10.3 频率与概率【六大题型】-2024-2025学年高一数学必修第二册精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

10.3 频率与概率 【考点梳理】 · 考点一：频率与概率的关系 · 考点二、计算频率 · 考点三：用频数计算概率问题 · 考点四：用随机模拟估计概率 · 考点五：生活中概率的解析 · 考点六：概率思想的实际应用 【知识梳理】 知识点01：频率的稳定性 在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 知识点02：　随机模拟 用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法. 【题型归纳】 题型一：频率与概率的关系 1．（23-24高一下·广西河池·期末）下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性 C．随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率 D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合频率，概率的定义，即可判断. 【详解】频率与概率不是同一个概念，故A错误； 在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性，故B错误； 随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，故C正确； 在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故D错误． 故选：C． 2．（22-23高一下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（    ） ①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度； ②每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数； ③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1； ④概率就是频率． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据频数、频率、概率的定义逐项判断即可. 【详解】对于①：频数是指事件发生的次数，频率是指本次试验中事件发生的次数与试验总次数的比值，二者都可以反映频繁程度，故①正确； 对于②：试验的总次数即为各个试验结果出现的频数和，故②正确； 对于③：各个试验结果的频率之和一定等于，故③错误； 对于④：概率是大量重复试验后频率的稳定值，故④错误； 故选：C. 3．（22-23高一下·新疆喀什·期末）给出下列四个命题： ①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品； ②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率； ④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是. 其中正确命题有（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据频率与概率的区别，概率的定义和性质进行判断． 【详解】对于①，实验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，并不是一个确定的值， 一批产品次品率为0.05，则从中任取200件，次品的件数在10件左右，而不一定是10件，①错误； 对于②，100次并不是无穷多次，只能说明这100次试验出现正面朝上的频率为，故②错误； 对于③，根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，③错误； 对于④，频率估计概率，频率为出现的次数与重复试验的次数的比值， 抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是，④正确. 故选：D. 题型二、计算频率 4．（22-23高一·全国）已知一个容量为20的样本，其数据具体如下： 10    8    6    10    13    8    10    12    11    7 8    9    11     9    12    9    10    11    12    11 那么频率为0.4的范围是（    ） A．5.5~7.5 B．7.5~9.5 C．9.5~11.5 D．11.5~13.5 【答案】C 【分析】通过计算各组频率来求得正确答案. 【详解】5.5~7.5的频率为， 7.5~9.5的频率为， 9.5~11.5的频率为， 11.5~13.5的频率为， 所以C选项正确. 故选：C 5．（22-23高一下·湖南湘西·期末）“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有15人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有 人. 【答案】6720 【分析】先求得样本持反对态度的频率，进而可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的人数. 【详解】在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为， 则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有（人）. 故答案为：6720 6．（23-24高一上·全国·课后作业）投掷硬币的结果如下表： 投掷硬币的次数 200 500 c 正面向上的次数 102 b 404 正面向上的频率 a 0.482 0.505 则 ， ， ． 据此可估计若掷硬币一次，正面向上的概率为 ． 【答案】 0.51/ 241 800 0.5/ 【分析】由频数、试验次数与频率的关系求，再由频率的稳定性估计概率. 【详解】，， . 三组试验正面向上的频率都在0.5附近， 由频率的稳定性，估计若掷硬币一次，正面向上的概率应为0.5. 故答案为：0.51；241；800；0.5. 题型三：用频数计算概率问题 7．（23-24高一下·山东枣庄·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（    ） A．2% B．3% C．6% D．8% 【答案】C 【分析】由概率得出这100个回答第一个问题的学生中，约有50人回答了“是”，结合题设条件，估计第二个问题有人回答了“是”，从而得出所占比例. 【详解】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中， 随机摸出1个球，摸到白球和红球的概率都为， 因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人， 而一年12个月中，奇数的占一半， 所以对第一个问题回答“是”的概率为 所以这100个回答第一个问题的学生中，约有50人回答了“是”， 从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有人回答了“是”， 所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为． 故选：C 8．（2024高一下·全国·专题练习）众所周知，长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设该校有a名同学，根据题目条件计算得出每天玩手机不超过2 h的学生中近视人数；再用频率估计概率即可求解. 【详解】设该校有a名同学， 则由题意可得：约有0.4a的学生近视，约有0.3a的学生每天玩手机超过2 h，约有0.7a的学生每天玩手机不超过2 h. 因为该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为50% 所以每天玩手机超过2 h的学生中近视的学生人数为0.3a×0.5＝0.15a， 则每天玩手机不超过2 h的学生中有0.4a－0.15a＝0.25a的学生近视， 所以从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，该名学生近视的概率为． 故选：B． 9．（21-22高一下·湖南岳阳·期末）天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数180，792，454，417，165，809，798，386，196，206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用频率和概率的关系得到答案. 【详解】10组数据中，恰有两天下雨的有417，386，196，206，共4个， 故此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：B 题型四：用随机模拟估计概率 10．（23-24高一下·广东潮州·期末）已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412  451  312  533  224  344  151  254  424  142 435  414  335  132  123  233  314  232  353  442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（    ） A．0.4 B．0.45 C．0.55 D．0.6 【答案】C 【分析】找出代表事件“一年内没有1台设备需要维修”的数组，利用古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】由题意可知，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有： 533  224  344  254  424  435   335   233  232  353  442共11组， 因此，所求概率为. 故选：C. 11．（21-22高一·全国·课后作业）手机支付已经成为人们常用的付费方式．