精品解析：浙江省浙南名校2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

2024学年第二学期浙南名校联盟期中联考 高二年级数学学科试题 命题学校：平阳中学 徐荣波 审题学校：苍南中学 吴芬芬 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法确定 3. 已知的面积为，若，，则“为锐角”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，得到的函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知两个非零向量，同时满足，则向量与的夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 现有8名社工，参加两个社区工作，每个社区4人，其中甲、乙、丙、丁四人是好友关系。他们希望在工作时，至少有一名好友相伴，试问：这样的工作安排方案共（ ）有种？ A. 20 B. 38 C. 70 D. 74 7. 在的展开式中，含项的系数是 (　 ) A. 165 B. 164 C. 120 D. 119 8. 已知在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知袋中有除颜色外其他都相同小球9个，其中黑球6个，红球3个，从中摸4个球，方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为.下列说法中，正确的有（ ） A. B. ，其中 C. D. 10. 已知在等差数列的前项和为，其中，，在等比数列中，，，则（ ） A. B. 数列是等差数列 C. 数列的前项和为 D. 数列的前项和为 11. 已知函数，，下列结论正确的是（ ） A. 曲线在点（1，2）处的切线方程为 B. 函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为(－3,0) C. 若曲线与有三个交点，，，则，，必成等差数列 D. 存曲线与有三个交点，，，使得，，成等比数列 非选择题部分 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数，则的虚部为_____. 13. 老师从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，背诵篇数没达到2篇的为不合格，不合格者积分扣1分；能背诵篇数2篇的为合格，不扣分也不加分；3篇都能背诵的为优秀，优秀者积分加2分，某位同学只能背诵其中的6篇课文，记该同学的得分为，则_____. 14. 已知椭圆，抛物线，点是与在第一象限的交点，是的左顶点，直线交于点，若点恰为线段的中点，则的值为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 为了研究大气污染物浓度的影响因素，研究人员检测了经济发展水平相当的24个城市的汽车流量.得到数据如下： 浓度（单位：） 汽车流量（单位：千辆/24小时） 合计 8 2 10 1 13 14 合计 9 15 24 （1）判断是否有的把握认为浓度与汽车流量有关？ （2）对于随机事件，，若，则认为事件对事件发生有促进作用，否则就认为是抑制作用.现记为“浓度超过”，为“城市汽车流量不超过1.4千辆/24小时”，用表格数据估计事件A、B发生的概率，试问：事件B对事件A是促进作用还是抑制作用? 附：， 0.050 0010 0001 3.841 6.635 10.828 16. 已知双曲线一条渐近线方程为，过点的直线与双曲线的右支于、两点，点分别为双曲线的左顶点和右焦点，且到渐近线的距离为1，为直角三角形. （1）求双曲线的方程； （2）求的面积. 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，为的中点，. （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 18. 函数，其中，. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围； （3）若，，，求证：. 19. 已知某篮球队有五名队员，其中甲是主要得分手，乙是组织后卫.如果球在乙手中，则他传球给甲的概率为，传球给其他队员的概率均为；如果球不在乙手中，则这名队员传球给任何队友的概率都是.开始进攻时，球在乙手中. （1）求经过2次传球并由甲执行投篮的条件下，球有经过丙之手的概率； （2）经过次传球后，球回到乙手中的概率； （3）记经过次传球后，球到甲的手中的概率为，求证：满足的的个数不少于满足的的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期浙南名校联盟期中联考 高二年级数学学科试题 命题学校：平阳中学 徐荣波 审题学校：苍南中学 吴芬芬 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合集合交集概念求解两集合的交集. 【详解】因为,又因为 所以 故选：D 2. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定圆心和半径，再应用点线距离公式求圆心与直线的距离，即可判断. 【详解】由，即圆心，半径， 所以到的距离， 所以直线与圆相交. 故选：B 3. 已知的面积为，若，，则“为锐角”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形面积公式，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当为锐角时，， 而当为钝角时，亦有， 所以“为锐角”是“” 充分不必要条件，A正确. 故选：A 4. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，得到的函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数图象变换可得出平移后所得函数的解析式. 【详解】将函数图象上所有点横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）, 可得到函数的图象， 再将所得函数的图象向左平移个单位， 可得到函数的图象. 