由见解析 【分析】（1）列举出样本空间，则由题意求出样本点的概率和样本点的概率，再根据古典概型的定义分析判断即可； （2）根据随机数表可求得事件的概率的估计值为0.9，设事件“甲第次投进”，，则，然后根据独立事件和互斥事件的概率公式结合题意求出，与0.9比较即可. 【详解】（1）该试验的样本空间为 ， 共有8个样本点． 因为甲每次投篮投进的概率是0.7， 所以样本点的概率为，样本点的概率为， 所以这两个样本点的概率不相等， 所以这个试验不是古典概型． （2）产生20组随机数相当于做了20次重复试验，其中事件发生了18次， 则事件的频率为，所以事件的概率的估计值为0.9． 设事件“甲第次投进”，，则 因为，． 又因为每次投篮结果互不影响，所以，与相互独立，，与相互独立， ，与相互独立，，与相互独立且，，，两两互斥， 所以 所以事件的概率的估计值和有差异．原因如下： ①随机事件发生的频率具有随机性，频率和概率有一定的差异； ②重复试验次数为20，样本量较少，频率偏离概率的幅度大的可能性更大． 题型03：互斥、对立、独立事件的概率问题 7．（23-24高一下·广东广州·期末）某企业进入中学参与学校举办的模拟招聘会，设置了笔试、面试两个环节，先笔试后面试，笔试通过了才可以进入面试，面试通过后即可录用，李明参加该企业的模拟招聘. 笔试关：有4道题，应聘者随机从中选择2道，两道题均答对即可通过笔试，否则淘汰不予录用.已知李明能答对其中的3道题； 面试关：有2道题，面试者答对第一道题，则面试通过被企业录用，否则就继续答第二道题，答对第二道题则面试通过被企业录用，否则淘汰不予录用.已知李明答对每道面试题的概率都是，两道题能否答对相互独立. (1)李明笔试关中能答对的3道题记为，，，不能答对的题记为，请写出李明参加笔试关所有可能结果构成的样本空间，并求出李明通过笔试关的概率； (2)求李明被录用的概率. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）写出样本空间，利用古典概率求出概率. （2）利用相互独立事件的概率公式求解即得. 【详解】（1）样本空间，有6个样本点， 李明通过笔试关的事件，共3个样本点， 所以李明通过笔试关的概率. （2）依题意，李明通过面试关的事件为，则， 李明被录用的事件为，， 所以李明被录用的概率为. 8．（23-24高一下·吉林延边·期末）举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队两人回答问题正确的概率分别为，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立. (1)求甲队总得分为1分的概率； (2)求两队积分相同的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （2）根据题意可得甲、乙得分的概率，分别求两队积分同为0分，1分，2分的概率，结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【详解】（1）记“甲队总得分为1分”为事件A，甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误， 所以； （2）由题意可知：甲队积0分，1分，2分的概率分别为， 乙队积0分，1分，2分的概率分别为， 记两队积分同为0分，1分，2分的分别为事件， 因为两队得分相互独立，互不影响， 则， 所以两队积分相同的概率为. 9．（23-24高一下·福建福州·期末）目前低碳的生活理念流行，越来越多的年轻人加入自行车骑游行列.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费元（不足一小时的部分按一小时计算）.有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过小时还车的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人租车时间超过2小时，且不超过3小时的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (3)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据互斥事件的概率公式和对立事件概率公式计算可得； （2）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （3）甲、乙两人所付的租车费用之和为元可能的情况是甲、乙的租车费用分别为： ①元、元，②元、元，③元、元，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）甲租车时间超过2小时，且不超过3小时的概率为：， 乙租车时间超过2小时，且不超过3小时的概率为：； （2）甲、乙两人所付的租车费用相同可分为租车费用都为元、元、元三种情况， 甲、乙两人租车费用都为元的概率为， 甲、乙两人租车费用都为元的概率为， 甲、乙两人租车费用都为元的概率为， 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为； （3）甲、乙两人所付的租车费用之和为元可能的情况是甲、乙的租车费用分别为： ①元、元，②元、元，③元、元， 所以甲、乙两人所付的租车费用之和为元的概率为： . 题型04：统计与概率综合应用 10．（24-25高一上·江西抚州·期末）临川二中两名优秀学子小明、小华同学独立地参加中国科技大学少科班的入学面试，入学面试时共有道题目，答对道题则通过面试（前道题都答对或都答错，第道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为、、，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立．