某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下： 顾客年龄岁 20岁以下 70岁及以上 手机支付人数 3 12 14 9 13 2 0 其他支付方式人数 0 0 2 11 31 12 1 从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在且未使用手机支付的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】算出100名顾客中，顾客年龄在且未使用手机支付的人数，进而可以得到未使用手机支付的概率. 【详解】在随机抽取的100名顾客中，顾客年龄在且未使用手机支付的共有人，所以从该超市随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在且未使用手机支付的概率为． 故选：A. 12．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）规定：投掷飞镖次为一轮，若次中至少两次投中环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中环以上的概率为．现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生到之间的随机整数，用、表示该次投掷未有环以上，用、、、、、、、表示该次投掷在环以上，经随机模拟试验产生了如下组随机数： 据此估计，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出组随机数中代表“次中至少两次投中环以上”的数组的组数，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，随机模拟试验产生了如下组随机数中， 代表“次中至少两次投中环以上”的数组共组， 因此，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为. 故选：A. 题型五：生活中概率的解析 13．（22-23高一下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（    ） A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率 B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖 C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水 【答案】A 【分析】根据频率与概率的定义以及两者之间的关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率，概率是频率的稳定值，故A正确， 对于B, 某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票不一定中奖，故B错误， 对于C, 连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则在100此抛硬币的实验中掷一枚硬币出现反面的频率为，而掷一枚硬币出现反面的概率为，故C错误， 对于D，某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的明天会降水的可能性为70%.故D错误， 故选：A 14．（23-24高一下·青海海南·期末）某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 【答案】D 【分析】中奖的概率为，只能说有中奖的可能性，但不能确定一定中奖还是不中奖，分析判断即可. 【详解】中奖的概率为，与抽的次数无关，只是有中奖的可能性， 故选：D． 15．（20-21高一·全国）气象站在发布天气预报时说“明天本地区降雨的概率为90%”，你认为下列解释正确的是（    ） A．本地区有90%的地方下雨 B．本地区有90%的时间下雨 C．明天出行不带雨具，一定被雨淋 D．明天出行不带雨具，有90%的可能被雨淋 【答案】D 【分析】根据概率的实际意义即可判断. 【详解】明天本地区降雨的概率为90%意味着有90%的可能会下雨，结合选项可知只有D正确， 故选：D. 题型六：概率思想的实际应用 16．（23-24高一下·福建厦门·期末）甲每次投篮投进的概率是0.7，连续投篮三次，每次投篮结果互不影响，记事件A为“甲至少投进两球 (1)用表示甲第次的投篮结果，则表示试验的样本点.用1表示“投进”，0表示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由； (2)用计算机产生之间的整数随机数，当出现随机数时，表示“投进”，出现7，8，9时表示“未投进”，以每3个随机数为一纽，代表甲三次投篮结果，产生20组随机数： 利用该模拟试验，估计事件A的概率，并判断事件A的概率的精确值与估计值是否存在差异，并说明理由 【答案】(1)样本空间见解析，不是古典概型，理由见解析 (2)事件A的概率的估计值为0.9，存在差异，理由见解析 【分析】（1）直接写出样本空间即可，根据样本点和的概率即可结合古典概型定义进行判断. （2）20组随机数中事件A发生了18次，则事件A的频率为，所以事件A的概率的估计值为0.9，再求出事件A的概率的精确值结合试验的特点以及频率与概率的特征和关系即可比较判断和说明. 【详解】（1）该试验的样本空间为 ， 共有8个样本点， 样本点的概率为，样本点的概率为，这两个样本点的概率不相等，所以这个试验不是古典概型. （2）产生20组随机数相当于做了20次重复试验，其中事件A发生了18次， 则事件A的频率为，所以事件A的概率的估计值为0.9. 设事件“甲第次投进”，，则 因为. 又因为每次投篮结果互不影响，所以与相互独立，与相互独立，与相互独立，与相互独立且两两互斥， 所以 所以事件A的概率的估计值和有差异.原因如下： ①随机事件发生的频率具有随机性，频率和概率有一定的差异； ②重复试验次数为20，样本量较少，频率偏离概率的幅度大的可能性更大. 17．（23-24高一下·云南楚雄·期末）某大型商超每天以每公斤1元的价格从蔬菜批发行购进若干公斤青菜，然后以每公斤2元的价格出售．如果当天卖不完，那么剩下的青菜当作福利分给有需要的员工 (1)若该商超一天购进800公斤青菜，求当天出售青菜的利润y（单位：元）关于当天青菜需求量x（单位：公斤）的函数解析式 (2)该商超记录了100天青菜的日需求量（单位：公斤），整理得到下表． 日需求量x 770 780 790 800 820 830 频数 5 10 20 35 20 10 （ⅰ）假设该大型商超在这100天内每天购进800公斤青菜，求这100天出售青菜的日利润（单位：元）的平均数； （ⅱ）若该大型商超一天购进800公斤青菜，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于780元的概率． 【答案】(1) (2)（ⅰ）789元；（ⅱ）0.85 【分析】（1）由题意可知需要对进行分类讨论，很容易得到函数解析式； （2）（ⅰ）根据分层计算出不同日需求量的利润即可求解；（ⅱ）以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率即可求解. 【详解】（1）当时，； 当时，． 故关于的函数解析式为 （2）（i）这100天有5天的日利润为元， 10天的日利润为元， 20天的日利润为元， 65天的日利润为800元， 所以这100天出售青菜的日利润的平均数为元． （ⅱ）若当天的利润不少于780元，则当日需求量不少于790公斤 故当天的利润不少于780元的概率为． 18．（2023·全国·模拟预测）鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智力玩具，相传由春秋末期到战国初期的鲁班发明，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧，易拆难装，十分巧妙，每根木条上的花纹是卖点，也是手工制作的关键．某玩具公司开发了甲、乙两款鲁班锁玩具，各生产了100件样品，样品分为一等品、二等品、三等品，根据销售部市场调研分析，得到相关数据如下（单件成本利润率＝利润÷成本）： 甲款鲁班锁玩具 一等品 二等品 三等品 单件成本利润率 10% 8% 4% 频数 10 60 30 乙款鲁班锁玩具 一等品 二等品 三等品 单件成本利润率 7.5% 5.5% 3% 频数 50 30 20 (1)用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，求该产品是一等品的概率； (2)若甲、乙两款鲁班锁玩具的投资成本均为20000元，且每件的投资成本是相同的，分别求投资这两款鲁班锁玩具所获得的利润． 【答案】(1) (2)甲鲁班锁玩具所获得的利润1400元；乙鲁班锁玩具所获得的利润1200元 【分析】（1）用频率估计概率,利用频率公式即可求； （2）分别求出甲、乙两种鲁班锁一等品、二等品、三等品的利润，进而得到两款鲁班锁玩具所获得的利润. 【详解】（1）用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，该产品是一等品的概率为． （2）甲款鲁班锁玩具一等品的利润为（元）， 二等品的利润为（元）， 三等品的利润为（元）， 故100件甲款鲁班锁玩具的利润为（元）． 乙款鲁班锁玩具一等品的利润为（元）， 二等品的利润为（元）， 三等品的利润为（元）， 故100件乙款鲁班锁玩具的利润为（元）． 【双基达标】 一、单选题 1（24-25高二上·四川成都）下列说法一定正确的是（   ） A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况 B．随机事件发生的概率与试验次数无关 C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元 D．一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2 【答案】B 【分析】根据频率与概率的关系得到ACD错误，B正确. 【详解】A选项，一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，也可能出现三投都不中的情况，A错误； B选项，随机事件发生的概率是一个固定的值，与试验次数无关，B正确； C选项，若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票不一定会中奖一元，C错误； D选项，一个骰子掷一次得到2的概率是，掷6次出现2的次数不确定，可能是1次，也可能是2次或者其他次数，D错误. 故选：B 2．（23-24高一下·山西长治·期末）下列说法正确的是（    ） A．甲、乙二人进行羽毛球比赛，甲胜的概率为，则比赛4场，甲一定胜3场 B．概率是随机的，在试验前不能确定 C．事件，满足，则 D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90% 【答案】D 【分析】根据概率的定义及性质判断即可. 【详解】对于A，甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，是指每场比赛，甲胜的可能性为， 则比赛场，甲可能胜场、3场、2场、1场、0场，故A错误； 对于B，随机试验的频率是变化的，概率是频率的稳定值，是固定的，故B错误； 对于C：事件，满足，则，故C错误； 对于D，天气预报中，预报明天降水概率为，是指降水的可能性是，故D正确. 故选：D 3．（23-24高一下·浙江温州·期末）气象台预报“本市明天中心城区的降雨概率为30%，郊区的降雨概率为70%.”基于这些信息，关于明天降雨情况的描述最为准确的是（    ） A．整个城市明天的平均降雨概率为50% B．明天如果住在郊区不带伞出门将很可能淋雨 C．只有郊区可能出现降雨，而中心城区将不会有降雨 D．如果明天降雨，郊区的降雨量一定比中心城区多 【答案】B 【分析】由概率的定义即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A，中心城区面积和郊区面积不一定相同，故整个城市明天的平均降雨概率不一定为50%，故A错误； 对于B，明天郊区的降雨概率比中心城区的降雨概率大，故B正确； 对于C，不管郊区还是中心城区都可能会出现降雨，故C错误； 对于D，降雨量并不取决于降雨概率，反而是降雨时长以及有效覆盖面积（即下雨的区域在该所参考区域的面积）会影响降雨量，故D错误. 故选：B. 4．（23-24高一下·河南许昌·期末）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（    ） A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 【答案】B 【分析】分别计算各选项中小明、小华获胜的概率，若二人获胜的概率相等，则公平，否则不公平，由此得到选项． 【详解】对于A，抛掷一枚骰子，一共6种情况，向上的点数为奇数的概率为，向上的点数为偶数的概率为，所以游戏公平； 对于B，同时抛掷两枚硬币，一共4种情况：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 恰有一枚正面向上的概率为，两枚都正面向上的概率为，所以游戏不公平； 对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红的概率为，扑克牌是黑色的概率为，所以游戏公平； 对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，共四种情况， 两人写的数字相同的概率为，两人写的数字不同的概率为，所以游戏公平． 故选：B． 5．（2024·四川绵阳·模拟预测）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（    ）    A．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天 B．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3 C．估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时 D．估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时 【答案】C 【分析】利用频率分别直方图、频数、频率、中位数、众数直接求解. 【详解】对于A，该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的天数为：天，故A错误； 对于B，估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为，故B错误； 对于C，的频率为，的频率为， 则该学生每日完成作业时间的中位数为，故C正确； 对于D，估计该学生每日完成作业时间的众数为，故D错误； 故选：C 6．（23-24高二上·湖北荆州·期末）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生之间的随机数： 425 123 423 344 144 435 525 332 152 342 534 443 512 541 135 432 334 151 312 354 若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由样本数据，利用频率近似估计概率. 【详解】设事件“三天中至少有两天下雨”，20个随机数中， 至少有两天下雨有， 即事件发生了13次，用频率估计事件的概率近似为． 故选：D． 7．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116  785  812  730  134  452  125  689  024  169 334  217  109  361  908  284  044  147  318  027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】查出20个随机数中表示今后3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数的个数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【详解】由题意可知表示今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有： 116  812  730  217  109  361  284  147  318  027共10个， 故今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是， 故选：B 8．（22-23高一下·福建·期末）某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行了调查，调查中问了两个问题1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计了一个随机化装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到红球和白球的可能性相同，其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区80名业主参加了问卷，且有48名业主回答了“是”，由此估计本小区对物业满意服务的百分比大约为（    ） A．10% B．20% C．35% D．70% 【答案】D 【分析】根据问卷调查的设计原则，及两个问题被抽到、手机尾号奇数、偶数的概率分别相同，结合已知估计回答第二个问题的人数及回答“是”的人数，即可得结果. 【详解】由两个问题被问的概率相等，故约有40人回答了第一个问题， 由手机尾号为奇数和偶数的概率相等，故40人中约有20人回答“是”， 根据有48名业主回答了“是”，则约有28人在第二个问题中回答“是”， 又第二个问题被问到的人数同样约为40人， 故本小区对物业满意服务的百分比大约为. 故选：D 9．（22-23高一下·广东东莞·期末）对敏感性问题调查的关键是要设法消除被调查者的顾虑，使他们能如实回答问题．为调查学生是否有在校使用手机的情况时，某校设计如下调查方案：调查者在没有旁人的情况下，独自从一个箱子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题：抽到红球，则回答问题，且箱子中只有白球和红球． 问题：你的生日的月份是否为偶数?（假设生日的月份为偶数的概率为） 问题：你是否有在校使用手机? 已知该校在一次实际调查中，箱子中放有白球个，红球个，调查结束后共收到张有效答卷，其中有张回答“是”，如果以频率估计概率，估计该校学生有在校使用手机的概率是（精确到）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出回答问题的学生人数，以及回答问题回答“是”的学生人数，进而可求得该校学生有在校使用手机的概率. 【详解】由题意可知，回答问题的学生人数为，其中回答问题回答“是”的人数为， 回答问题的学生人数为，其中回答问题回答“是”的人数为， 因此，估计该校学生有在校使用手机的概率是. 故选：B. 10．（2023·甘肃定西·模拟预测）某年级组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该年级共有600名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加合唱社团的同学有75名，参加脱口秀社团的有125名，则该年级（    ）    A．参加社团的同学的总人数为600 B．参加舞蹈社团的人数占五个社团总人数的15% C．参加朗诵社团的人数比参加太极拳社团的多120人 D．从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为0.35 【答案】D 【分析】A选项，根据参加合唱社团的同学有75名求出参加社团总人数；B选项，先计算出参加脱口秀社团的人数占比，进而得到舞蹈社团的人数占比；C选项，计算出参加两个社团的人数，作差求出答案；D选项，利用，求出答案. 【详解】A选项，，故参加社团的同学的总人数为500，A错误； B选项，参加脱口秀社团的有125名，故参加脱口秀社团的人数占五个社团总人数的， 所以参加舞蹈社团的人数占五个社团总人数的，B错误； C选项，参加朗诵社团的人数为，参加太极拳社团的人数为，故参加朗诵社团的人数比参加太极拳社团的多人，C错误； D选项，从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为，即0.35，D正确. 故选：D 11．（2023·天津·一模）某滑冰馆统计了某小区居民在该滑冰馆一个月的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（    ） A．该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间内的最少 B．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.465 C．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16 D．估计小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值为15 【答案】B 【分析】根据直方图写出对应该滑冰馆的锻炼天数区间的频率，再结合各选项的描述及中位数、平均数的求法判断正误． 【详解】由图知：、、、、、的频率分别为、、、、、， 对于A：内的天数最少，故A错误； 对于B：估计锻炼天数超过15天的概率为，故B正确； 对于C：由、、频率和为，设中位数为x， 则，可得，故C错误； 对于D：平均天数为天，故D错误； 故选：B． 12．（21-22高一下·吉林长春·期中）袋子中装有大小相同2个红球，4个蓝球，搅拌均匀后从中随机摸出3个球，现在用数字0，1表示红球，数字2，3，4，5表示蓝球，通过计算器随机模拟10次该试验，得到如下数据：024 234 213 012 034 125 035 345 134 304三个数为一组，代表摸到三个球的结果，以此估计，摸到三个球都是蓝球的概率为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】A 【分析】求出频率，用频率估计摸到三个球都是蓝球的概率. 【详解】摸到三个球都是篮球的有234，345，估计摸到三个球都是蓝球的概率为. 故选：A 二、多选题 13．（24-25高二上·山东）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（   ） A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品 B．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确. C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 【答案】ACD 【分析】根据频率与概率的关系，结合各选项的描述判断正误. 【详解】对于A：从中任取100件，可能有10件，A错误； 对于B：10000次的界定没有科学依据，"不一定很准确"的表达正确，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近， 但并非试验次数越多，频率就等于概率，B正确. 对于C：多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，C中描述不符合概率定义，C错误； 对于D：做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为，D错误； 故选：ACD. 14．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 B．抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是 C．有一批产品，其次品率为0.05，若从中任取200件产品，则一定有190件正品，10件次品 D．抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次出现了正面，则可得抛掷一次该硬币出现正面的概率是0.51 【答案】AB 【分析】对于A，根据概率与频率的关系分析判断，对于B，根据频率的定义分析判断，对于CD，根据频率与概率的关系分析判断. 【详解】对于A：随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故A正确； 对于B：抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是，故B正确； 对于C：有一批产品，其次品率为0.05，若从中任取200件产品，则不一定抽取到190件正品和10件次品，故C错误； 对于D：100次并不是无穷多次，抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次出现了正面，则可得抛掷一次该硬币出现正面的频率是0.51，故D错误； 故答案选：AB. 15．（2024·全国·模拟预测）某校高三年级有（1），（2），（3）三个班，一次期末考试，统计得到每班学生的数学成绩的优秀率（数学成绩在120分以上的学生人数与该班学生总人数之比）如表所示： 班级 （1） （2） （3） 优秀率 80% 85% 75% 则下列说法一定正确的是（    ） A．（2）班学生的数学成绩的优秀率最高 B．（3）班的学生人数不一定最少 C．该年级全体学生数学成绩的优秀率为80% D．若把（1）班和（2）班的数学成绩放在一起统计，得到优秀率为83%，则（1）班人数多于（2）班人数 【答案】AB 【分析】由题目表格中的数据，逐一判断选项，可得答案. 【详解】选项A：显然（2）班学生的数学成绩的优秀率最高，故A正确； 选项B：只根据优秀率的大小，无法比较每个班人数的多少，故B正确； 选项C：该年级全体学生数学成绩的优秀率为全年级数学成绩优秀的学生人数与全年级学生总人数之比， 由于各班的学生人数不知道，所以不能计算该年级全体学生数学成绩的优秀率，故C错误； 选项D：设（1）班、（2）班数学成绩优秀的人数分别为x，y，（1）班、（2）班人数分别为a，b， 则，，得，，又（1）班和（2）班放在一起统计的优秀率为83%， 即，即，即，得，则，故D错误． 故选:AB. 16．（22-23高一下·河北衡水·期末）某年级组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该年级每名同学依据自己的兴趣爱好只参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加合唱社团的同学有72名，参加脱口秀社团的有120名，则该年级（    ）    A．参加社团的同学的总人数为480 B．参加脱口秀社团的人数占五个社团总人数的25% C．参加朗诵社团的人数比参加舞蹈社团的多110人 D．从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为0.35 【答案】ABD 【分析】对于A，根据参加合唱社团的人数及所占比例可求出总人数； 对于B，根据参加脱口秀社团的人数除以总人数即可判断； 对于C，求出参加朗诵社团的人数，再求出参加舞蹈社团的比例及人数即可判断； 对于D，根据参加舞蹈的占比及参加脱口秀社团的占比即可判断. 【详解】对于A，，故参加社团的同学的总人数为480，故A正确； 对于B，参加脱口秀社团的有120名， 故参加脱口秀社团的人数占五个社团总人数的，故B正确； 对于C，参加朗诵社团的人数为， 参加舞蹈社团的占比为， 参加舞蹈社团的人数为， 故参加朗诵社团的人数比参加舞蹈社团的多人，故C错误； 对于D，从参加社团的同学中任选一名， 其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为，即0.35，故D正确． 故选:ABD． 17．（22-23高一下·全国）利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数分别为20，100，500时各做5组试验，得到事件“一枚正面朝上，一枚反面朝上”发生的频数和频率情况如下表： 序号 频数 频率 频数 频率 频数 频率 1 12 0.6 56 0.56 261 0.522 2 9 0.45 50 0.5 241 0.482 3 13 0.65 48 0.48 250 0.5 4 7 0.35 55 0.55 258 0.516 5 12 0.6 52 0.52 253 0.506 根据以上信息，下面说法正确的有（    ） A．试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性 B．试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越多越好 C．随机事件发生的频率会随着试验次数的增加而逐渐稳定在一个固定值附近 D．我们要想得到某事件发生的概率，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概率 【答案】ABC 【分析】根据题中统计数表中的数据变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可. 【详解】对于A选项：根据表中数据得到试验次数相同时，频率可能不同，则说明随机事件发生的频率具有随机性，所以A选项正确； 对于B选项：分别对比每个序号重复试验次数分别为20，100，500的频率可得试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，则试验次数越多越好，所以B选项正确； 对于C选项：根据表中数据得到随机事件发生的频率会随着试验次数的增加而逐渐稳定在一个固定值附近，所以C选项正确； 对于D选项：我们要想得到某事件发生的概率，需要进行多次重复试验才能得到概率的估计值，所以D选项错误； 故选：ABC. 18．（2023·广东深圳·二模）光明学校组建了演讲､舞蹈､航模､合唱､机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制成了如下两个不完整的统计图：则（    ）    A．选取的这部分学生的总人数为500人 B．合唱社团的人数占样本总量的 C．选取的学生中参加机器人社团的学生数为78人 D．选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125 【答案】ABD 【分析】根据两个统计图表中的数据，先求出选取的总人数，然后再对选项进行逐一计算判断即可. 【详解】由两个统计图表可得参加演讲的人数为50，占选取的学生的总数的10 所以选取的总人数为人，故选项A正确. 合唱社团的人数为200人，则合唱社团的人数占样本总量的，故选B正确. 则选取的学生中参加机器人社团的人数占样本总量的 所以选取的学生中参加机器人社团的学生数为人，故选项C不正确. 选取的学生中参加合唱社团的人数为200，参加机器人社团人数为75人， 所以选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125，选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题 19．