故选：A. 5. 已知两个非零向量，同时满足，则向量与的夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两向量模长之间的关系计算可得，再由夹角的计算公式代入可得结果. 【详解】根据可得， 可得， 因此， 所以， 又，所以. 即向量与的夹角的大小为. 故选：C 6. 现有8名社工，参加两个社区工作，每个社区4人，其中甲、乙、丙、丁四人是好友关系。他们希望在工作时，至少有一名好友相伴，试问：这样工作安排方案共（ ）有种？ A. 20 B. 38 C. 70 D. 74 【答案】B 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理与分步乘法计数原理可求解. 【详解】由甲、乙、丙、丁四人是好友关系，至少有一名好友相伴，可分为两类， （1）把4名好友分在同一个社区，另4人在一个社区有2种不同方法， （2）有两名好友在1个社区，另2名好名在另一个社区有种， 综上所述：共有种不同的分配方法. 故选：B. 7. 在的展开式中，含项的系数是 (　 ) A. 165 B. 164 C. 120 D. 119 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，求得表达式中每一项中展开式的项的系数，然后相加求得结果. 【详解】依题意，项的系数为.故选B. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式的性质，属于中档题. 8. 已知在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过作平面于，连接，由题意可知球心在上，求得球的半径，可求球的表面积. 【详解】过作平面于，连接， 因为，可得， 所以为的外心，所以三棱锥的外心在上， 因为，由正弦定理可得， 所以， 设外接球的半径为，则可得，所以， 所以该三棱锥的外接球表面积为. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知袋中有除颜色外其他都相同的小球9个，其中黑球6个，红球3个，从中摸4个球，方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为.下列说法中，正确的有（ ） A. B. ，其中 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项分布、超几何分布的相关概念及性质，分别计算出、的概率、期望和方差，再逐一分析选项. 【详解】选项A，方案一中，有放回地摸球，每次摸取到红球的概率为， 摸次球，则取得红球个数， 所以，故选项A正确. 选项B，方案一中，，. 方案二中，不放回地摸球，取得红球个数服从超几何分布，，，， 则，. 当时，，， 所以，故选项B错误. 选项C，，，所以，故选项C正确. 选项D，， . 可得，即，故选项D正确. 故选：ACD. 10. 已知在等差数列的前项和为，其中，，在等比数列中，，，则（ ） A. B. 数列是等差数列 C. 数列的前项和为 D. 数列的前项和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式求出等差数列的通项公式与前项和公式，再根据等比数列的通项公式求出等比数列的通项公式，最后逐一分析选项． 【详解】设等差数列的公差为，已知，， 令，则． 所以，即，解得． 所以． ，故A选项正确．  已知，， 设等比数列的公比为，则，所以， 则， 所以（常数）， 所以数列是等差数列，故B选项正确．  已知． 设数列的前项和为，则 ，故C选项错误．  已知．设数列的前项和为， 则 所以 所以，故D选项正确．  故选：ABD． 11. 已知函数，，下列结论正确的是（ ） A. 曲线在点（1，2）处的切线方程为 B. 函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为(－3,0) C. 若曲线与有三个交点，，，则，，必成等差数列 D. 存在曲线与有三个交点，，，使得，，成等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】结合导数的几何意义可求出在点的切线方程，从而判断A的真假，再将在开区间时存在最小值，转化成函数在该区间上存在极值，从而求出的取值范围，判断出B的真假，最后由中心对称，可得三者之间的关系，可判断C，D的真假 【详解】因为函数，所以. 因为在点(1,2)处的切线方程为， 所以在点(1,2)处的切线方程为，即为，故A为真； 又因为函数在开区间上存在最小值，则在区间上不单调，且存在极小值点， 由的图像可知的极小值点为，且， 所以，则，故B为假； 由于，则的解为，且，则关于中心对称， 又因为，所以恒过点，即为的对称中心， 所以曲线与有三个交点时，又因为，根据对称可得，为中点，所以恒成立，故C为真； 因为恒成立，要使得，，成等比数列，且因为， 当且仅当时取等，所以不存在这样的三点，故D为假. 故选：AC 非选择题部分 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数，则的虚部为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简，再结合复数的概念即可. 【详解】，故其虚部为. 故答案为： 13. 老师从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，背诵篇数没达到2篇的为不合格，不合格者积分扣1分；能背诵篇数2篇的为合格，不扣分也不加分；3篇都能背诵的为优秀，优秀者积分加2分，某位同学只能背诵其中的6篇课文，记该同学的得分为，则_____. 【答案】0 【解析】 【分析】根据超几何概率公式，求概率，再写出分布列，进而计算期望. 【详解】设该同学抽到能背诵的得分，的可能取值为， 所以， ，， 则的分布列为： 0 2 所以. 14. 已知椭圆，抛物线，点是与在第一象限的交点，是的左顶点，直线交于点，若点恰为线段的中点，则的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到点的坐标，进而代入抛物线方程得到，再由点在椭圆上得到与的关系，从而得解. 【详解】易知，设，如下图所示： 因为点为线段的中点，可得， 且在上，即，解得， 又在上，则，解得， 因为， 所以. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 为了研究大气污染物浓度的影响因素，研究人员检测了经济发展水平相当的24个城市的汽车流量.得到数据如下： 浓度（单位：） 汽车流量（单位：千辆/24小时） 合计 8 2 10 1 13 14 合计 9 15 24 （1）判断是否有的把握认为浓度与汽车流量有关？ （2）对于随机事件，，若，则认为事件对事件发生有促进作用，否则就认为是抑制作用.现记为“浓度超过”，为“城市汽车流量不超过1.4千辆/24小时”，用表格数据估计事件A、B发生的概率，试问：事件B对事件A是促进作用还是抑制作用? 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）有的把握认为浓度与汽车流量有关- （2）是抑制作用 【解析】 【分析】（1）通过卡方检验算出卡方值，再判断两个变量是否有关； （2）通过计算相关指标判断事件之间的作用关系. 【小问1详解】 设：浓度与汽车流量无关，由 ， 所以有的把握认为不成立，即浓度与汽车流量有关. 【小问2详解】 由题知， 则，所以事件对事件是抑制作用. 16. 已知双曲线的一条渐近线方程为，过点的直线与双曲线的右支于、两点，点分别为双曲线的左顶点和右焦点，且到渐近线的距离为1，为直角三角形. （1）求双曲线的方程； （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由渐近线方程可得，由到渐近线的距离可求，可求解； （2）由题意不妨设，设直线.，，求得圆的方程与双曲线方程联立，可求得的坐标，进而求得直线的方程，与抛物线方程联立可求得的坐标，进而可求得三角形的面积. 【小问1详解】 由题知，， 同时到渐近线的距离， 所以，所以双曲线的方程为； 【小问2详解】 因为双曲线的渐近线为，过的双曲线与右支交于两点， 所以，因此不妨设， 当直线的斜率不存在时，由对称性可知显然不为直角三角形， 所以的斜率存在，设直线.，， 在以为直径的圆上，如下图所示： 因为，所以中点为， 所以，所以以为直径的圆的方程为， 故，解得或， 不妨取， 此时，所以， 再由，，所以，， ，到直线的距离， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，为的中点，. （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质可得，结合已知可得平面，从而可证结论； （2）取中点，连接，，可证底面，建立空间直角坐标系，求得平面一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求二面角的余弦值. 【小问1详解】 且是中点，直角中，， 平面，平面，， 又，平面，平面， 又底面，平面底面. 【小问2详解】 取中点，连接，， 且是中点，且 由（1）得平面底面，又平面底面， 底面， 分别以，为，轴，过作的平行线为轴，建立空间直角坐标系； ，，，，， ，，，， 若平面的一个法向量， ，令，则， 所以平面的一个法向量为， 若平面的一个法向量， ，令，则， 所以平面的一个法向量， ， 所以锐二面角的余弦值为. 18. 函数，其中，. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围； （3）若，，，求证：. 【答案】（1）答案见解析 （2）或 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，分类讨论可求单增区间； （2）由（1）知函数的极大值为，极小值为，由函数只有一个零点，可得或者，求解即可； （3）由题意可知只需证，令，求导后再令，通过求导分类讨论求得的最小值可证结论. 【小问1详解】 ， 当时，由，解得或，所以的单调递增区间为和， 当时，由，解得，所以的单调递增区间为， 当时，由，解得或，所以的单调递增区间为和， 综上所述：当时，的单调递增区间为和， 当时，的单调递增区间为， 当时，的单调递增区间为和， 【小问2详解】 由（1）知函数的极大值为，极小值为， 当，，，， 则或者， ，即， ，解得 综上，的取值范围或. 【小问3详解】 由题知，，， 由，得 ，， 要证：，只要证：， 令， ， 设，，由得， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上递增， 并且，， 所以，，， 即，，， 所以，单调递减，，单调递增， 是的极小值点，也是最小值点， ，故，， 故，结论得证. 19. 已知某篮球队有五名队员，其中甲是主要得分手，乙是组织后卫.如果球在乙手中，则他传球给甲的概率为，传球给其他队员的概率均为；如果球不在乙手中，则这名队员传球给任何队友的概率都是.开始进攻时，球在乙手中. （1）求经过2次传球并由甲执行投篮的条件下，球有经过丙之手的概率； （2）经过次传球后，球回到乙手中的概率； （3）记经过次传球后，球到甲的手中的概率为，求证：满足的的个数不少于满足的的个数. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）运用条件概率计算即可； （2）运用条件概率变形得到即，再构造等比数列即可； （3）解法一：先根据事件概率关系得出的表达式，通过两边同乘构造新数列，利用叠加法求出，进而得到，再根据的奇偶性判断与的大小关系. 解法二：采用反证法，假设结论不成立，即存在至少两个连续自然数、使且，分为偶数和奇数两种情况推出矛盾，从而证明原结论成立. 【小问1详解】 记事件“经过2次传球并由甲执行投篮”，“球有经过丙之手”，则 . 【小问2详解】 记事件“传球后球回到乙手中”，，则， ， 即， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， ，即. 【小问3详解】 事件“传球后球到甲手中”，事件“传球后球不在甲和乙手中” 则， ， ，两边同时乘以， ， 设，则有，而， 叠加得， ， 显然，当为奇数时，，当为偶数时，， 因此的的个数不少于满足的的个数. 解法二：， 假设结论不成立，则至少有两个连续的自然数，，使得且. 若为偶数，且则有： ， 若为奇数，且，则有 ， ，.如此连续， 故不存在连续的两个自然数，，使得且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $