2025年中考数学总复习全等三角形模型的应用

2025年中考数学总复习

 全等三角形模型的应用

 

 

1．如图，在正方形中，，点为正方形的对角线上一动点．

(1)如图①，过点作交边于点．当点在边上时，求证：；

(2)如图②，在（1）的条件下，过点作，垂足为点，在点的运动过程中，的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．

(3)如图③，若点是射线上的一个动点，连接，，且始终满足，设，求的最小值．

2．综合与实践

【问题呈现】

（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：．

【类比探究】

（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则

【拓展提升】

（3）如图3，，，连接，，若．

①求的值；

②延长交于点，则 ．

3．如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．

(1)求证：；

(2)求的度数；

(3)如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点

M，连接．试判断线段之间的数量关系，并说明理由．

4．在正方形中，点，，分别是，边上一动点（不与A，B，D点重合），连接，的延长线交的延长线于点．

(1)如图1．当时，若，求的长；

(2)如图2，过点A作于点G，连接，有，求证：．

(3)如图3，，将沿直线折叠，得到．过点做交于点，连接并延长交线段于点，连接，当最大时，直接写出的值．

5．如图，点C在线段上，，．

(1)如图1，求证：；

(2)如图2，连接，点为中点．连，，分别交，于．，猜想与关系，并加以证明；

(3)如图3，在（2）的条件下，连接；求证：．

6．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．

     

原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，

证明：．

(1)思路梳理

∵，∴把绕点A逆时针旋转至，使与重合．

∵，∴，点F、D、G共线，

证明得．

请按此思路证明原题中．

(2)类比引申

如图2，在四边形中，，，点E、F分别在边上，．若都不是直角，则当与满足怎样的关系时，仍有，请说明理由．

7．问题提出

（1）如图1，四边形是正方形，______；

问题探究：

（2）如图2，四边形是正方形，点分别在的延长线上，，若，，求正方形的边长；

问题解决：

（3）如图3是某生态保护区示意图，和是两条互相垂直的河流，交点为．现计划修建科研基地和四个建在河边的监测站，按照技术要求，点分别在线段上，．并且规划把区域建设成为观光旅游区，区域建设为生态科普基地．若规划的观光旅游区的面积为9平方千米，那么生态科普基地的面积是否存在最大值？若存在请求出最大值，若不存在，请说明理由．

8．【问题发现】

（1）如图，和均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，容易发现：线段，之间的数量关系为______；的度数为______．

【类比探究】

（2）如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，连接．试探究线段，，之间的数量关系及的度数，并说明理由．

【问题解决】

（3）如图，，，，，请直接写出的值．

9．如图，等边的边长为2，过点作直线，点在直线上，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．

(1)如图1，当点在边上时，求的长．

(2)将线段沿着射线方向平移，使点与点重合，点的对应点为点，得到线段，连接，．

①如图2，当是等边三角形时，求证：四边形是菱形；