（24-25高一下·全国·随堂练习）在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝上为事件A，则事件A出现的频率为 ． 【答案】/ 【分析】先由题意得反面朝上次数，则反面朝上占掷100次的比值即为所求频率. 【详解】由题意可得反面朝上次数为， 所以设反面朝上为事件A，则事件A出现的频率为. 故答案为：. 20．（24-25高一上·江西抚州）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球 个. 【答案】8 【分析】根据绿球个数除以总个数即可. 【详解】因为通过大量重复的摸球实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，所以摸到绿球的概率为， 设不透明的袋中有个绿球，因为空袋中有9个红个球，3个白球，所以，解得：; 故答案为：8 21．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示． 赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500 车辆数/辆 600 80 110 120 90 若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为 ；在样本车辆中，车主是新司机的占15%，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为 ． 【答案】 0.21/ 0.18/ 【分析】计算出赔付金额大于投保金额的频率，得到估计赔付金额大于投保金额的概率；在求出投保的新司机人数和赔付金额为4500元的样本车辆中，新司机人数，估计出在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率. 【详解】赔付金额大于投保金额的频率为， 估计赔付金额大于投保金额的概率为0.21， 在样本车辆中，车主是新司机的占15%， 故投保的新司机人数为， 在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，即人， 估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为. 故答案为：0.21，0.18 22．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）在一个不透明的纸盒中装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个. 【答案】24 【分析】设袋中红球有个，根据概率的概念列式求解即可. 【详解】设袋中红球有个，根据题意，得，解得：， 经检验：是分式方程的解，所以袋中红球有24个. 故答案为：24 23．（2024高一下·全国·专题练习）一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目为 颗． 【答案】300 【分析】可以利用频率估计总体概率，来估计总体分布. 【详解】设白色围棋子的数目为n，则由已知可得， 解得， 即白色围棋子的数目大约有300颗． 故答案为：300. 24．（2024高一下·全国·专题练习）有以下说法： ①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的； ②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖； ③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为； ④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品． 其中错误说法的序号是 . 【答案】①②③ 【分析】根据概率的概念、概率与频率的关系逐一判断即可. 【详解】①中降水概率为95%，仍有不降水的可能，故①错误； ②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故②错误； ③中正面朝上的频率为，概率仍为，故③错误； ④中次品率为2%，但50件产品中可能没有次品，也可能有1件或2件或3件…50次品，故④正确. 故答案为：①②③ 25．（2024高三·全国·专题练习）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．则当漏诊率时，误诊率 . 【答案】 【分析】先根据左边的频率分布直方图得到，再根据右边的频率分布直方图可得. 【详解】依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以， 所以，解得：， 由右边的频率分布直方图可得. 故答案为： 四、解答题 26．（2024高一·全国·专题练习）某地区有高中生7200人，初中生11800人，小学生12000人．当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，采用分层随机抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，得到高中生、初中生、小学生的近视率分别为80%、70%、36%. (1)如果在各层中按比例分配样本，总样本量为310，那么在高中生、初中生、小学生中分别抽取了多少人？在这种情况下，请估计该地区全体中小学生的近视率（精确到1%）； (2)如果从高中生、初中生、小学生中抽取的样本量分别为60，100和150，那么在这种情况下，抽取的样本的近视率是多少？该地区全体中小学生的近视率约为多少（精确到1%）? 【答案】(1)72；118；120；59% (2)55%；59%. 【分析】（1）利用分层抽样比为，可计算每层抽样的人数：高中生、初中生、小学生中分别抽取了人，人，人．再求样本容量为的学生的近视率为，利用样本估计总体，可以估计该地区全体中小学生的近视率为； （2）如同方法（1）求新样本的近视率约为，求该地区全体中小学生的近视率约为. 【详解】（1）分配比例为，所以在高中生、初中生、小学生中分别抽取了（人），（人），（人）． 总样本量为的学生的近视率为, 在比例分配的分层随机抽样中，我们直接用样本平均数估计总体平均数， 所以可以估计该地区全体中小学生的近视率为. （2）抽取的样本的近视率是, 由于总体中的个体数为， 得该地区全体中小学生的近视率为 即该地区全体中小学生的近视率约为. 27．（2023·湖南岳阳·模拟预测）甲､乙两人准备参加某电视台举办的地理知识抢答赛.比赛规则为：每轮比赛每人随机在题库中抽取一道题作答，答对得1分，答错或不答得0分，最后得分多的获胜.为了在比赛中取得比较好的成绩，甲､乙两人在比赛前进行了针对性训练，训练后的答题情况如下表： 甲 乙 练习题目个数 120 120 答错个数 24 20 若比赛中每个人回答正确与否相互之间没有影响，且用频率代替概率. (1)估计甲､乙两人在比赛时答对题的概率； (2)设事件“某轮比赛中甲得1分或乙得1分”，求. 【答案】(1)甲､乙两人在比赛时答对题的概率分别为 (2) 【分析】（1）根据题中条件计算出频率，用频率代替概率即可； （2）根据互斥事件的概率加法公式进行计算即可. 【详解】（1）由题意，可以估计甲在比赛时答对题的概率为： ， 乙在比赛时答对题的概率为： . （2）设事件“某轮比赛中甲得1分”，事件“某轮比赛中乙得1分”， 则事件， 所以. （或）. 28．（23-24高一下·全国）为了解一个鱼塘中养殖的鱼的生长情况，从这个鱼塘中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：kg），并将所得数据分组（每组包含左端值，不包含右端值），画出频率分布直方图，如图所示． (1)根据直方图作频率分布表； (2)估计数据落在中的概率为多少； (3)将上面捕捞的100条鱼分别做一记号后再放回鱼塘，几天后再从鱼塘的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该鱼塘中鱼的总条数． 【答案】(1)答案见解析 (2)0.47 (3)2000 【分析】（1）根据小矩形面积为各组频率求出频率列表即可； （2）数据落在中的概率即为之间矩形面积之和； （3）根据分层抽样的比例关系即可得到答案. 【详解】（1）根据频率分布直方图可知，频率=组距（频率/组距），故可得下表 分组 频率 0.05 0.20 0.28 0.30 0.15 0.02 （2），所以数据落在中的概率约为0.47. （3）设水库中鱼的总条数约为条，则， 即，所以水库中鱼的总条数约为2000条. 29．（22-23高一·全国·随堂练习）同时抛掷两枚均匀的骰子，观察并记录两枚骰子掷出的点数之和． (1)两枚骰子掷出的点数之和有多少种可能？ (2)重复抛掷两枚骰子次，根据试验结果，分别估计“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率； (3)汇总全班同学的数据，得到至少次试验结果，用上述结果对上述概率重新进行估计； (4)为了对上述事件的概率给出比较好的估计，你需要怎么做？ (5)你认为“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率相等吗？ 【答案】(1)有，，，，，，，，，，共种可能 (2)分别约为，， (3)分别约为，，，且比第（2）问结果更加接近，， (4)可增加重复试验的次数 (5)不相等 【分析】动手试验，观察、记录数据，根据题意进行计算，由频率估计出相应概率，依次解答即可. 【详解】（1）同时抛掷两枚均匀的骰子，经过观察、记录，两枚骰子掷出的点数之和有，，，，，，，，，，，共有种可能. 实际上，由古典概型知识，抛掷两枚均匀的骰子，用有序数对将可能出现的点数表示为： ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共种可能， 并可由此求得两枚骰子掷出的点数之和有，，，，，，，，，，，共有种可能. （2）重复抛掷两枚骰子次，分别观察、记录， 记“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的频数分别为，，，（不同同学得到的结果可能会不一样）. 由此可以分别求出“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的频率分别为（），（），（），（不同同学得到的结果可能会不一样）. 由频率估计概率，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率分别约为（），（），（），（不同同学得到的结果可能会不一样）. 实际上，由古典概型知识可以求得， “掷出的点数之和为”有，，共种可能，概率为，故， “掷出的点数之和为”有，，，，，共种可能，概率为，故， “掷出的点数之和为”有，，共种可能，概率为，故. （3）汇总全班同学的数据，对“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”进行估计，所得结果会更加接近，，（随着重复试验次数的增加，频率逐渐稳定于概率）. （4）为了对上述事件的概率给出比较好的估计，可以增加重复试验的次数，也可以采用计算机模拟试验的方法实现. （5）由试验结果可知，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率不相等. 实际上，可以由第（2）问中古典概型计算结果进行确认. 30．（22-23高一下·河北唐山·期末）近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度.其计算公式是：，成年人的BMI数值标准是：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖.某公司随机抽取了100个员工的体检数据，将其BMI值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图.    (1)求的值，并估计该公司员工BMI的样本数据的众数与中位数（精确到0.1）； (2)该公司共有1200名员工，用频率估计概率，估计该公司员工BMI数值正常的人数. 【答案】(1)a=0.08，众数为；中位数为 (2) 【分析】（1）根据频率之和为1可求得，从而可求得该公司员工的样本数据的众数为22 ；设设该公司员工的样本数据的中位数为， 则，求解即可； （2）根据题意可求得该公司员工数值正常的概率为，进而可求解. 【详解】（1）根据频率分布直方图可知组距为4， 所以，解得. 该公司员工的样本数据的众数为22 . 设该公司员工的样本数据的中位数为， 则，解得. 故该公司员工的样本数据的中位数约为. （2）因为成年人的数值为正常， 所以该公司员工数值正常的概率为 ， 所以该公司员工数值正常的人数为. 31．（22-23高一下·浙江金华·期末）树人中学名师生参加了对学校教学管理满意度的评分调查，按样本量比例分配的分层随机抽样方法，抽取个师生的评分（满分分），绘制如图所示的频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级： 满意度评分 低于分 分到分 分到分 分及以上 满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意    (1)求图中的值； (2)若师生的满意指数不低于，则该校可获评“教学管理先进单位”，根据你所学的统计知识，判断该校是否能获奖，并说明理由.（注：满意指数） (3)假设在样本中，学生、教师的人数分别为、.记所有学生的评分为、、、，其平均数为，方差为，所有教师的评分为、、、，其平均数为，方差为，总样本评分的平均数为，方差为，若，，试估计该校等级为满意的学生的最少人数. 【答案】(1) (2)该校可获评“教学管理先进单位”，理由见解析 (3)人 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可求得的值； （2）计算师生的满意指数，结合题意判断可得出结论； （3）利用平均数公式可得出，利用方差公式结合已知条件可得出，令，可得出，由结合已知条件可求得的取值范围，可出的最小值，进而可求得该校等级为满意的学生的最少人数. 【详解】（1）解：由频率和为得，解得. （2）解：由题意可得，师生的满意指数为 ， 该校可获评“教学管理先进单位”. （3）解：由可得，， 所以， ， 所以，即， 令，则，， 即，解得或， 因为且，得，所以，. 估计该校等级为满意的学生人数最少为人. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.3 频率与概率 【考点梳理】 · 考点一：频率与概率的关系 · 考点二、计算频率 · 考点三：用频数计算概率问题 · 考点四：用随机模拟估计概率 · 考点五：生活中概率的解析 · 考点六：概率思想的实际应用 【知识梳理】 知识点01：频率的稳定性 在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 知识点02：　随机模拟 用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法. 【题型归纳】 题型一：频率与概率的关系 1．（23-24高一下·广西河池·期末）下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性 C．随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率 D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 2．（22-23高一下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（    ） ①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度； ②每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数； ③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1； ④概率就是频率． A．0 B．1 C．2 D．3 3．（22-23高一下·新疆喀什·期末）给出下列四个命题： ①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品； ②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率； ④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是. 其中正确命题有（　　） A．① B．② C．③ D．④ 题型二、计算频率 4．（22-23高一·全国）已知一个容量为20的样本，其数据具体如下： 10    8    6    10    13    8    10    12    11    7 8    9    11     9    12    9    10    11    12    11 那么频率为0.4的范围是（    ） A．5.5~7.5 B．7.5~9.5 C．9.5~11.5 D．11.5~13.5 5．（22-23高一下·湖南湘西·期末）“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有15人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有 人. 6．（23-24高一上·全国）投掷硬币的结果如下表： 投掷硬币的次数 200 500 c 正面向上的次数 102 b 404 正面向上的频率 a 0.482 0.505 则 ， ， ． 据此可估计若掷硬币一次，正面向上的概率为 ． 题型三：用频数计算概率问题 7．（23-24高一下·山东枣庄·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（    ） A．2% B．3% C．6% D．8% 8．（2024高一下·全国·专题练习）众所周知，长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为（    ） A． B． C． D． 9．（21-22高一下·湖南岳阳·期末）天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数180，792，454，417，165，809，798，386，196，206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 题型四：用随机模拟估计概率 10．（23-24高一下·广东潮州·期末）已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412  451  312  533  224  344  151  254  424  142 435  414  335  132  123  233  314  232  353  442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（    ） A．0.4 B．0.45 C．0.55 D．0.6 11．（21-22高一·全国·课后作业）手机支付已经成为人们常用的付费方式．某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下： 顾客年龄岁 20岁以下 70岁及以上 手机支付人数 3 12 14 9 13 2 0 其他支付方式人数 0 0 2 11 31 12 1 从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在且未使用手机支付的概率为（   ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）规定：投掷飞镖次为一轮，若次中至少两次投中环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中环以上的概率为．现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生到之间的随机整数，用、表示该次投掷未有环以上，用、、、、、、、表示该次投掷在环以上，经随机模拟试验产生了如下组随机数： 据此估计，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为（    ） A． B． C． D． 题型五：生活中概率的解析 13．（22-23高一下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（    ） A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率 B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖 C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水 14．（23-24高一下·青海海南·期末）某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 15．（20-21高一·全国）气象站在发布天气预报时说“明天本地区降雨的概率为90%”，你认为下列解释正确的是（    ） A．本地区有90%的地方下雨 B．本地区有90%的时间下雨 C．明天出行不带雨具，一定被雨淋 D．明天出行不带雨具，有90%的可能被雨淋 题型六：概率思想的实际应用 16．（23-24高一下·福建厦门·期末）甲每次投篮投进的概率是0.7，连续投篮三次，每次投篮结果互不影响，记事件A为“甲至少投进两球 (1)用表示甲第次的投篮结果，则表示试验的样本点.用1表示“投进”，0表示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由； (2)用计算机产生之间的整数随机数，当出现随机数时，表示“投进”，出现7，8，9时表示“未投进”，以每3个随机数为一纽，代表甲三次投篮结果，产生20组随机数： 利用该模拟试验，估计事件A的概率，并判断事件A的概率的精确值与估计值是否存在差异，并说明理由 17．（23-24高一下·云南楚雄·期末）某大型商超每天以每公斤1元的价格从蔬菜批发行购进若干公斤青菜，然后以每公斤2元的价格出售．如果当天卖不完，那么剩下的青菜当作福利分给有需要的员工 (1)若该商超一天购进800公斤青菜，求当天出售青菜的利润y（单位：元）关于当天青菜需求量x（单位：公斤）的函数解析式 (2)该商超记录了100天青菜的日需求量（单位：公斤），整理得到下表． 日需求量x 770 780 790 800 820 830 频数 5 10 20 35 20 10 （ⅰ）假设该大型商超在这100天内每天购进800公斤青菜，求这100天出售青菜的日利润（单位：元）的平均数； （ⅱ）若该大型商超一天购进800公斤青菜，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于780元的概率． 18．（2023·全国·模拟预测）鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智力玩具，相传由春秋末期到战国初期的鲁班发明，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧，易拆难装，十分巧妙，每根木条上的花纹是卖点，也是手工制作的关键．某玩具公司开发了甲、乙两款鲁班锁玩具，各生产了100件样品，样品分为一等品、二等品、三等品，根据销售部市场调研分析，得到相关数据如下（单件成本利润率＝利润÷成本）： 甲款鲁班锁玩具 一等品 二等品 三等品 单件成本利润率 10% 8% 4% 频数 10 60 30 乙款鲁班锁玩具 一等品 二等品 三等品 单件成本利润率 7.5% 5.5% 3% 频数 50 30 20 (1)用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，求该产品是一等品的概率； (2)若甲、乙两款鲁班锁玩具的投资成本均为20000元，且每件的投资成本是相同的，分别求投资这两款鲁班锁玩具所获得的利润． 【双基达标】 一、单选题 1（24-25高二上·四川成都）下列说法一定正确的是（   ） A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况 B．随机事件发生的概率与试验次数无关 C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元 D．一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2 2．（23-24高一下·山西长治·期末）下列说法正确的是（    ） A．甲、乙二人进行羽毛球比赛，甲胜的概率为，则比赛4场，甲一定胜3场 B．概率是随机的，在试验前不能确定 C．事件，满足，则 D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90% 3．（23-24高一下·浙江温州·期末）气象台预报“本市明天中心城区的降雨概率为30%，郊区的降雨概率为70%.”基于这些信息，关于明天降雨情况的描述最为准确的是（    ） A．整个城市明天的平均降雨概率为50% B．明天如果住在郊区不带伞出门将很可能淋雨 C．只有郊区可能出现降雨，而中心城区将不会有降雨 D．如果明天降雨，郊区的降雨量一定比中心城区多 4．（23-24高一下·河南许昌·期末）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（    ） A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 5．（2024·四川绵阳·模拟预测）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（    ）    A．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天 B．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3 C．估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时 D．估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时 6．（23-24高二上·湖北荆州·期末）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生之间的随机数： 425 123 423 344 144 435 525 332 152 342 534 443 512 541 135 432 334 151 312 354 若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116  785  812  730  134  452  125  689  024  169 334  217  109  361  908  284  044  147  318  027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一下·福建·期末）某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行了调查，调查中问了两个问题1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计了一个随机化装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到红球和白球的可能性相同，其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区80名业主参加了问卷，且有48名业主回答了“是”，由此估计本小区对物业满意服务的百分比大约为（    ） A．10% B．20% C．35% D．70% 9．（22-23高一下·广东东莞·期末）对敏感性问题调查的关键是要设法消除被调查者的顾虑，使他们能如实回答问题．为调查学生是否有在校使用手机的情况时，某校设计如下调查方案：调查者在没有旁人的情况下，独自从一个箱子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题：抽到红球，则回答问题，且箱子中只有白球和红球． 问题：你的生日的月份是否为偶数?（假设生日的月份为偶数的概率为） 问题：你是否有在校使用手机? 已知该校在一次实际调查中，箱子中放有白球个，红球个，调查结束后共收到张有效答卷，其中有张回答“是”，如果以频率估计概率，估计该校学生有在校使用手机的概率是（精确到）（    ） A． B． C． D． 10．（2023·甘肃定西·模拟预测）某年级组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该年级共有600名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加合唱社团的同学有75名，参加脱口秀社团的有125名，则该年级（    ）    A．参加社团的同学的总人数为600 B．参加舞蹈社团的人数占五个社团总人数的15% C．参加朗诵社团的人数比参加太极拳社团的多120人 D．从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为0.35 11．（2023·天津·一模）某滑冰馆统计了某小区居民在该滑冰馆一个月的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（    ） A．该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间内的最少 B．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.465 C．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16 D．估计小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值为15 12．（21-22高一下·吉林长春·期中）袋子中装有大小相同2个红球，4个蓝球，搅拌均匀后从中随机摸出3个球，现在用数字0，1表示红球，数字2，3，4，5表示蓝球，通过计算器随机模拟10次该试验，得到如下数据：024 234 213 012 034 125 035 345 134 304三个数为一组，代表摸到三个球的结果，以此估计，摸到三个球都是蓝球的概率为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 二、多选题 13．（24-25高二上·山东）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（   ） A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品 B．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确. C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 14．