8.5.2 直线与平面平行 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章 立体几何初步 8.5 空间直线、平面的平行 8.5.2 直线与平面平行 空间中直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有_______公共点 _____________公共点 ______公共点 符号表示 a⊂α a∩α=A a∥α 图形表示       无数个 有且只有一个 没有 复习回顾 观察1 在生活中，注意到门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，另一边与墙面有公共点吗？此时门扇转动的一边与墙面平行吗？ 无公共点 平行 课堂探究 观察2如图，将一块矩形硬纸板ABCD平放在桌面上，把这块纸板绕边DC转动，在转动的过程中（AB离开桌面），DC的对边AB与桌面有公共点吗？ 边AB与桌面平行吗？ 无公共点 平行 课堂探究 在门扇的旋转过程中: 直线AB在门框所在的平面外 直线CD在门框所在的平面内 直线AB与CD始终是平行的 C A B D 课堂探究 直线与平面平行的判定定理 定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 那么该直线与此平面平行. 该定理将直线与平面的平行关系(空间问题)转化为 直线间的平行关系(平面问题). 线线平行 线面平行 a b α （一内一外一平行） 课堂探究 符号语言 图形语言 例1 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面. E F B C A D 1 2 3 典例精研 证明： 要证线面平行，只需在面内找出一条与此直线平行的直线 前面，我们利用平面内的直线与平面外的直线平行，得到了判定平面外的直线与此平面平行的方法，即得到了一条直线与平面平行的充分条件. 反过来，如果一条直线与一个平面平行，能推出哪些结论呢? 这就是要研究直线与平面平行的性质，也就是研究直线与平面平行的必要条件. 线线平行 线面平行 判定 线面平行 性质 ？ 课堂探究 那么，平面内哪些直线与平行？怎么找到它们？ 思考 若直线与平面平行，则与内的任意一条直线 是什么位置关系？ a b α a b α a与b平行 a与b异面 课堂探究 过直线的平面与平面相交于，则. 平行 不异面 共面 那么，平面内哪些直线与平行？怎么找到它们？ a b α a b α 课堂探究 如图，已知，，. 求证：. 证明：∵， ∴. 又， ∴与无公共点. 又，， ∴. 下面，我们来证明这一结论. a b α 课堂探究 定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面 相交，那么该直线与交线平行. 直线与平面平行的性质定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，这也给出了一种作平行线的方法. a b α 线线平行 线面平行 直线与平面平行的性质定理 课堂探究 符号语言 图形语言 1、定义：在同一平面内，没有公共点（反证法） 2、平面几何方法： ①三角形或梯形中位线 ②平行四边形对边平行 ③平行线分线段成比例定理 3、基本事实4（平行的传递性）： 4、直线与平面平行的性质定理： 判断空间两条直线平行的方法有几种？ 总结提升 例2 如右图的一块木料中，棱BC平行于面A'C'. (1) 要经过面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料 表面应该怎样画线? 分析 典例精研 经过BC及平面外一点P作截面 需要作出截面和相关平面的交线 已知线面平行 例2 如右图的一块木料中，棱BC平行于面A'C'. (1) 要经过面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料 表面应该怎样画线? 解：如右图，在平面A'C内， 过点P作直线EF，使EF//B'C'， 并分别交棱A'B'、D'C' 于点E、F. 连接BE、CF， 则EF、BE、 CF就是应画的线. 典例精研 解：因为棱BC//平面A'C', BC平面BC', 平面BC'∩平面A'C'=B'C', 所以BC//B'C', 由(1)知，EF//B'C',所以EF//BC, 而BC平面AC, EF平面AC, 所以EF//平面AC. 显然，BE、CF都与平面AC相交. 例2 如右图的一块木料中，棱BC平行面A'C'. (2) 所画的线与平面AC是什么位置关系? 典例精研 1. 如图，三棱锥中，分别是，上的点， 平面，则( ). A.与相交 B.与异面 C. D. 以上均有可能 巩固练习 2. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为D1D的中点，判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由. 巩固练习 连BD交AC于点O ，O为AC中点 解： 2. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为D1D的中点，判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由. ∴ 连接EO，EO为△D1DB的中位线， ∴ D1B//EO. ∵ 平面EAC，EO 平面EAC, ∴ BD1//平面EAC 故BD1//平面EAC. O 巩固练习 用判定定理证明直线与平面平行的步骤 （1）找：在平面内找到一条直线或作出一条直线与已知直线平行 （2）证：证明已知直线与该直线平行 （3）结论：由判定定理得出结论 注：第一步“找”是关键，其常用方法有： ①利用三角形中位线，梯形中位线性质 ②利用平行四边形的性质 总结提升 3. 如图，是平行四边形所在平面外的一点，是的中点，在上取一点，过点和作平面，交平面于. 求证：. 巩固练习 3. 如图，是平行四边形所在平面外的一点，是的中点，在上取一点，过点和作平面，交平面于. 求证：. O 证明：如图，连接，交于点，连接. ∵四边形是平行四边形， ∴点是的中点． 又∵点是的中点， ∴. 又∵平面，平面， ∴//平面. ∵平面平面，⊂平面， ∴. 巩固练习 利用线面平行的性质定理解题的步骤： 在已知条件中有线面平行时，就设法应用该条件，即着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，也就是找已知直线的平行线． 有时为了得到交线还需作出辅助平面. 总结提升 4.如图，在三棱台中，， , 分别为,的中点.求证:平面 . 巩固练习 24 证明：连接，设，连接 . 在三棱台中， 因为，为 的中点， 所以, , 所以四边形为平行四边形，所以为的中点. 又为 的中点，所以. 又 平面， 平面 ， 所以平面 . 巩固练习 4.如图，在三棱台中，， , 分别为,的中点.求证:平面 . 25 5.如图，用平行于四面体的一组对棱， 的平面截此四面体.求证:截面 是平行四边形. 巩固练习 26 5.如图，用平行于四面体的一组对棱， 的平面截此四面体.求证:截面 是平行四边形. 证明：因为平面 ， 平面 平面， 且 平面 ， 所以由线面平行的性质定理，知 . 同理可得. 由基本事实4可得 . 同理可得 . 所以截面四边形 是平行四边形. 巩固练习 27 6.如图所示，四边形是矩形， 平面 ， 过作另一平面，交于点，交于点 . 求证:四边形 是梯形. 巩固练习 28 6.如图所示，四边形是矩形， 平面 ， 过作另一平面，交于点，交于点 . 求证:四边形 是梯形. 证明：因为四边形为矩形，所以 ， 因为 平面， 平面 ， 所以平面 . 因为平面 平面，且 平面 ， 所以 . 因为，， 所以 ， 所以四边形 是梯形. 巩固练习 29 直线与平面平行的判定与性质定理 课堂小结 线线平行与线面平行的关系 $$