2025年九年级数学中考复习四边形中的线段最值问题解答题专题提升训练

2025年九年级数学中考复习四边形中的线段最值问题解答题专题提升训练

1．如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、．

(1)当，时，

①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系：______；

②若，求此时的长；

(2)当，求的最小值．

2．如图1，在平行四边形中，，点在线段上，点在线段上，连接，且．

（1）连接，若，求线段的长．

（2）将绕点沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接交边于点，延长交于，且为的中点，求证：

（3）如图3，将绕点沿逆时针方向旋转，连接为的中点，连接，若，在旋转的过程中，当线段的长最大时，请直接写出的值．

3．在菱形中，，，E是对角线上一点，F是线段延长线上一点，且，连接、．

（1）如图1，若E是线段的中点，求的长；

（2）如图2，若E是线段延长线上的任意一点，求证：．

（3）如图3，若E是线段延长线上的一点，，将菱形绕着点B顺时针旋转，请直接写出在旋转过程中的最大值．

4．如图，在正方形中，边、分别在轴、轴上，点的坐标为，点在线段上，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，交轴于点．

（1）当时，则点坐标为______；

（2）连接，当点在线段上运动时，的周长是否改变，若改变，请说明理由；若不变，求出其周长；

（3）连接，当点在线段上运动时，求的最小值．

5．（1）如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，证明：AP＝MN；

（2）如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN；

（3）若正方形ABCD的边长为2，求线段EF的最大值与最小值．

6．已知菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点E、F分别在边AD、AB上，将△AEF沿EF折叠，使得点A的对应点A’恰好落在边CD上．

（1）延长CB、A′F交于点H，求证：；

（2）若A′点为CD的中点，求EF的长；

（3）AA′交EF于点G，再将四边形纸片BCA′F折叠，使C点的对应点C′恰好落在A′F上，折痕MN分别交边CD、BC于点M、N，连接C′G，则C′G的最小值为______．

7．如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，.