精品解析：安徽省合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题

合肥市普通高中六校联盟2024—2025学年第二学期期中联 考高一数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题学校：合肥十中 命题教师：许庆东 审题教师：浦健 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】通过共轭复数的概念得到共轭复数，进而可求解. 【详解】因为，即对应的点， 在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C. 2. 设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的值为（ ） A. 13 B. C. 19 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理代入求解即可. 【详解】由余弦定理得， 故. 故选：B 4. 若向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由投影向量的计算公式求解即可. 【详解】因为向量，， 所以量，，， 则在向量上的投影向量为为. 故选：D. 5. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算法则，分别求得，，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】因为向量满足，，， 可得，， 所以. 故选：D. 6. 相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度，一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点处测得该楼顶端的仰角为，则该楼的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中由正弦定理求出，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】在中，由正弦定理， 得， 在中，. 故选：A. 7. 某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形（如图所示），将该平面图形绕其直角腰边旋转一周得到一个圆台，已知，，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直观图的画图原则画出原图图形，则可得出直角梯形的边长，再利用圆台的体积公式计算即可. 【详解】作出其平面图形，则在平面图形中，，， 则圆台的上底面半径，下底面半径，高， 则上底面面积，下底面面积， 由圆台的体积公式. 故选：C. 8. 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得 当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值. 当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量的共线的坐标表示，结合平面基底的判定方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，由向量，可得，所以，所以A错误； 对于B中，由向量，可得，所以与不平行，所以B正确； 对于C中，由向量，可得，所以与不平行，所以C正确； 对于D中，由向量， 可得，所以与不平行，所以D正确. 故选：BCD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. 若，是复数，则 C. 若，是复数，，则 D. 复平面内满足条件的复数所对应的点的集合是以点为圆心，2为半径的圆面 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的概念，可判定A错误；设复数，根据复数的运算法则，求得和，可得判定B正确；由，得到，由，可得判定C错误；根据复数模的几何意义，可判定D正确. 【详解】对于A中，根据复数的概念，可得复数的虚部为，所以A错误； 对于B中，设复数， 可得 因为，所以，所以B正确； 对于C中，设复数， 可得，， 则，， 若，则， 又由，不能推出，所以C错误； 对于D中，复平面内满足条件的复数对应的点的集合是以点为圆心，2为半径的圆面，所以D正确. 故选：BD. 11. 下列命题错误的是（ ） A. 用平面去截一个棱锥，则截面与底面之间的部分为棱台 B. 若向量，的夹角为钝角，则 C. 若，且有两解，则的取值范围是 D. 设点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为1：3 【答案】AB 【解析】 【分析】由棱台的概念可判断A，由向量夹角与数量积的关系可判断B，由正弦定理可判断C，设设，，得到为的重心，进而可判断D. 【详解】A.用平行于棱锥底面得平面去截一个棱锥，则截面与底面之间的部分为棱台，故A错误； B.若向量，的夹角为钝角，则，且，解得且，故B错误； C.若，，且有两解，则，即的取值范围是，故C正确. D.设，， 由得， 则为的重心， 设的面积， ∴， 又∵，， ∴，，， ∴， ∴，，故D正确. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知长方体的长、宽、高分别为3,4,5，则该长方体的外接球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分析可得，长方体的体对角线即为外接球直径，代入数据即可求解． 【详解】长方体的体对角线即为外接球直径，，所以外接球的表面积为． 【点睛】本题考查长方体的外接球问题，重点在于掌握长方体的体对角线即为外接球直径，属基础题． 13. 已知正方形的边长为1，点满足，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】建立坐标系，求出点的坐标，利用模长公式可得答案. 【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点，，，，， 则，，因此，. 故答案为： 14. 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理 设， 则在中，， 在中，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以当取最小值时，. 故答案为：. [方法二]：建系法 令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系. 则C（2t,0），A（1，），B（-t,0） [方法三]：余弦定理 设BD=x,CD=2x.由余弦定理得 ，， ，， 令，则， ， ， 当且仅当，即时等号成立. [方法四]：判别式法 设，则 在中，， 在中，， 所以，记， 则 由方程有解得： 即，解得： 所以，此时 所以当取最小值时，，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，， （1）若，求实数； （2）若，求实数. 【答案】（1） （2）或3 【解析】 【分析】（1）由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可； （2）由向量垂直的坐标表示，列出等式求解即可. 【小问1详解】 ， 由，得， 解得； 【小问2详解】 ， 由，得， 解得或3. 16. 已知复数，（，是虚数单位）. （1）若是纯虚数，求； （2）若是实系数一元二次方程的根，求实数和的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先利用复数的除法运算化简，求出，进而可得； （2）把根代入方程，利用复数相等可求答案. 【小问1详解】 ， ∵是纯虚数，∴，且， 解得，； 【小问2详解】 依题意，，， 即且， 即或. 17. 如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面边长为2，高为3.圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处. （1）求该几何体的体积； （2）求该几何体的表面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由棱柱、圆锥的体积公式即可求解； （2）由棱柱、圆锥的表面积公式即可求解. 【小问1详解】 正三棱柱的底面积为. ∴正三棱柱的体积为. 设正三角形的内切圆半径为， ∴，∴， ∴圆锥的体积为，该几何体的体积为. 【小问2详解】 ∵正三棱柱的表面积为， 倒圆锥的底面圆面积为， 倒圆锥的母线长为. 倒圆锥的侧面积为. ∴该几何体的表面积为. 18. 已知平行四边形中，，，，点为线段的中点. （1）设，，用，表示； （2）求； （3）点在线段上，，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用向量加法的三角形法则和向量数乘即可得到答案； （2）利用向量数量积公式即可计算； （3）设，.根据求出即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ， ， . . 【小问3详解】 设，， ， ， 解得，所以. 19. 记的内角，，的对边分别为，，，. （1）求； （2）点在边上. （ⅰ）若为中线且长为，，求的面积； （ⅱ）若平分，且，求面积的最小值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式，化简已知等式，可得，结合同角的三角函数关系，即可求得答案； （2）（ⅰ）由，平方进而可求解； （ⅱ）利用面积相等，即，推出，利用基本不等式结合三角形面积公式，即可求得答案. 【小问1详解】 由正弦定理得，， ， ， ， 又，得， 又，故. 【小问2详解】 （ⅰ）， ， 解得. . （ⅱ）， ，得， 又，即，，当且仅当，等号成立. . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥市普通高中六校联盟2024—2025学年第二学期期中联 考高一数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题学校：合肥十中 命题教师：许庆东 审题教师：浦健 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的值为（ ） A. 13 B. C. 19 D. 4. 若向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度，一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点处测得该楼顶端的仰角为，则该楼的高度为（ ） A. B. C. D. 7. 某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形（如图所示），将该平面图形绕其直角腰边旋转一周得到一个圆台，已知，，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 下列命题正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. 若，是复数，则 C. 若，是复数，，则 D. 复平面内满足条件的复数所对应的点的集合是以点为圆心，2为半径的圆面 11. 下列命题错误的是（ ） A. 用平面去截一个棱锥，则截面与底面之间的部分为棱台 B. 若向量，的夹角为钝角，则 C. 若，且有两解，则的取值范围是 D. 设点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为1：3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知长方体的长、宽、高分别为3,4,5，则该长方体的外接球的表面积为__________． 13. 已知正方形的边长为1，点满足，则______. 14. 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，， （1）若，求实数； （2）若，求实数. 16. 已知复数，（，是虚数单位）. （1）若是纯虚数，求； （2）若是实系数一元二次方程的根，求实数和的值. 17. 如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面边长为2，高为3.圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处. （1）求该几何体的体积； （2）求该几何体的表面积. 18. 已知平行四边形中，，，，点为线段的中点. （1）设，，用，表示； （2）求； （3）点在线段上，，求的值. 19. 记的内角，，的对边分别为，，，. （1）求； （2）点在边上. （ⅰ）若为中线且长为，，求的面积； （ⅱ）若平分，且，求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $