2025年中考数学二轮有关二次函数的应用存在性问题专题训练

2025年中考数学二轮有关

二次函数的应用存在性问题专题训练

 

 

1．无规矩不成方圆．所有参与交通出行的行人或者驾驶人，都必须遵守国家制定的交通规则．现规定所有电动车、三轮车等，均需要“一盔一带”方能上路，所以头盔作为电动车是必不可少的．某店铺引进一批进价为元/个的头盔，如果以单价元出售，那么一个月内售出个，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨元，月销售量将相应减少个，设每个头盔涨价了元，每天的销售利润为元．

(1)求与的函数关系式，并计算每个头盔涨价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润为多少元？

(2)若月销售利润恰好为元，且尽量减少库存，求每个头盔的售价．

2．如图，某校兴趣小组想在校庆时为学校设计两个外轮廓近似为抛物线的拱门，设计方案如图所示，其中A，B，C三点在同一直线上，抛物线经过A，B两点，抛物线经过B，C两点，他们计划在抛物线与地面围成的区域中隔出一个大正方形，使得G，F在抛物线上，D，E在地面上，用于师生通道，其余地方鲜花装点．在抛物线与地面围成的区域中隔出矩形区域，P，Q在抛物线上，M，N在地面上，使得，，对矩形区域进行设计用于师生拍照留念．以所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线的表达式为．

(1)求的长；

(2)若抛物线与抛物线形状相同，请求出抛物线的表达式．

3．如图，在中，，，，点是线段上一点，且满足，动点，同时出发，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿折线方向运动，动点以每秒个单位长度的速度从点出发沿折线方向运动，当点运动到点时，速度变为每秒1个单位长度继续运动，点的速度保持不变．当，有一点运动到点A时，都停止运动．设运动时间为秒，的面积为．

(1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；

(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；

(3)函数与的图象有且只有两个交点，请直接写出的取值范围．

4．某城市计划在滨河步道上方搭建一座抛物线型观景台．根据以下素材探索完成任务．

【素材1】如图，步道的宽为，观景台拱顶最高处距离地面为．

【素材2】如图，为保障结构稳定性，需在桥拱下方安置两个支撑柱进行支撑，为了美观，要求两个支撑柱关于桥拱对称轴对称．支撑柱．

【素材3】如图，在两个支撑柱上搭一个限高横杆，为提升景观效果，现要在横杆上方设置一个矩形宣传牌，要求宣传牌满足以下条件：①宣传牌在观景台内部，且一边落在上；②矩形长、宽均为整数；③宣传牌关于观景台的对称轴对称；④矩形面积为．

(1)以步道的中点为原点，求出抛物线的解析式；

(2)求两个支撑柱之间的距离（不考虑柱体厚度）；

(3)设计宣传牌方案：给出符合要求的宣传牌尺寸，并说明理由．

5．【发现问题】

投掷实心球是某市中考体育考试项目之一，李明发现实心球从出手到落地的过程中，

实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．

【提出问题】

实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？

【分析问题】

李明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）的数据如表：

水平距离	0	2	4	5	6	8	9
竖直高度	2					2

根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，李明发现其图象是二次函数的一部分．

【解决问题】

(1)在李明投掷过程中，出手时实心球竖直高度是________m，实心球在空中的最大高度是________m；

(2)求满足条件的二次函数的解析式；

(3)根据该市中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于

时，即可得满分10分，李明在此次考试中能否得到满分，请说明理由．

6．如图，正方形的边长为1，点是边上的动点，从点沿向点运动，以为边，在的上方作正方形，连接．请探究：

(1)线段与是否相等？请说明理由．

(2)若，请给出证明；若设，，则当取何值时，最大？

(3)连接，当点运动到的何位置时，？请直接写出结论．

7．“菜篮子工程”是政府高度重视的民生工程，为了给人民群众提供丰富的蔬菜水果资源，各地都在发展大棚种植，如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．王大伯的菜地上有一个长为米的大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体处，另一端固定在离地面高2米的墙体处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足，现测得，两墙体之间的水平距离为6米．

(1)求大棚的最高处到地面的距离；

(2)王大伯想在大棚内种植葡萄，需搭建高为2米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？

8．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，该商场销售这种服装获得利润为元．

(1)求与之间的函数关系式；

(2)销售单价定为多少时，商场可获得最大利润？最大利润是多少元？

9．高尔夫球运动是一项具有特殊魅力的运动．如图，是小美在某高尔夫俱乐部中的一次击球．已知：小美击球点O到坡脚A的距离米，，洞口C距离坡脚A的距离米，小美从O点打出一球向球洞C点飞去，球的路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度8米时，球移动的水平距离为20米．

(1)如图1，建立直角坐标系，求抛物线解析式；