2025年中考二轮数学专题训练-几何模型之倍长中线

2025年中考二轮数学专题训练-几何模型之倍长中线

1．如图，四边形ABCD是正方形，连接AC，将绕点A逆时针旋转α得，连接CF，O为CF的中点，连接OE，OD．

（1）如图1，当时，请直接写出OE与OD的关系（不用证明）．

（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．

（3）当时，若，请直接写出点O经过的路径长．

2．（1）如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系．

解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断．

，，之间的等量关系________；

（2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．

3．如图, AB=CB, BD=BE, ∠ABC=∠DBE=α.

(1)当α=60°, 如图则，∠DPE的度数______________

(2)若△BDE绕点B旋转一定角度，如图所示，求∠DPE（用α表示）

(3)当α=90°，其他条件不变，F为AD的中点，求证 ：EC ⊥ BF

4．已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点M是BE的中点，连接CM、DM．

  

（1）当点D在AB上，点E在AC上时（如图一），求证：DM=CM，DM⊥CM；    

（2）当点D在CA延长线上时（如图二）（1）中结论仍然成立，请补全图形（不用证明）；    

（3）当ED∥AB时（如图三），上述结论仍然成立，请加以证明．

5．（1）如图1，在△ABC中，D是BC的中点，过D点画直线EF与AC相交于E，与AB的延长线相交于F，使BF＝CE．

①已知△CDE的面积为1，AE＝kCE，用含k的代数式表示△ABD的面积为　　；

②求证：△AEF是等腰三角形；

（2）如图2，在△ABC中，若∠1＝2∠2，G是△ABC外一点，使∠3＝∠1，AH∥BG交CG于H，且∠4＝∠BCG﹣∠2，设∠G＝x，∠BAC＝y，试探究x与y之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，在（1）、（2）的条件下，△AFD是锐角三角形，当∠G＝100°，AD＝a时，在AD上找一点P，AF上找一点Q，FD上找一点M，使△PQM的周长最小，试用含a、k的代数式表示△PQM周长的最小值　　．（只需直接写出结果）

6．如图所示，在中，，垂足为，平分，点为的中点，点为上的一点，连接、、、，．

（1）若，，求和的长．

（2）求证：．

7．（1）如图1，是的中线，，求的取值范围，我们可以延长到点，使，连接（如图2所示），这样就可以求出的取值范围，从而得解，请写出解题过程；

（2）在（1）问的启发下，解决下列问题：如图3，是的中线，交于点，交于点，且，求证：．

8．已知直角△ABC，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF连接EF