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 B．抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是 C．有一批产品，其次品率为0.05，若从中任取200件产品，则一定有190件正品，10件次品 D．抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次出现了正面，则可得抛掷一次该硬币出现正面的概率是0.51 15．（2024·全国·模拟预测）某校高三年级有（1），（2），（3）三个班，一次期末考试，统计得到每班学生的数学成绩的优秀率（数学成绩在120分以上的学生人数与该班学生总人数之比）如表所示： 班级 （1） （2） （3） 优秀率 80% 85% 75% 则下列说法一定正确的是（    ） A．（2）班学生的数学成绩的优秀率最高 B．（3）班的学生人数不一定最少 C．该年级全体学生数学成绩的优秀率为80% D．若把（1）班和（2）班的数学成绩放在一起统计，得到优秀率为83%，则（1）班人数多于（2）班人数 16．（22-23高一下·河北衡水·期末）某年级组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该年级每名同学依据自己的兴趣爱好只参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加合唱社团的同学有72名，参加脱口秀社团的有120名，则该年级（    ）    A．参加社团的同学的总人数为480 B．参加脱口秀社团的人数占五个社团总人数的25% C．参加朗诵社团的人数比参加舞蹈社团的多110人 D．从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为0.35 17．（22-23高一下·全国）利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数分别为20，100，500时各做5组试验，得到事件“一枚正面朝上，一枚反面朝上”发生的频数和频率情况如下表： 序号 频数 频率 频数 频率 频数 频率 1 12 0.6 56 0.56 261 0.522 2 9 0.45 50 0.5 241 0.482 3 13 0.65 48 0.48 250 0.5 4 7 0.35 55 0.55 258 0.516 5 12 0.6 52 0.52 253 0.506 根据以上信息，下面说法正确的有（    ） A．试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性 B．试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越多越好 C．随机事件发生的频率会随着试验次数的增加而逐渐稳定在一个固定值附近 D．我们要想得到某事件发生的概率，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概率 18．（2023·广东深圳·二模）光明学校组建了演讲､舞蹈､航模､合唱､机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制成了如下两个不完整的统计图：则（    ）    A．选取的这部分学生的总人数为500人 B．合唱社团的人数占样本总量的 C．选取的学生中参加机器人社团的学生数为78人 D．选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125 三、填空题 19．（24-25高一下·全国·随堂练习）在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝上为事件A，则事件A出现的频率为 ． 20．（24-25高一上·江西抚州）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球 个. 21．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示． 赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500 车辆数/辆 600 80 110 120 90 若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为 ；在样本车辆中，车主是新司机的占15%，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为 ． 22．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）在一个不透明的纸盒中装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个. 23．（2024高一下·全国·专题练习）一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目为 颗． 24．（2024高一下·全国·专题练习）有以下说法： ①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的； ②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖； ③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为； ④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品． 其中错误说法的序号是 . 25．（2024高三·全国·专题练习）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．则当漏诊率时，误诊率 . 四、解答题 26．（2024高一·全国·专题练习）某地区有高中生7200人，初中生11800人，小学生12000人．当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，采用分层随机抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，得到高中生、初中生、小学生的近视率分别为80%、70%、36%. (1)如果在各层中按比例分配样本，总样本量为310，那么在高中生、初中生、小学生中分别抽取了多少人？在这种情况下，请估计该地区全体中小学生的近视率（精确到1%）； (2)如果从高中生、初中生、小学生中抽取的样本量分别为60，100和150，那么在这种情况下，抽取的样本的近视率是多少？该地区全体中小学生的近视率约为多少（精确到1%）? 27．（2023·湖南岳阳·模拟预测）甲､乙两人准备参加某电视台举办的地理知识抢答赛.比赛规则为：每轮比赛每人随机在题库中抽取一道题作答，答对得1分，答错或不答得0分，最后得分多的获胜.为了在比赛中取得比较好的成绩，甲､乙两人在比赛前进行了针对性训练，训练后的答题情况如下表： 甲 乙 练习题目个数 120 120 答错个数 24 20 若比赛中每个人回答正确与否相互之间没有影响，且用频率代替概率. (1)估计甲､乙两人在比赛时答对题的概率； (2)设事件“某轮比赛中甲得1分或乙得1分”，求. 28．（23-24高一下·全国）为了解一个鱼塘中养殖的鱼的生长情况，从这个鱼塘中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：kg），并将所得数据分组（每组包含左端值，不包含右端值），画出频率分布直方图，如图所示． (1)根据直方图作频率分布表； (2)估计数据落在中的概率为多少； (3)将上面捕捞的100条鱼分别做一记号后再放回鱼塘，几天后再从鱼塘的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该鱼塘中鱼的总条数． 29．（22-23高一·全国·随堂练习）同时抛掷两枚均匀的骰子，观察并记录两枚骰子掷出的点数之和． (1)两枚骰子掷出的点数之和有多少种可能？ (2)重复抛掷两枚骰子次，根据试验结果，分别估计“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率； (3)汇总全班同学的数据，得到至少次试验结果，用上述结果对上述概率重新进行估计； (4)为了对上述事件的概率给出比较好的估计，你需要怎么做？ (5)你认为“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率相等吗？ 30．（22-23高一下·河北唐山·期末）近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度.其计算公式是：，成年人的BMI数值标准是：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖.某公司随机抽取了100个员工的体检数据，将其BMI值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图.    (1)求的值，并估计该公司员工BMI的样本数据的众数与中位数（精确到0.1）； (2)该公司共有1200名员工，用频率估计概率，估计该公司员工BMI数值正常的人数. 31．（22-23高一下·浙江金华·期末）树人中学名师生参加了对学校教学管理满意度的评分调查，按样本量比例分配的分层随机抽样方法，抽取个师生的评分（满分分），绘制如图所示的频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级： 满意度评分 低于分 分到分 分到分 分及以上 满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意    (1)求图中的值； (2)若师生的满意指数不低于，则该校可获评“教学管理先进单位”，根据你所学的统计知识，判断该校是否能获奖，并说明理由.（注：满意指数） (3)假设在样本中，学生、教师的人数分别为、.记所有学生的评分为、、、，其平均数为，方差为，所有教师的评分为、、、，其平均数为，方差为，总样本评分的平均数为，方差为，若，，试估计该校等级为满意的学生的最少人数. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$