记“小明只回答道题就结束面试”为事件，记“小华道题都回答且通过面试”为事件． (1)求事件发生的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值； （2）若事件发生，则小华前两题一题，答错一题，第三题答对，求出的值，分析可知，事件、相互独立，由独立事件的概率公式可求得的值； （3）记小明没有通过面试为事件，小华通过面试的事件记为，求出这两个事件的概率，记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件记为，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值. 【详解】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错， 所以，. （2）若事件发生，则小华前两题一题，答错一题，第三题答对， 根据题意则小华道题都回答且通过面试的概率为， 由题意可知，事件、相互独立，则. （3）记小明没有通过面试为事件， 即分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则小明没有通过面试的概率为， 可得小明通过面试的概率为， 而由（1）可得小华通过面试的事件记为，则概率为， 由题意可知，事件、相互独立， 则小明、小华两人恰有一人通过面试的事件记为， 则概率为． 11．（24-25高一下·江西景德镇·期中）在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，某校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值．若根据这次成绩，学校建议成绩排名前的学生选报物理，成绩排名后的学生选报历史，某同学想选报物理，请问他的物理成绩应不低于多少分较为合适？（小数点后保留一位） (2)现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试．考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高到低依次有A＋，A，B三个等级，若两个模块成绩均为A＋，则直接参加；若一个模块成绩为A＋，另一个模块成绩为A，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；乙在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；甲、乙在实验操作中通过的概率分别为，．求甲、乙至少有一个人能参加物理竞赛的概率． 【答案】(1)，不低于分 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可； （2）先利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解甲、乙能参加物理竞赛的概率，然后利用独立事件乘法概率公式求解即可. 【详解】（1）依题意得，， 又 ， 所以第分位数位于，且， 他的物理成绩应不低于分较为合适． （2）依题意甲能参加物理竞赛的概率， 乙能参加物理竞赛的概率， 二人互不影响，所以甲、乙至少有一人能参加物理竞赛的概率为: . 12．（24-25高一上·江西赣州·期末）赣州市是我国当今保存最完好的北宋城，有“江南宋城”之誉，是客家先民中原南迁的第一站，世称“客家摇篮”，被命名为“国家历史文化名城”、“中国优秀旅游城市”.目前，赣州市形成了“红色故都、客家摇篮、江南宋城、生态家园、世界橙乡、堪舆圣地”六大旅游品牌年国庆假期，赣州旅游再次火爆“出圈”.据统计，10月1日至7日，全市共接待游客万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，并将收集到的游客满意度分值数据满分100分分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值，并估计100名游客满意度分值的中位数结果保留整数 (2)用分层随机抽样的方法从中抽取5个人，再从这5个人中随机抽两人进行深入访谈，求2人满意度分值在同一区间的概率; (3)已知满意度分值在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差 【答案】(1) (2)； (3)， 【分析】（1）频率分布直方图，所有组距对应的频率之和为，利用这个性质可求出的值.中位数是将数据从小到大排序后，位于中间位置的数（如果数据个数为奇数）或中间两个数的平均值（如果数据个数为偶数），根据频率分布直方图求中位数需要通过计算累计频率来确定. （2）先根据分层随机抽样的原理确定从和中抽取的人数，然后利用组合数计算从个人中随机抽两人且在同一区间的概率. （3）求的平均数和方差，可根据平均数和方差的计算公式，结合已知区间的平均数和方差进行计算. 【详解】（1）由，解得 满意度分值在的频率为， 在的频率为， 所以中位数落在区间内， 所以中位数为 （2）从中抽取2人，记为A，B， 从中抽取3人，记为a，b，c 所以5个人中随机抽取两人，所以抽取的结果有：，共有10种情况， 取到2人满意度分值在同一区间有有4种情况，所以概率为， 人满意度分值在同一区间的概率为； （3）满意度分值在的频率为，人数为 在的频率为，人数为30， 满意度分值在的平均数，方差， 在的平均数，方差， 所以满意度分值在的平均数， 满意度分值在的方差为s22-2] 【专题强化】 1（24-25高一上·江西九江·期末）4月23日是世界读书日，首届全民阅读大会在北京开幕.习近平总书记希望孩子们养成阅读习惯，快速阅读，健康成长；希望全社会都参与到阅读中来，形成爱读书，读好书，善读书的浓厚氛围.某研究机构为了解当地中学生的阅读情况，通过随机抽样调查了200位中学生，对这些中学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，将这些学生每天阅读的时间分成五段：（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值，并估计这200位学生每天阅读的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）； (2)现在从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天阅读的时间所在区间不同的概率. 【答案】(1)，54（分钟）； (2). 【分析】（1）根据频率和为1求参数，再结合频率直方图求平均数即可； （2）应用分层抽样确定不同区间抽取的人数，再应用列举法求古典概型的概率. 【详解】（1）由频率分布直方图，得，即， 这200位学生每天阅读的平均时间为（分钟）. （2）每天阅读的时间在和内的人数比为，则分层抽样抽取的6人中， 在内的有2人，记为，在内的有4人，记为， 这6人中随机抽取2人的试验的样本空间为，共15个样本点， 阅读的时间所在区间不同的事件，共8个样本点. 这2人每天阅读的时间所在区间不同的概率为. 2．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖励2分、奖励0分、罚2分、罚4分．假设评定为等级为A，B，C的概率分别是，，． (1)若某射击选手射击一次，求其被罚分的概率； (2)若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为0分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件分别表示“被评为等级A，B，C，D”.由题意，事件两两互斥，然后利用互斥事件的概率加法公求解即可； （2）设事件，且事件互斥，然后分别求出对应的概率，再利用互斥事件的概率加法公求解即可. 【详解】（1）设事件A，B，C，D分别表示“被评定为等级A，B，C，D”． 由题意得，事件A，B，C，D两两互斥，所以． 又因为被罚分，所以． 因此其被罚分的概率为； （2）设事件，，，表示“第i次被评定为等级A，B，C，D”，，2． 则“两次射击得分之和为0分”为事件，且事件，，互斥， ， ， 所以两次射击得分之和为0分的概率 . 3．（23-24高一下·贵州黔西·期末）2023年8月5日-9日，首届贵州科技节在贵阳召开，为了了解活动成效，从参会人员中随机抽取50人进行调查并统计其满意度评分（分数均在内），将所得分数分成5组：，，，，，制成频率分布直方图如图所示，其中满意度评分在的参会人数为18． (1)求频率分布直方图中a，b的值； (2)从抽取的50名参会人员中满意度评分在及的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求这2人中恰有1人的满意度评分在的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据评分在的游客人数为18和总人数为50得到，利用频率之和为1得到方程，求出； （2）根据分层抽样的方法得到评分在的人数为2，设为，满意度评分在的人数为3，设为，列举出所有情况和2人中恰有1人的满意度评分在的情况，求出概率. 【详解】（1）由题知，， 因为，所以. （2）由题知，抽取的50名参会人员中满意度评分在的人数为 满意度评分在的人数为 抽取的5人中，满意度评分在的人数为2，设为， 满意度评分在的人数为3，设为， 从5人中随机抽取2人的不同取法为 ，共有10种不同取法， 设"2人中恰有1人的满意度评分在"为事件， 则事件包含的取法为,共有6种不同取法， 4．（23-24高一下·江苏常州·期末）甲和乙进行多轮答题比赛，每轮由甲和乙各回答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求两人在两轮比赛中都答对的概率； (2)求两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率； (3)求两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算即可； （2）两人分别答两次，总共四次中至少答对3道题，分五种情况计算可得答案； （3）分甲和乙均答对两个题目、均答对三个题目两种情况计算即可. 【详解】（1）依题意，设事件“甲两轮都答对问题”，“乙两轮都答对问题”， 所以. 因为事件相互独立， 所以两人在两轮比赛中都答对的概率为 （2）设事“甲第一轮答对”，“乙第一轮答对”， “甲第二轮答对”，“乙第二轮答对”， “两人在两轮比赛中至少答对3道题”， 则， 由事件的独立性与互斥性， 可得 故两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率为. （3）设事件分别表示甲三轮答对2个，3个题目， 分别表示乙三轮答对2个，3个题目， 则， ， 设事件“两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2”， 则，且分别相互独立， 所以 . 所以两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率为. 5.（24-25高一下·北京·期中）2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象．为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试．根据测试成绩，将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示． (1)求该样本的第75百分位数； (2)试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)； (3)该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在各一人的概率． 