2025年中考数学难点突破：解直角三角形的应用问题

2025中考数学难点突破：解直角三角形的应用问题

 

 

1．在广袤的海洋中，航海者依赖海图来寻找航道．我国大型远洋综合测量船“海巡08”轮的建成交付和使用，有效填补了我国在深远海海事测量船舶领域的空白．如图为“海巡08”轮某次海道测量示意图，其吃水深度米，测得海底山丘C与E两点到船底探测器的声音往返所用时间分别为秒和秒，声音在海水中传播的速度约为1500米/秒，若两次声波发出的角度，，，，点B、C、D三点在一条直线上．（图中点A，M，B，C，D，E在同一平面内，参考数据：，，结果精确到1米）

  

(1)本次海道测量，海平面距离海底的深度是多少米？

(2)试求海底山丘CE的坡度是多少？

2．如图①，舂碓是我国上世纪乡村农用工具，形状呈型，将其抽象成如图②的平面图形，呈型的可绕点旋转，其中，，三点在同一条直线上，点在直线上，，，， ，初始时．

(1)如图②，求初始时点到的距离；

(2)如图③，当点第一次落在上时，求点在竖直方向上上升了多少厘米．（结果保留1位小数；参考数据：）

3．如图，小明从点出发，沿着坡度（即）为的坡道向上走了到达点，再沿着水平平台向前走了到达点，最后沿着坡角为的坡道向上走了到达点．

(1)当小明到达点时，求他沿垂直方向上升的高度；

(2)求点，间的水平距离的长．（参考数据：，，）

4．如图，是某动物园入口，是入口附近的三个展区．小明和小华相约从入口一起去参观，但由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．如图是路线平面示意图，已知展区在起点的东北方向，小明从起点出发沿正北方向走了米到展区，在展区参观分钟，再沿北偏东的方向走

一段路即可到达展区，小华从起点出发向正东方向走到展区，在展区参观分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区．（参考数据：，，）

(1)求的长度；（结果精确到米）

(2)已知小明的平均速度为米分钟，小华的平均速度为米分钟，，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达展区？（结果精确到）

5．甲同学用无人机测量一条河流两岸B，C两点之间的距离．如图所示，甲站在河岸上B处遥控无人机，无人机在A处距离地面的飞行高度是，此时甲同学抬头仰视无人机，仰角记为，若从无人机测得河岸C处的俯角为，甲的眼睛距地面的高度为1.5m，．（点A，E，B，C在同一平面内，且BC在同一条水平线上）

(1)求仰角的正弦值；

(2)求B、C两点之间的距离（结果精确到1m）．

（参考数据：，，，，，）．

6．如图，红红家后面的山坡上有座信号发射塔，塔尖点到地面的距离为．红红站在离房子的底端前方30米的点处，眼睛距离地面的高度米，抬头发现恰好可以观察到发射塔的塔尖，并且在此观测位置测得塔尖的仰角为．红红家到山脚的水平距离米，山坡的坡度为（），山脚到塔尖的仰角为．

(1)若米，则__________米，__________米（用含的代数式表示）；

(2)求房子和塔的高度．（结果保留一位小数）（参考数据：，，）

7．某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点与点所在的直线与平行），层高为，坡角，为使得顾客乘坐自动扶梯时不碰头，，之间必须达到一定的距离．

(1)要使身高的小明乘坐自动扶梯时不碰头，那么，之间的距离要大于多少米？（精确到）

(2)商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图中虚线所示．段和段的坡度（垂直距离与水平距离之比）相同，为保障安全其坡度不能超过．商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息．在其他条件不变的情况下，请探究平台的最大长度．（精确到）（参考数据：，，）

8．位于郑州龙湖内环路的斜拉桥，寓意为“鼎盛中原”，也是国内首座“鼎”形斜拉桥，不论从东西南北哪个方向看上去，都能一眼看到这个“鼎”形斜拉桥．周末明明和亮亮进行课外实践作业，准备测量该桥主塔的高度（塔顶到桥面的距离），测量方案及数据如下：

活动主题：测量“鼎”形斜拉桥主塔的高度．

测量方案：他们两人站在旁边与“鼎”形桥桥面高度相同的桥的同侧，在各自位置测得“鼎”形斜拉桥主塔顶部的仰角，以及两人之间的距离，并记录．

测量示意图：如图， 表示“鼎”形桥主塔的高度，C，D分别表示明明、亮亮的位置，点C，D与点B在同一水平直线上，且点A，B，C，D在同一竖直平面内，．

测量工具：皮尺，测角仪．

测量数据∶两人的距离米，，．

问题解决：请你根据他们的测量方案及数据，计算该“鼎”形斜拉桥主塔的高度．（结果精确到1米；参考数据： ，）

 

9．学校正推进“智慧校园”建设，如图，，，，分别为学生公寓、训练广场、学校大门、图书馆，点在点的南偏东方向，点在点的西北方向，点，在点的正南方向，长为米．

(1)求学生公寓到图书馆的距离；（结果精确到整数）

(2)为了进一步推进“智慧校园”建设，学校需要进一步优化校园网络，技术人员准备在，中选择一个地址部署一台核心交换机并为这台核心交换机铺设专用光纤．已知在的南偏西方向，若在地址部署核心交换