【答案】(1)分； (2)分； (3). 【分析】（1）根据频率和为1求得，再由百分位数的定义求第75百分位数； （2）由频率直方图的平均数求法求平均分； （3）根据分层抽样确定5人中的人数分布，再应用列举法求古典概型的概率. 【详解】（1）由题设，可得， 由，， 所以样本的第75百分位数位于区间，设为，则， 所以分. 则其第75百分位数为分. （2）由题设分； 则平均分为分. （3）由题设，的频率比为， 故抽取的5人中有2人为、有3人为， 任抽2人有，共10种情况， 其中分数在各一人有，共6种情况， 所以这2名同学分数在各一人的概率. 6．（23-24高一下·福建三明·期末）目前羽毛球混双世界排名第一，第三，第四分别是中国的“雅思组合，韩国的肉丁组合”，中国的“凤凰组合. 据统计，每场比赛雅思组合战胜肉丁组合的概率为 ，“凤凰组合”战胜肉丁组合的概率为，同一赛事的每场比赛结果互不影响.已知三个组合参加单循环赛（参加比赛的组合均能相遇一次），“雅思组合，“凤凰组合”同时战胜“肉丁组合”的概率为 ，有一个组合战胜“肉丁组合”的概率为 . (1)求 和 的值； (2)三个组合参加双循环赛（参加比赛的组合均能相遇两次），求雅思组合比“凤凰组合战胜肉丁组合的次数多的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由事件的相互独立性及互斥事件的概率公式列方程组求解； (2)根据独立事件乘法公式及互斥事件的求和公式结合条件即得． 【详解】（1）解：设事件 “雅思组合、凤凰组合均战胜肉丁组合”， “雅思组合与凤凰组合只有一个组合战胜肉丁组合”， 由于每场比赛结果互不影响，所以 ， ， 由题意可得 ，即，解得或， 因为 ，所以 ． （2）设事件 “‘雅思组合’胜‘肉丁组合’ 场”， 事件 “‘凤凰组合’胜‘肉丁组合’ 场”，， 事件 “‘雅思组合’比‘凤凰组合’战胜‘肉丁组合’的次数多” 所以 ， ， 所以 ， 所以“雅思组合”比“凤凰组合”战胜“肉丁组合”的次数多的概率 ． 7．（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）2023 年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持.下图是该地 120 家中小 微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图 ：    (1)确定 的值，并估计这 120 家中小微企业的专项贷款金额的中位数（结果保留整数） ； (2)按专项贷款金额进行分层抽样，从这 120 家中小微企业中随机抽取 20 家，记专项贷款金额在 内应抽取的中小微企业数为. ①求的值 ； ②从这家中小微企业中随机抽取 3 家，求这 3 家中小微企业的专项贷款金额都在内的概率. 【答案】(1)，中位数. (2)①，②. 【分析】（1）根据频率分布直方图所有小矩形面积之和为即可计算，设中位数为，则在内，由即可计算； （2）①计算120家专项贷款金额在内的中小微企业的企业数，根据抽样比计算；②根据频率比，计算专项贷款金额在内和在内的企业数，然后根据古典概型计算概率即可. 【详解】（1）根据频率分布直方图所有小矩形面积之和为得 ， 解得. 设中位数为，则专项贷款金额在内的评率为， 在内的评率为， 所以在内， 则，解得， 所以估计120家中小微企业的专项贷款金额的中位数为万元. （2）①由题意，抽样比为， 专项贷款金额在内的中小微企业共有家， 所以应该抽取家，即. ②专项贷款金额在内和在内的频率之比为， 故在抽取的5家中小微企业中， 专项贷款金额在内的有家，分别记为, 专项贷款金额在内的有家，记为, 从这5家中小微企业中随机抽取3家的可能情况为 共10种， 其中这3家中小微企业的专项贷款金额都在内的情况有 共4种， 所以所求概率为. 8．（23-24高一下·吉林白城·期末）某公司为了解用户对其产品的满意度，从两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： 地区：62  73  81  92  95  85  74  64  53  76 78  86  95  66  97  78  88  82  76  89 地区：73  83  62  51  91  46  53  73  64  82 93  48  65  81  74  56  54  76  65  79 (1)根据两组数据自选一个统计量，并在此基础上对数据进行分析； (2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件：“地区用户的满意度等级高于地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求的概率． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）选平均数作为统计量，作出茎叶图即可比较； （2）记表示事件：“地区用户满意度等级为满意或非常满意”，表示事件：“地区用户满意度等级为非常满意”，表示事件：“地区用户满意度等级为不满意”，表示事件：“地区用户满意度等级为满意”，则，根据互斥事件的概率加法公式及相互独立事件的概率乘法公式即可求解. 【详解】（1）（1）选平均数作为统计量， 两地区用户满意度评分的茎叶图如下： 通过茎叶图可以看出，地区用户满意评分的平均值高于地区用户满意评分的平均值. （2）记表示事件：“地区用户满意度等级为满意或非常满意”， 表示事件：“地区用户满意度等级为非常满意”， 表示事件：“地区用户满意度等级为不满意”， 表示事件：“地区用户满意度等级为满意”， 则与独立，与独立，与互斥， ， ． 由所给数据得，，，发生的频率分别为，，，， 故，，，， ． 9．（23-24高一下·安徽六安·期末）2023年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“哈尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，六安文旅也在各大平台发布了六安的宣传片：六安瓜片、舒城小兰花、固镇大白鹅等等出现在大众视野现为进一步发展六安文旅，提升六安经济，在5月份对来六安旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中. (1)试估计游客满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和第60百分位数. (2)六安文旅6月份继续对来六安旅游的游客发起满意度调查现知6月1日-6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为85，方差为74：6月8日-6月14日调查的6万份数据中满意度的平均值为95，方差为69.由这些数据计算6月1日—6月14日的总样本的平均数与方差. 【答案】(1)平均值为，第百分位数为； (2)总样本的平均数为，方差为. 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求出，进而即可求出平均数；先确定60%分位数的位置，再由频率分布直方图求求值； （2）求出总样本平均数，根据方差的定义，即可求出总样本方差. 【详解】（1）由题意知，，所以， 所以满意度得分的平均值为， 因为，， 所以第百分位数位于第三个区间内， 所以第百分位数为分. （2）把6月1日—6月7日的样本记为，其平均数记为，方差记为， 把6月8日—6月14日的样本记为，其平均数记为，方差记为，总样本方差为， 则总样本平均数， 由方差的定义，样本总方差为： 所以， 所以总样本的平均数为，方差为. 10．（23-24高一下·新疆·期末）为普及防火救灾知识，某学校组织防火救灾知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手在第一轮比赛胜出后才能进入第二轮比赛.若其在两轮比赛中均胜出，则赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为；在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为，甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响， (1)比较甲､乙两人谁赢得比赛的概率大； (2)求甲赢得比赛且乙没赢得比赛的概率. 【答案】(1)甲赢得比赛的概率大 (2) 【分析】（1）根据题意结合独立事件的概率公式分别求出甲､乙两人胜出的概率，再比较大小即可； （2）根据独立事件和对立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”， “乙在第一轮比赛中胜出”，"乙在第二轮比赛中胜出”， 则“甲赢得比赛”，， “乙赢得比赛”，. 因为，所以甲赢得比赛的概率大. （2）设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”， 由（1）知， 所以甲赢得比赛且乙没赢得比赛的概率为 . 11．（23-24高一下·吉林长春·期末）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流． (1)应抽取小吃类商家多少家？ (2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示． ①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数； ②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数． 【答案】(1)28家 (2)① 487.5元；②280 【分析】（1）根据分层抽样的定义结合图①求解即可； （2）①先根据频率和为1求出，然后列方程求解第75百分位数，②根据频率分布直方图求出平均均日利润超过480元的频率，然后乘以1000可得答案. 【详解】（1）根据分层抽样知：应抽取小吃类家； （2）①根据题意可得，解得， 设75百分位数为x， 因为，， 所以，解得， 所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元．     ②， 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280． 12．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.拉萨市某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求a，b的值； (2)估计这次竞赛成绩的众数，中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，……，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 【答案】(1)， (2)众数75，中位数70.5，平均数70.2 (3)80；37.5 【分析】（1）由前两组频数关系得频率关系解可得，由各组频率之和为求； （2）由最高小矩形底边矩形中点作为众数的估计值，利用中位数左右的直方图面积相等求解中位数，用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替平均数； （3）根据平均数和方差的计算公式求出结果. 【详解】（1）由第二组的频数是第一组的2倍，可得第二组的频率为第一组的2倍，所以，解得， 又，解得， 所以，； （2）由题知，估计众数为=75； 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 因此中位数落在区间内， 设中位数为m，则，解得． 由题知各组频率分别为0.16，0.32，0.4，0.08，0.04， 各组区间中点值分别为55，65，75，85，95， 所以平均数的近似值为， 故估计这次竞赛成绩的众数约为，中位数约为，平均数约为； （3）由，得：． 又， 所以：， 剔除其中的75和85两个分数，设剩余8个数为， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：； 所以 即： 方差：. 故剩余8个分数的平均数为，方差为. 13．（23-24高一下·福建福州·期末）我省实行“”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高二年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，A等级排名占比，赋分分数区间是86～100；B等级排名占比，赋分分数区间是71～85；C等级排名占比，赋分分数区间是56～70；D等级排名占比，赋分分数区间是41～55；E等级排名占比，赋分分数区间是30～40；现从全年级的生物成绩中随机取100学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示： (1)求图中a的值，并求抽取的这100名学生的原始成绩的众数和中位数（结果为准确值）； (2)用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级）；（结果保留整数） (3)若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰有一人原始成绩在内的概率． 【答案】(1)众数75，中位数分； (2)74分； (3). 【分析】（1）根据频率分布直方图中频率和为1求得值，找出频率最大的那组数据的中点值得众数，求出频率对应的值得中位数； （2）由（1）的中位数可得； （3）确定两组中人数，对学生编号，用列举法写出取2人的样本并计数后，根据概率公式计算概率． 【详解】（1）， . 抽取的这100名学生的原始成绩的众数的估计值为分；    由频率直方图可得前三组的频率和为， 前四组的频率和为，故中位数落在第四组， 设中位数为x，则，解得， 故抽取的这100名学生的原始成绩的中位数的估计值为分； （2）由已知等级达到B及以上所占排名等级占比为， 由（1）可得，中位数，   故原始分不少于74分才能达到赋分后的B等级及以上． （3）由题知得分在和内的频率分别为0.1和0.15， 则抽取的5人中，得分在内的有2人，得分在的有3人     记得分在内的3位学生为a，b，c，得分在内的2位学生为D，E， 则从5人中任选2人，样本空间可记为    ，共包含10个样本，     用A表示“这2人中恰有一人得分在内”， 则，A包含6个样本， 故所求概率. 14．（23-24高一下·吉林·期末）某高校强基计划考试分“笔试”和“面试”两部分，每部分考试成绩记“合格”或“不合格”两部分考试成绩均“合格”者则考试“通过”，并给予录取.现甲、乙两人都参加此高校的强基计划考试，甲、乙在笔试中成绩“合格”的概率分别为，，在面试中成绩“合格”的概率分别为，，且每人在笔试和面试成绩是否“合格”是相互独立的. (1)甲、乙两人谁被录取的可能性大，并说明理由； (2)求甲、乙两人中至少有一人被录取的概率. 【答案】(1)甲，理由见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件概率公式分别求出甲乙被录取的概率即可. （2）由（1）的信息，利用相互独立事件概率公式及互斥事件的加法公式列式计算即得. 【详解】（1）设“甲笔试合格”，“乙笔试合格”，“甲面试合格”，“乙面试合格”， 依题意，相互独立，相互独立，， 甲被录取的概率， 乙被录取的概率，， 所以甲被录取的可能性大. （2）设“甲被录取”，“乙被录取”，“至少有一人被录取”， 则，而， 因此 ， 所以甲、乙两人中至少有一人被录取的概率是. 15．（23-24高一下·云南楚雄·期末）某工厂计划对该工厂生产的某类产品进行深加工，以推进该类产品的升级．该工厂随机抽取某生产线上一段时间内生产的100件产品，对其质量（单位：g）进行统计，并将样本数据分为六组，得到如下频率分布直方图．    (1)试估计样本数据的分位数； (2)从样本数据在内的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品作为产品深加工方案制定的分析样例，再从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品作为深加工的标准样例，求标准样例中恰有1件产品的质量在内的概率； (3)若规定质量在内的产品为优等品，用频率估计概率，从该生产线上随机抽取2件产品，求抽取到的产品中至少有1件优等品的概率． 【答案】(1)73.75g (2) (3)0.1164 【分析】（1）利用频率分布直方图估计样本数据的分位数. （2）求出5件产品中两个指定区间内的产品数，再利用列举法求出古典概率. （3）求出优等品率，再利用对立事件的概率公式计算即得. 【详解】（1）由频率分布直方图知，样本数据在的频率为，在的频率为， 则样本数据的分位数，于是，解得， 所以样本数据的分位数约为73.75g. （2）样本数据在内的产品被抽取的件数为，记为， 样本数据在内的产品被抽取的件数为，记为 则从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品的情况有： ，共10种， 其中标准样例中恰有1件产品的质量在内的情况有6种． 所以标准样例中恰有1件产品的质量在内的概率为． （3）依题意，从该生产线上随机抽取1件产品，该件产品为优等品的概率为， 则抽取到的产品中至少有1件优等品的概率为． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$